小升初专项练习几何图形圆与立体图形

第三讲第三讲 小升初专项训练小升初专项训练 几何二 圆和立体几何二 圆和立体 引言 立体图形是近两年来小生初的考察新热点 由于立体图形考察学生的空间想象能力 更反映学生引言 立体图形是近两年来小生初的考察新热点 由于立体图形考察学生的空间想象能力 更反映学生 的本身潜能 所以越来越受到学校的欢迎 而另一方面 初中很多知识点都是建立在空间问题上 所以的本身潜能 所以越来越受到学校的欢迎 而另一方面 初中很多知识点都是建立在空间问题上 所以 可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生 可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生 典型题目解析典型题目解析 一 圆与扇形阴影部分的面积一 圆与扇形阴影部分的面积 例例 1 1 在图中 一个圆的圆心是在图中 一个圆的圆心是 O O 半径 半径 r r 9 9 厘米 厘米 1 1 2 2 15 15 那么阴影部分的面 那么阴影部分的面 积是多少平方厘米 积是多少平方厘米 取取 3 14 3 14 例例 2 2 如图 若图中的圆和半圆都两两相切 两个小圆和三个半圆的半径都是如图 若图中的圆和半圆都两两相切 两个小圆和三个半圆的半径都是 1 1 求阴 求阴 影部分的面积 影部分的面积 例例 3 3 草场上有一个长 草场上有一个长 2020 米 宽米 宽 1010 米的关闭着的羊圈 在羊圈的一角用长米的关闭着的羊圈 在羊圈的一角用长 3030 米的绳子拴着米的绳子拴着 一只羊 见左下图 一只羊 见左下图 问 这只羊能够活动的范围有多大 问 这只羊能够活动的范围有多大 例例 4 4 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 例例 5 5 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 分析分析 阴影部分通过翻折移动位置后 构成了一个新的图形 如图所示 阴影部分通过翻折移动位置后 构成了一个新的图形 如图所示 从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半 从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半 3 14 43 14 42 2 1 4 1 4 4 4 2 24 4 2 2 8 568 56 平方厘米 平方厘米 1 1 1111 例例 6 6 如图如图 1919 1010 所示 两圆半径都是所示 两圆半径都是 1 1 厘米 且图中两个阴影部分的面积相等 求厘米 且图中两个阴影部分的面积相等 求 长方形长方形 ABOABO1 1O O 的面积 的面积 分析分析 因为两圆的半径相等 所以两个扇形中的空白部分相等 又因为图中两个阴影部分因为两圆的半径相等 所以两个扇形中的空白部分相等 又因为图中两个阴影部分 的面积相等 所以扇形的面积等于长方形面积的一半 如图的面积相等 所以扇形的面积等于长方形面积的一半 如图 1919 1010 右图所示 所以右图所示 所以 3 14 13 14 12 2 1 4 2 1 4 2 1 571 57 平方厘米 平方厘米 例例 7 7 如图所示 图中圆的直径如图所示 图中圆的直径 ABAB 是是 4 4 厘米 平行四边形厘米 平行四边形 ABCDABCD 的面积是的面积是 7 7 平方厘米 平方厘米 ABCABC 3030 度 求阴影部分的面积 得数保留两位小数 度 求阴影部分的面积 得数保留两位小数 分析分析 阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形 AOCAOC 的面积 再减去三角形的面积 再减去三角形 BOCBOC 的的 面积 面积 半径 半径 4 24 2 2 2 厘米 厘米 扇形的圆心角 扇形的圆心角 180180 180180 30 230 2 6060 度 度 扇形的面积 扇形的面积 2 2 3 14 60 3602 2 3 14 60 360 2 09 2 09 平方厘米 平方厘米 三角形三角形 BOCBOC 的面积 的面积 7 2 27 2 2 1 751 75 平方厘米 平方厘米 7 7 2 09 1 752 09 1 75 3 163 16 平方厘米 平方厘米 例例 8 8 如图所示 求图中阴影部分的面积 如图所示 求图中阴影部分的面积 分析分析 解法一 阴影部分的一半 可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形 如图 等腰直角解法一 阴影部分的一半 可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形 如图 等腰直角 三角形的斜边等于圆的半径 斜边上的高等于斜边的一半 圆的半径为三角形的斜边等于圆的半径 斜边上的高等于斜边的一半 圆的半径为 20 220 2 1010 厘米厘米 3 14 10 3 14 102 2 1 4 1 4 10 10 10 210 2 2 2 107107 平方厘米 平方厘米 解法二 以等腰三角形底的中点为中心点 把图的右半部分向下旋转解法二 以等腰三角形底的中点为中心点 把图的右半部分向下旋转 9090 度后 阴影部分的度后 阴影部分的 面积就变为从半径为面积就变为从半径为 1010 厘米的半圆面积中 减去两直角边为厘米的半圆面积中 减去两直角边为 1010 厘米的等腰直角三角形厘米的等腰直角三角形 的面积所得的差 的面积所得的差 20 220 2 2 2 1 2 1 2 20 220 2 2 2 1 2 1 2 107107 平方厘米 平方厘米 练习练习 5 5 1 1 如图所示 求阴影部分的面积 单位 厘米 如图所示 求阴影部分的面积 单位 厘米 答答 2 2 如图所示 用一张斜边为 如图所示 用一张斜边为 2929 厘米的红色直角三角形纸片 一张斜边为厘米的红色直角三角形纸片 一张斜边为 4949 厘米的蓝色直厘米的蓝色直 角三角形纸片 一张黄色的正方形纸片 拼成一个直角三角形 求红蓝两张三角形纸角三角形纸片 一张黄色的正方形纸片 拼成一个直角三角形 求红蓝两张三角形纸 片面积之和是多少 片面积之和是多少 答答 例例 9 9 如图所示 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 如图所示 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 分析分析 解法一 先用长方形的面积减去小扇形的面积 得空白部分 解法一 先用长方形的面积减去小扇形的面积 得空白部分 a a 的面积 再用大扇形的面 的面积 再用大扇形的面 积减去空白部分 积减去空白部分 a a 的面积 如图所示 的面积 如图所示 3 14 63 14 62 2 1 4 1 4 6 46 4 3 14 43 14 42 2 1 4 1 4 16 8216 82 平方厘米 平方厘米 解法二 把阴影部分看作 解法二 把阴影部分看作 1 1 和 和 2 2 两部分如图 两部分如图 2020 8 8 所示 把大 小两个扇形面积相加 所示 把大 小两个扇形面积相加 刚好多计算了空白部分和阴影 刚好多计算了空白部分和阴影 1 1 的面积 即长方形的面积 的面积 即长方形的面积 3 14 43 14 42 2 1 4 3 14 6 1 4 3 14 62 2 1 4 1 4 4 64 6 16 2816 28 平方厘米 平方厘米 练习练习 1 1 如图所示 三角形如图所示 三角形 ABCABC 是直角三角形 是直角三角形 ACAC 长长 4 4 厘米 厘米 BCBC 长长 2 2 厘米 以厘米 以 ACAC BCBC 为直径画为直径画 半圆 两个半圆的交点在半圆 两个半圆的交点在 ABAB 边上 求图中阴影部分的面积 边上 求图中阴影部分的面积 答答 2 2 如图所示 图中平行四边形的一个角为如图所示 图中平行四边形的一个角为 60600 0 两条边的长分别为 两条边的长分别为 6 6 厘米和厘米和 8 8 厘米 高为厘米 高为 5 25 2 厘米 求图中阴影部分的面积 厘米 求图中阴影部分的面积 答答 例例 10 10 在图中 正方形的边长是在图中 正方形的边长是 1010 厘米 求图中阴影部分的面积 厘米 求图中阴影部分的面积 分析分析 先用正方形的面积减去一个整圆的面积 得空部分的一半 如图所示 再用正方形的面积先用正方形的面积减去一个整圆的面积 得空部分的一半 如图所示 再用正方形的面积 减去全部空白部分 减去全部空白部分 空白部分的一半 空白部分的一半 10 1010 10 10 210 2 2 2 3 14 3 14 21 521 5 平方厘米 平方厘米 阴影部分的面积 阴影部分的面积 10 1010 10 21 5 221 5 2 5757 平方厘米 平方厘米 练习练习 1111 1 1 求下面各图形中阴影部分的面积 单位 厘米 求下面各图形中阴影部分的面积 单位 厘米 答答 2 2 求右面各图形中阴影部分的面积 单位 厘米 求右面各图形中阴影部分的面积 单位 厘米 答答 3 3 求右面各图形中阴影部分的面积 单位 厘米 求右面各图形中阴影部分的面积 单位 厘米 答答 例例 11 11 在正方形在正方形 ABCDABCD 中 中 ACAC 6 6 厘米 求阴影部分的面积 厘米 求阴影部分的面积 分析分析 这道题的难点在于正方形的边长未知 这样扇形的半径也就不知道 但我们可以看这道题的难点在于正方形的边长未知 这样扇形的半径也就不知道 但我们可以看 出 出 ACAC 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 ACDACD 的斜边 根据等腰直角三角形的对称性可知 斜边上的的斜边 根据等腰直角三角形的对称性可知 斜边上的 高等于斜边的一半 如图所示 我们可以求出等腰直角三角形高等于斜边的一半 如图所示 我们可以求出等腰直角三角形 ACDACD 的面积 进而求出的面积 进而求出 正方形正方形 ABCDABCD 的面积 即扇形半径的平方 这样虽然半径未求出 但可以求出半径的平的面积 即扇形半径的平方 这样虽然半径未求出 但可以求出半径的平 方 也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算 方 也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算 既是正方形的面积 又是半径的平方为 既是正方形的面积 又是半径的平方为 6 6 6 26 2 2 2 1818 平方厘米 平方厘米 阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 1818 18 3 14 418 3 14 4 3 873 87 平方厘米 平方厘米 答 阴影部分的面积是答 阴影部分的面积是 3 873 87 平方厘米 平方厘米 练习练习 1 1 如图所示 图形中正方形的面积是如图所示 图形中正方形的面积是 5050 平方厘米 分别求出每个图形中阴影部分的面积 平方厘米 分别求出每个图形中阴影部分的面积 2 2 如图所示 正方形中对角线长如图所示 正方形中对角线长 1010 厘米 过正方形两个相对的顶点以其边长为半径厘米 过正方形两个相对的顶点以其边长为半径 分别做弧 求图形中阴影部分的面积 试一试 你能想出几种办法 分别做弧 求图形中阴影部分的面积 试一试 你能想出几种办法 答答 例例 12 12 在图的扇形中 正方形的面积是在图的扇形中 正方形的面积是 3030 平方厘米 求阴影部分的面积 平方厘米 求阴影部分的面积 分析分析 阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积 可是扇形的半径未知 又无法阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积 可是扇形的半径未知 又无法 求出 所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系 我们以扇形的半径为求出 所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系 我们以扇形的半径为 边长做一个新的正方形 如图所示 从图中可以看出 新正方形的面积是边长做一个新的正方形 如图所示 从图中可以看出 新正方形的面积是 30 230 2 6060 平方厘米 即扇形半径的平方等于平方厘米 即扇形半径的平方等于 6060 这样虽然半径未求出 但能求出半径的平方 这样虽然半径未求出 但能求出半径的平方 再把半径的平等直接代入公式计算 再把半径的平等直接代入公式计算 3 14 3 14 30 230 2 1 4 1 4 3030 17 117 1 平方厘米 平方厘米 答 阴影部分的面积是答 阴影部分的面积是 17 117 1 平方厘米 平方厘米 练习练习 1515 1 1 如图所示 平行四边形的面积是如图所示 平行四边形的面积是 100100 平方厘米 求阴影部分的面积 平方厘米 求阴影部分的面积 答答 2 2 如图所示 如图所示 O O 是小圆的圆心 是小圆的圆心 COCO 垂直于垂直于 AB AB 三角形三角形 ABCABC 的面积是的面积是 4545 平方厘米 求阴影部平方厘米 求阴影部 分的面积 分的面积 答答 上面所举的例子只是常见的圆的组合图形面积解法 在以后的练习中 还希望同学们能举一上面所举的例子只是常见的圆的组合图形面积解法 在以后的练习中 还希望同学们能举一 反三 总结自己的学习方法与心得与体会 达到举一反三的效果 反三 总结自己的学习方法与心得与体会 达到举一反三的效果 例例 13 13 如下图所示 如下图所示 200200 米赛跑的起点和终点都在直跑道上 中间的弯道是一个半圆 已米赛跑的起点和终点都在直跑道上 中间的弯道是一个半圆 已 知每条跑道宽知每条跑道宽 1 221 22 米 那么外道的起点在内道起点前面多少米 精确到米 那么外道的起点在内道起点前面多少米 精确到 0 010 01 米 米 分析与解 半径越大 周长越长 所以外道的弯道比内道的弯道长 要保证内 外道分析与解 半径越大 周长越长 所以外道的弯道比内道的弯道长 要保证内 外道 的人跑的距离相等 外道的起点就要向前移 移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差 的人跑的距离相等 外道的起点就要向前移 移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差 虽然弯道的各个半径都不知道 然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽 虽然弯道的各个半径都不知道 然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽 设外弯道中心线的半径为设外弯道中心线的半径为 R R 内弯道中心线的半径为 内弯道中心线的半径为 r r 则两个弯道的长度之差为 则两个弯道的长度之差为 R r R r R rR r 3 14 1 22 3 833 14 1 22 3 83 米 米 即外道的起点在内道起点前面即外道的起点在内道起点前面 3 833 83 米米 例例 14 14 有七根直径有七根直径 5 5 厘米的塑料管 用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆 如左下图 此厘米的塑料管 用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆 如左下图 此 时橡皮筋的长度是多少厘米 时橡皮筋的长度是多少厘米 例例 15 15 左下图中四个圆的半径都是左下图中四个圆的半径都是 5 5 厘米 求阴影部分的面积 厘米 求阴影部分的面积 例例 16 16 图图 40 4540 45 中每个大正方形的边长都是中每个大正方形的边长都是 2 2 厘米 求 厘米 求 1 1 1010 各图阴影部分的面 各图阴影部分的面 积 适于六年级程度 积 适于六年级程度 例例 17 17 计算图计算图 40 3940 39 图 图 40 4040 40 图 图 40 4140 41 的阴影部分的面积 单位 厘米 适于六的阴影部分的面积 单位 厘米 适于六 年级程度 年级程度 例例 18 18 如图 两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米 求阴影部分的面积 取 3 例例 19 19 如图 矩形ABCD中 厘米 厘米 扇形ABE半径厘米 扇形CBF的半6AB 4BC 6AE 厘米 求阴影部分的面积 取 4CB 3 F BC E AD 例例 20 20 如下图 求阴影部分面积 取 3 4 例例 21 21 如图 如图 ABCDABCD 是正方形 且是正方形 且 FA AD DE 1FA AD DE 1 求阴影部分的面积 求阴影部分的面积 取 取 3 3 例例 22 22 如下图 如下图 ABAB 与与 CDCD 是两条垂直的直径 圆是两条垂直的直径 圆 O O 的半径为的半径为 1515 厘米 厘米 二 立体几何二 立体几何 小学阶段 我们除了学习平面图形外 还认识了一些简单的立体图形 如长方体 正方体 立方体 小学阶段 我们除了学习平面图形外 还认识了一些简单的立体图形 如长方体 正方体 立方体 直圆柱体 直圆锥体 球体等 并且知道了它们的体积 表面积的计算公式 归纳如下 见下图 直圆柱体 直圆锥体 球体等 并且知道了它们的体积 表面积的计算公式 归纳如下 见下图 基本立体图形认知基本立体图形认知 板块二 立体染色及最短线路问题板块二 立体染色及最短线路问题 板块三 套模法 切片法及立体旋转问题板块三 套模法 切片法及立体旋转问题 基础知识点基础知识点 立体图形立体图形表面积表面积体积体积 6 6 2 a两 两两两两两两 32 aaa 两两两两 2 6 bcacab 两 两两两两两两 abccab 两两两两 rhr 两 两两两两两两两两 22 2 hrhr 22 两两两两 rlr 两 两两两两两两 2 hrhr 22 3 1 3 1 3 1 两两两两 2 4 r 使使劲劲记记住住 3 4 3 r使使劲劲记记住住 在数学竞赛中 有许多几何趣题 解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计 把形象思维和抽在数学竞赛中 有许多几何趣题 解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计 把形象思维和抽 象思维结合起来 象思维结合起来 例题精讲 例题精讲 例例 1 如右图 在一个棱长为如右图 在一个棱长为 1010 的立方体上截取一个长为的立方体上截取一个长为 8 8 宽为宽为 3 3 高为 高为 2 2 的小长方体 那么新的几何体的表面积是的小长方体 那么新的几何体的表面积是 多少 多少 r 例例 2 右图是一个边长为右图是一个边长为 4 4 厘米的正方体 分别在前后 左右 上厘米的正方体 分别在前后 左右 上 下各面的中心位置挖去一个边长下各面的中心位置挖去一个边长 l l 厘米的正方体 做成一种厘米的正方体 做成一种 玩具 它的表面积是多少平方厘米玩具 它的表面积是多少平方厘米 图中只画出了前面 图中只画出了前面 右面 上面挖去的正方体 右面 上面挖去的正方体 例例 3 下下图是一个棱长为图是一个棱长为 2 2 厘米的正方体 在正方体上表面的正中 向下挖一个棱长为厘米的正方体 在正方体上表面的正中 向下挖一个棱长为 1 1 厘米的正方厘米的正方 体小洞 接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为体小洞 接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正厘米的正 1 2 方形小洞 第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为方形小洞 第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米 厘米 1 4 那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米 那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米 例例 4 一个正方体木块 棱长是一个正方体木块 棱长是 1 1 米 沿着水平方向将它锯成米 沿着水平方向将它锯成 2 2 片 片 每片又锯成每片又锯成 3 3 长条 每条又锯成长条 每条又锯成 4 4 小块 共得到大大小小的长小块 共得到大大小小的长 方体方体 2424 块 那么这块 那么这 2424 块长方体的表面积之和是多少 块长方体的表面积之和是多少 巩固巩固 2008 2008 年走美六年级初赛年走美六年级初赛 一个表面积为一个表面积为的长方体如图切成的长方体如图切成 2727 个小长方体 这个小长方体 这 2727 个小长个小长 2 56cm 方体表面积的和是方体表面积的和是 2 cm 例例 5 如图 如图 2525 块边长为块边长为 1 1 的正方体积木拼成一个几何体 表面积最小是多少 的正方体积木拼成一个几何体 表面积最小是多少 25乙 乙 乙 例例 6 要把要把 1212 件同样的长件同样的长a a 宽 宽b b 高 高h h的长方体物品拼装成一件大的长方体 使打包后表面积最小 的长方体物品拼装成一件大的长方体 使打包后表面积最小 该如何打包 该如何打包 当当 b b2 2h h时 如何打包 时 如何打包 当当 b b2 2h h时 如何打包 时 如何打包 当当 b b2 2h h时 如何打包 时 如何打包 乙 3 乙 2 乙 1 h b a 例例 7 如图 在一个棱长为如图 在一个棱长为 5 5 分米的正方体上放一个棱长为分米的正方体上放一个棱长为 4 4 分米的小正方体 求这个立体图形的表分米的小正方体 求这个立体图形的表 面积 面积 例例 8 2008 2008 年年 希望杯希望杯 五年级第五年级第 2 2 试试 如图 棱长分别为如图 棱长分别为 厘米 厘米 厘米 厘米 厘米 厘米 厘米的四个正厘米的四个正1235 方体紧贴在一起 则所得到的多面体的表面积是方体紧贴在一起 则所得到的多面体的表面积是 平方厘米 平方厘米 例例 9 把把 1919 个棱长为个棱长为 1 1 厘米的正方体重叠在一起 按右图中的方式拼成一个立体图形厘米的正方体重叠在一起 按右图中的方式拼成一个立体图形 求这个立体 求这个立体 图形的表面积 图形的表面积 例例 10 有有 3030 个边长为个边长为 1 1 米的正方体 在地面上摆成右上图的形式 然后把露出的表面涂成红色 求被米的正方体 在地面上摆成右上图的形式 然后把露出的表面涂成红色 求被 涂成红色的表面积 涂成红色的表面积 例例 11 棱长是棱长是厘米 厘米 为整数 的正方体的若干面涂上红色 然后将其切割成棱长是为整数 的正方体的若干面涂上红色 然后将其切割成棱长是 1 1 厘米的小正厘米的小正mm 方体 至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为方体 至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为 此时 此时13 12 的最小值是多少的最小值是多少 m 例例 12 有有 6464 个边长为个边长为 1 1 厘米的同样大小的小正方体 其中厘米的同样大小的小正方体 其中 3434 个为白色的 个为白色的 3030 个为黑色的 现将它们个为黑色的 现将它们 拼成一个拼成一个的大正方体 在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米 的大正方体 在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米 444 例例 13 三个完全一样的长方体 棱长总和是三个完全一样的长方体 棱长总和是 288288 厘米 每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三厘米 每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三 个连续的自然数 给这三个长方体涂色 一个涂一面 一个涂两面 一个涂三面 涂色后把三个连续的自然数 给这三个长方体涂色 一个涂一面 一个涂两面 一个涂三面 涂色后把三 个长方体都切成棱长为个长方体都切成棱长为 1 1 厘米的小正方体 只有一个面涂色的小正方体最少有多少个 厘米的小正方体 只有一个面涂色的小正方体最少有多少个 例例 14 把一个大长方体木块表面上涂满红色后 分割成若干个同样大小的小正方体 其中恰好有两个把一个大长方体木块表面上涂满红色后 分割成若干个同样大小的小正方体 其中恰好有两个 面涂上红色的小正方体恰好是面涂上红色的小正方体恰好是 100100 块 那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体 块 那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体 例例 15 把正方体的六个表面都划分成把正方体的六个表面都划分成 9 9 个相等的正方形 用红 黄 蓝三种颜色去染这些小正方形 个相等的正方形 用红 黄 蓝三种颜色去染这些小正方形 要求有公共边的正方形染不同的颜色 那么 用红色染的正方形最多有多少个 要求有公共边的正方形染不同的颜色 那么 用红色染的正方形最多有多少个 例例 16 一个长 宽 高分别为一个长 宽 高分别为厘米 厘米 厘米 厘米 厘米的长方形厘米的长方形 现从它的上面尽可能大的切下一个现从它的上面尽可能大的切下一个211512 正方体 然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体 最后再从第二次剩余的部分尽可能正方体 然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体 最后再从第二次剩余的部分尽可能 大的切下一个正方体 剩下的体积是多少立方厘米 大的切下一个正方体 剩下的体积是多少立方厘米 例例 17 有黑白两种颜色的正方体积木 把它摆成右图所示的形状 已知相邻有黑白两种颜色的正方体积木 把它摆成右图所示的形状 已知相邻 有公共面有公共面 的积木颜色不的积木颜色不 同 标同 标的为黑色 图中共有黑色积木多少块 的为黑色 图中共有黑色积木多少块 A A 例例 18 05 05 年武汉明心杯数学挑战赛年武汉明心杯数学挑战赛 如图所示 一个如图所示 一个的立方体 在一个方向上开有的立方体 在一个方向上开有的的5 5 5 1 1 5 孔 在另一个方向上开有孔 在另一个方向上开有的孔 在第三个方向上开有的孔 在第三个方向上开有的孔 剩余部分的体积是的孔 剩余部分的体积是2 1 5 3 1 5 多少 表面积为多少 多少 表面积为多少 总结总结 切片法切片法 全面打洞 全面打洞 例如本题 五层一样例如本题 五层一样 挖块成线 挖块成线 例如本题 在前一层的基础上 一条例如本题 在前一层的基础上 一条 线一条线地挖线一条线地挖 这里体现的思想方法是 化整为零 有序思考 这里体现的思想方法是 化整为零 有序思考 例例 19 如图 用高都是如图 用高都是 米 底面半径分别为米 底面半径分别为米 米 米和米和米的米的 个圆柱组成一个物体 问这个物个圆柱组成一个物体 问这个物11 510 53 体的表面积是多少平方米 体的表面积是多少平方米 取取 3 14 1 1 1 0 5 1 1 5 例例 20 有一个圆柱体的零件 高有一个圆柱体的零件 高厘米 底面直径是厘米 底面直径是厘米 零件的一端有一个圆柱形的圆孔 圆孔厘米 零件的一端有一个圆柱形的圆孔 圆孔106 的直径是的直径是厘米 孔深厘米 孔深厘米厘米 见右图见右图 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆 那么一 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆 那么一45 共要涂多少平方厘米 共要涂多少平方厘米 例例 21 第四届希望杯第四届希望杯 2 2 试试题试试题 圆柱体的侧面展开 放平 是边长分别为圆柱体的侧面展开 放平 是边长分别为 1010 厘米和厘米和 1212 厘米的长方形 厘米的长方形 那么这个圆柱体的体积是那么这个圆柱体的体积是 立方厘米 立方厘米 结果用结果用表示表示 例例 22 如右图 是一个长方形铁皮 利用图中的阴影部分 刚好能做成一个油桶如右图 是一个长方形铁皮 利用图中的阴影部分 刚好能做成一个油桶 接头处忽略不计接头处忽略不计 求这个油桶的容积 求这个油桶的容积 3 14 16 56m 巩固巩固 如图 有一张长方形铁皮 剪下图中两个圆及一块长方形 正好可以做成如图 有一张长方形铁皮 剪下图中两个圆及一块长方形 正好可以做成 1 1 个圆柱体 这个圆个圆柱体 这个圆 柱体的底面半径为柱体的底面半径为 1010 厘米 那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米 厘米 那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米 3 14 10cm 例例 23 把一个高是把一个高是 8 8 厘米的圆柱体 沿水平方向锯去厘米的圆柱体 沿水平方向锯去 2 2 厘米后 剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱厘米后 剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱 体表面积减少体表面积减少平方厘米 原来的圆柱体的体积是多少立方厘米 平方厘米 原来的圆柱体的体积是多少立方厘米 12 56 例例 24 一个圆柱体的体积是一个圆柱体的体积是立方厘米 底面半径是立方厘米 底面半径是 2 2 厘米 将它的底面平均分成若干个扇形后 厘米 将它的底面平均分成若干个扇形后 50 24 再截开拼成一个和它等底等高的长方体 表面积增加了多少平方厘米 再截开拼成一个和它等底等高的长方体 表面积增加了多少平方厘米 3 14 例例 25 2008 2008 年年 希望杯希望杯 五年级第五年级第 2 2 试试 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水 如图如图 由图中的数据 由图中的数据 可推知瓶子的容积是可推知瓶子的容积是 立方厘米 立方厘米 取取 3 14 8 单位 厘米 4 10 6 巩固巩固 一个酒精瓶 它的瓶身呈圆柱形一个酒精瓶 它的瓶身呈圆柱形 不包括瓶颈不包括瓶颈 如图 已知它的容积为 如图 已知它的容积为立方厘米 当瓶子立方厘米 当瓶子26 4 正放时 瓶内的酒精的液面高为正放时 瓶内的酒精的液面高为 6 6 厘米 瓶子倒放时 空余部分的高为厘米 瓶子倒放时 空余部分的高为 2 2 厘米 问 瓶内酒精厘米 问 瓶内酒精 的体积是多少立方厘米 合多少升 的体积是多少立方厘米 合多少升 2 6 巩固巩固 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水 瓶底面积为一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水 瓶底面积为平方厘米 平方厘米 如下图所示如下图所示 请你根据图中 请你根据图中10 标明的数据 计算瓶子的容积是 标明的数据 计算瓶子的容积是 7cm 4cm 5cm 例例 26 一个盛有水的圆柱形容器 底面内半径为一个盛有水的圆柱形容器 底面内半径为 5 5 厘米 深厘米 深 2020 厘米 水深厘米 水深 1515 厘米 今将一个底面半厘米 今将一个底面半 径为径为 2 2 厘米 高为厘米 高为 1717 厘米的铁圆柱垂直放入容器中 求这时容器的水深是多少厘米 厘米的铁圆柱垂直放入容器中 求这时容器的水深是多少厘米 例例 27 有甲 乙两只圆柱形玻璃杯 其内直径依次是有甲 乙两只圆柱形玻璃杯 其内直径依次是 1010 厘米 厘米 2020 厘米 杯中盛有适量的水 甲杯中厘米 杯中盛有适量的水 甲杯中 沉没着一铁块 当取出此铁块后 甲杯中的水位下降了沉没着一铁块 当取出此铁块后 甲杯中的水位下降了 2 2 厘米 然后将铁块沉没于乙杯 且乙厘米 然后将铁块沉没于乙杯 且乙 杯中的水未外溢 问 这时乙杯中的水位上升了多少厘米 杯中的水未外溢 问 这时乙杯中的水位上升了多少厘米 例例 28 如图 甲 乙两容器相同 甲容器中水的高度是锥高的如图 甲 乙两容器相同 甲容器中水的高度是锥高的 乙容器中水的高度是锥高的 乙容器中水的高度是锥高的 比 比 1 3 2 3 较甲 乙两容器 哪一只容器中盛的水多 多的是少的的几倍 较甲 乙两容器 哪一只容器中盛的水多 多的是少的的几倍 乙 乙 例例 29 2 20 00 08 8 年年仁仁华华考考题题 如如图图 有有一一卷卷紧紧紧紧缠缠绕绕在在一一起起的的塑塑料料薄薄膜膜 薄薄膜膜的的直直径径为为2 20 0 厘厘米米 中中间间有有一一 直直径径为为 8 8 厘厘米米的的卷卷轴轴 已已知知薄薄膜膜的的厚厚度度为为厘厘米米 则则薄薄膜膜展展开开后后的的面面积积是是 平平方方米米 0 04 20cm8cm 100cm 巩固巩固 图为一卷紧绕成的牛皮纸 纸卷直径为图为一卷紧绕成的牛皮纸 纸卷直径为 2020 厘米 中间有一直径为厘米 中间有一直径为 6 6 厘米的卷轴 已知纸的厚度厘米的卷轴 已知纸的厚度 为为 毫米 问 这卷纸展开后大约有多长 毫米 问 这卷纸展开后大约有多长 0 4 例例 30 如图 如图 是直角三角形 是直角三角形 的长分别是的长分别是 3 3 和和 4 4 将 将绕绕旋转一周 求旋转一周 求ABCABACABC AC 扫出的立体图形的体积 扫出的立体图形的体积 ABC 3 14 C BA 4 3 例例 31 已知直角三角形的三条边长分别为已知直角三角形的三条边长分别为 分别以这三边轴 旋转一周 所形成的 分别以这三边轴 旋转一周 所形成的3cm4cm5cm 立体图形中 体积最小的是多少立方厘米 立体图形中 体积最小的是多少立方厘米 取取 3 14 巩固巩固 如图 直角三角形如果以如图 直角三角形如果以边为轴旋转一周 那么所形成的圆锥的体积为边为轴旋转一周 那么所形成的圆锥的体积为 以 以边为轴边为轴BC16 AC 旋转一周 那么所形成的圆锥的体积为旋转一周 那么所形成的圆锥的体积为 那么如果以 那么如果以为轴旋转一周 那么所形成的几何为轴旋转一周 那么所形成的几何12 AB 体的体积是多少 体的体积是多少 A B C 例例 32 如图 如图 是矩形 是矩形 对角线 对角线 相交相交 分别是分别是ABCD6cmBC 10cmAB ACBDOEF 与与的中点 图中的阴影部分以的中点 图中的阴影部分以为轴旋转一周 则白色部分扫出的立体图形的体积是为轴旋转一周 则白色部分扫出的立体图形的体积是ADBCEF 多少立方厘米 多少立方厘米 取取 3 3 O F A BC DE O F A BC DE 巩固巩固 2006 2006 年年第十一届华杯赛决赛试题第十一届华杯赛决赛试题 如图 如图 是矩形 是矩形 对角线 对角线 ABCD6cmBC 10cmAB AC 相交相交 图中的阴影部分以 图中的阴影部分以为轴旋转一周 则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘为轴旋转一周 则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘BDOCD 米 米 D CB A O 例例 33 人大附中分班考试题目人大附中分班考试题目 如图 在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞 在上如图 在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞 在上 下底面的中心打通一个圆柱形的洞 已知正方体边长为下底面的中心打通一个圆柱形的洞 已知正方体边长为 1010 厘米 侧面上的洞口是边长为厘米 侧面上的洞口是边长为 4 4 厘厘 米的正方形 上下底面的洞口是直径为米的正方形 上下底面的洞口是直径为 4 4 厘米的圆 求此立体图形的表面积和体积 厘米的圆 求此立体图形的表面积和体积 例例 36 36 用棱长是用棱长是 1 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形 问该图形的表面积是多少平方厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形 问该图形的表面积是多少平方 厘米 厘米 例例 37 37 如图是一个边长为如图是一个边长为 2 2 厘米的正方体 在正方体的上面的正中向下挖一个边长为厘米的正方体 在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 1 厘米厘米 的正方体小洞 接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为的正方体小洞 接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为 1 21 2 厘米的小洞 第三个小洞的挖法与前两厘米的小洞 第三个小洞的挖法与前两 个相同 边长为个相同 边长为 1 41 4 厘米 那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米 厘米 那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米 例例 38 38 现有一个棱长为 现有一个棱长为 1cm1cm 的正方体 一个长宽为的正方体 一个长宽为 1cm1cm 高为高为 2cm2cm 的长方体 三个长宽为的长方体 三个长宽为 1cm1cm 高为高为 3cm3cm 的长方体 下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时 从上面 前面 侧面所看到的图的长方体 下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时 从上面 前面 侧面所看到的图 形 试利用下面三个图形把合并成的立体图形 如例 的样子画出来 并求出其表面积 形 试利用下面三个图形把合并成的立体图形 如例 的样子画出来 并求出其表面积 例 例 例例 39 39 有大 中 小有大 中 小 3 3 个正方形水池 它们的内边长分别是个正方形水池 它们的内边长分别是 6 6 米 米 3 3 米 米 2 2 米 把两堆碎石米 把两堆碎石 分别沉没在中 小水池的水里 两个水池的水面分别升高了分别沉没在中 小水池的水里 两个水池的水面分别升高了 6 6 厘米和厘米和 4 4 厘米 如果将这两堆碎石都沉没厘米 如果将这两堆碎石都沉没 在大水池的水里 大水池的水面升高了多少厘米 在大水池的水里 大水池的水面升高了多少厘米 例例 40 40 今有一个长 宽 高分别为今有一个长 宽 高分别为 2121 厘米 厘米 1515 厘米 厘米 1212 厘米的长方体 现从它的上面尽厘米的长方体 现从它的上面尽 可能大的切下一个正方体 然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体 最后再从第二次剩余的部可能大的切下一个正方体 然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方