【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.5.1 几种函数增长快慢的比较导学案 湘教版必修1

1 2 5 12 5 1 几种函数增长快慢的比较几种函数增长快慢的比较 学习目标重点难点 1 能知道不同的函数增长的速度有所不 同 2 会分析不同函数的增长速度的快慢 3 记住常见的指数函数 对数函数 幂 函数 一次函数的增长速度的不同 重点 常见函数如指数函数 对数函数 幂函数 一次函数增长速度的比较 难点 函数增长速度的比较 1 三种函数模型的性质 2 三种函数的增长速度比较 1 在区间 0 上 函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但增长速度不同 且不在同一个 档次 上 2 在区间 0 上随着x的增大 y ax a 1 增长速度越来越快 会超过并远远大 于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 3 存在一个x0 使得当x x0时 有 logax xn ax 预习交流预习交流 1 对于指数函数y ax a 1 底数a的大小怎样影响函数的增长速度 提示 底数a越大 函数增长得越快 预习交流预习交流 2 对于对数函数y logax a 1 底数a的大小怎样影响函数的增长速度 提示 底数a越小 函数增长得越快 预习交流预习交流 3 对于幂函数y x 其增长速度快慢与 的关系是怎样的 提示 对于幂函数y x 当 越大时 其增长速度越大 预习交流预习交流 4 对于一次函数y kx b k 0 其增长速度快慢与k的关系是怎样的 提示 k越大 增长速度越快 预习交流预习交流 5 就指数函数 对数函数 幂函数而言 哪种增长速度最快 哪种最慢 提示 指数函数的增长速度最快 对数函数的增长速度最慢 幂函数的增长速度介于指 数函数和对数函数之间 一 函数增长快慢的比较 2 试利用图象比较y x2 x 0 和y 2x x 0 的增长情况 思路分析 先利用列表 描点 连线法画出两个函数的图象 再通过图象比较增长情 况 解 解 列表如下 表 1 x0246810121416 y 2x 1416642561 0244 09616 38465 536 y x2 04163664100144196256 表 2 x010203040506070 y 2x 11 024 1 05 106 1 07 109 1 10 1012 1 13 1015 1 15 1018 1 18 1021 y x2 01004009001 6002 5003 6004 900 对应表 1 的图象如图 1 对应表 2 的图象如图 2 由图 1 可以看到 y 2x和y x2的图象有两个交点 2 4 和 4 16 结合图象可得 当 x 0 2 时 2x x2 当x 2 4 时 2x x2 当x 4 时 2x x2 当自变量x越来越大时 y 2x的图象就像与x轴垂直一样 2x的值快速增长 x2比起 2x来 几乎微不足道 结合函数y x2与y 的图象可知 当x 时 x2 当x 1 时 xx x2 x 答案 答案 0 1 解析 解析 画出函数y x2与y 的图象 如图 x 3 可知当x 0 1 时 x2 x 当x 1 时 x2 x 对函数增长快慢的比较 可以先画出图象再通过其图象比较其增长情 况 二 函数值大小比较 比较下列各组值的大小 1 与 2 0 8 0 1与 1 250 2 1 2 log 3 1 5 log 3 思路分析 可根据函数的图象或单调性比较大小 解 解 1 因为在x 1 时 的图象在图象的上方 所以 1 5 logyx 1 2 logyx 11 25 log 3log 3 2 1 250 2 0 8 0 2 由于 0 0 8 1 所以指数函数y 0 8x在 上为递减 函数 所以 0 8 0 1 1 250 2 比较大小 1 与 log20 8 2 与 1 3 log 0 3 1 2 2 1 3 1 8 解 解 1 由对数的性质知 0 log20 8 所以 log20 8 1 3 log 0 3 1 3 log 0 3 2 因为 且 所以 11 32 22 11 33 21 8 11 32 21 8 1 比较同底数的对数值大小 考虑利用对数函数的单调性 比较同真数 的对数值大小 考虑对数函数的图象变换情况 2 比较同底数的指数值的大小 考虑利用指数函数的单调性 1 下列函数中 增长速度最快的是 A y 3x B y 2 7x C y 0 9x D y 1 1x 答案 答案 A 解析 解析 指数函数中 底数越大 增长速度越快 故选 A 2 下列函数中 增长速度最慢的是 A y log5x B y log3x C y log7x D y log6x 答案 答案 C 解析 解析 对数函数中 当底数大于 1 时 底数越小 增长速度越快 底数越大 增长速度 越慢 选 C 3 函数y 2x和y x3的图象的交点个数为 4 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 答案 B 4 设 0 x 1 且有 logax logbx 0 则a b的关系是 A 0 a b 1 B 1 a b C 0 b a 1 D 1 b a 答案 答案 B 解析 解析 结合对数函数的图象可知 当 l