高中数学《函数的奇偶性》文字素材4 新人教B版必修1

用心 爱心 专心1 函数的奇偶性函数的奇偶性 一 定义 如果对于定义域内任意一个 x 都有 f x f x 那么这个函数叫奇函数 如果对于定义域内任意一个 x 都有 f x f x 那么这个函数叫偶函数 注 1 函数是奇函数或偶函数的判定有以下四种情况 一个函数是奇函数但不是偶函数 一般地 称为奇函数 一个函数是偶函数但不是奇函数 一般地 称为偶函数 一个函数既是奇函数又是偶函数 一个函数既不是奇函数也不是偶函数 2 一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是 这个函数的定义域是 关于原点对称的实数 可知 如果一个函数的定义域不关于原点对称 那么这个函数就不具 有奇偶性 3 判断函数的奇偶性的等价命题 若对于定义域内任意一个 x 有 f x f x 0 成立或 f x 0 成立 则 f x 为 1 fx f x 偶函数 若 f x 是偶函数 那么 f x f x xf 若对于定义域内任意一个 x 有 f x f x 0 成立 f x 0 成立 则 f x 1 fx f x 为奇函数 4 在几个函数的共同定义域上 若 f i x 为奇函数 g i x 是偶函数 可知以下几个 结论 f1 x f2 x 是奇函数 g1 x g2 x 是偶函数 f1 x f2 x2 是偶函数 g1 x g2 x 是 偶函数 f x g x 是奇函数 具有奇偶性函数的图象的特征 奇函数的图象关于原点成中心对称的图形 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形 以上的 性质逆之亦真 二 函数奇偶性的判定 A 函数奇偶性的判定中 六点 勿忘定义域 例 判断下列函数的奇偶性 x x xf 1 1 1 x x xxf 1 1 1 2 1 22 f x x x 勿忘化简解析式 例 判断函数的奇偶性44 22 xxxf 函数 1221 xxy 用心 爱心 专心2 A 是奇函数 不是偶函数 B 是偶函数 不是奇函数 C 既不是偶函数 也不是奇函数 D 既是偶函数 又是奇函数 勿忘分段讨论 例 判断函数的奇偶性 1 0 1 0 xx x f x xx x 勿忘分类讨论 如判断下列函数的奇偶性 f x x a x a 勿忘等价性 如判断的奇偶性 11 212 x f xx 勿忘个别值的特殊性 例 判断函数的奇偶性 316 2f x x x B 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断其奇偶 性 定义法 如判断函数的奇偶性 2 4 4 9 x y x 又如判断下列函数的奇偶性 f x x 2 x 2 利用函数奇偶性定义的等价形式 或 0f xfx 1 fx f x 0f x 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于轴对称 y 赋值法 例 已知定义在 R 上的函数 f x 对一切 x y R 有 f x y f x y 2f x f y 且 f x 不恒为零 判断 f x 的奇偶性 C 特别注意 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定函数 的奇偶性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 如若函数 xf2sin 3 x 为奇函数 其中 则的值是 25 3 x 2 0 三 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数 那么其反函数一定还是奇函数 若为偶函数 则 如若定义在 R 上的偶函数在 f x fxf xfx f x 上是减函数 且 2 则不等式的解集为 0 3 1 f2 log 8 1 xf 若奇函数定义域中含有 0 则必有 故是为奇函数的 f x 0 0f 0 0f f x 既不充分也不必要条件 如若为奇函数 则实数 22 21 x x aa f x a 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数与一个偶函 数的和 或差 如设是定义域为 R 的任一函数 xf 2 f xfx F x 判断与的奇偶性 若将函数 2 f xfx G x xF xG 110lg x xf 用心 爱心 专心3 表示成一个奇函数和一个偶函数之和 则 xg xh xg 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外 既奇又偶函数有无穷多个 定义域是关于原点对称的任意一个数集 0f x 四 好题训练 1 试构造一个函数 使得对一切有恒成立 但是 f x xD xD fxf x 既不是奇函数又不是偶函数 则可以是 f x f x 2 定义两种运算 则函数为 ab 22 ab 2 abab 2 2 2 x f x x A 奇函数 B 偶函数 C 奇函数且为偶函数 D 非奇函数且非偶函数 3 江苏 已知 函数为奇函数 则 a Ra Rxaxxf sin A 0 B 1 C 1 D 1 4 辽宁理 设是 R 上的任意函数 则下列叙述正确的是 f x A 是奇函数 B 是奇函数 f x fx f xfx C 是偶函数 D 是偶函数 f xfx f xfx 5 湖南 若是偶函数 则 a 4 sin 3 4 sin xxaxf 6 设是定义在实数集 R 上的函数 且满足下列关系 f x 是 2006 2006 2006 f xfxfxfxf x 则 A 偶函数又是周期函数B 偶函数 但不是周期函数 C 奇函数 又是周期函数D 奇函数 但不是周期函数 7 函数 g x x2 若 a 0 且 a R 则下列点一定在函数 y g x 的图象上的 2 1 12 1 x 是 A a g a B a g a C a g a D a g a 8 函数 F x 1 f x x 0 是偶函数 且 f x 不恒等于零 则 f x 12 2 x A 是奇函数 B 可能是奇函数 也可能是偶函数 C 是偶函数 D 非奇 非偶函数 9 设函数 y f x 是偶函数 则函数 y af x x2 a R 的图象关于 A x 轴对称 B y 轴对称 用心 爱心 专心4 C 原点对称 D 直线 y x 对称 10 已知定义在实数集上的函数 y f x 满足 f x y f x f y 且 f x 不恒等 于零 则 y f x 是 A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 不能 确定 11 都是定义在 R 上的奇函数 且 若 则 xf xg2 5 3 xgxfxFbaF aF A B C D 2 b4 b2 b2 b 12 给定 是定义在 R 上的偶函数 的图像关于直线对称 1 xfy 2 xfy 1 x 为 的一个周期 如果将上面 中的任意 2 个作为条件 余 32 T xfy 1 2 3 下一个作为结论 那么构成的三个命题中真命题的个数有 个 A 0B 1C 2D 3 13 函数与有相同的定义域 且都不是常函数 对定义域中任何 x x fy x gy 有 且当时 则1 x g x g 0 x f x f 0 x 1 x g A x f 1 x g x f2 x F 是奇函数但不是偶函数 B 是偶函数但不是奇函数 C 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数又不是奇函数 14 函数的图象关于 0 22 cba cxbx xa xf A x 轴对称B y 轴对称C 原点对称D 直线 y x 对称 15 已知定义域为 R 的函数那么 为无理数 为有理数 x x xf 1 0 xf A 是奇函数且是周期函数 B 是偶函数且是周期函数 C 是偶函数但不是周期函数 D 既不具有奇偶性又不具有周期性 16 定义在 R 上的奇函数 f x 满足 当 x 0 时 f x 2006x log2006x 则在 R 上方程 f x 0 的实根个数为 A 1 B 2C 3 D 2006 17 设为偶函数 对于任意的都有 已知 xf0 x 2 2 2 xfxf 那么 A 2 B C 4 1 f 3 f2 8 D 8 18 已知是偶函数 其定义域为 1 2 则点 babxaxxf 3 2 aaab 的轨迹为 A 点 B 直线 C 线段 D 射线 19 若奇函数满足 则 Rxxf 1 2 f 2 2 fxfxf 5 f A 0B 1C D 5 2 5 用心 爱心 专心5 20 已知函数满足对恒成立 则函数 2sin xxf afxf Rx A 函数一定是偶函数 B 函数一定是偶函