2011年高考数学 第二章 第六节反函数训练

1 同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 2008 全国 若函数 y f x 1 的图象与函数 y ln 1 的图象关于直线 y x 对称 x 则 f x A e2x 1 B e2x C e2x 1 D e2x 2 答案 B 解析 函数 y ln 1 的反函数为 y e2 x 1 即 f x 1 e2 x 1 f x e2x 故选 B x 2 2008 北京 函数 f x x R 存在反函数 是 函数 f x 在 R 上为增函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若函数 f x 在 R 上为增函数 则 x 与 y 一一对应 故存在反函数 必要性成立 若函数 f x 存在反函数 则 x 与 y 一一对应 函数 f x 在 R 上也可能是减函数 充分性不成立 故选 B 3 函数 y Error Error 的反函数是 A y Error Error B y Error Error C y Error Error D y Error Error 答案 C 解析 本题考查求分段函数的反函数 y Error Error 当 x 0 x y y 2 x 2 当 x 0 x y y x y Error Error Error Error 故选 C 4 2009 郑州一测 定义在 R 上的函数 f x 的反函数为 f 1 x 且对于任意 x R 都有 f x f x 3 则 f 1 x 1 f 1 4 x A 0 B 2 C 2 D 2x 4 答案 A 解析 由 f x f x 3 可知函数 y f x 的图象关于点 0 对称 因此其反函数 3 2 y f 1 x 的图象必关于点 0 对称 即有 f 1 x f 1 3 x 0 故 f 1 x 1 f 1 3 x 1 3 2 0 即 f 1 x 1 f 1 4 x 0 选 A 5 已知函数 f x 的反函数 f 1 x 的图象的对称中心是 则函数 h x a x x a 1 1 3 2 loga x2 2x 的单调递增区间是 A 1 B 1 C 0 D 2 答案 C 解析 由已知得 f x 1 知 其对称中心是点 a 1 1 因此 其反函数 1 x a 1 f 1 x 的对称中心是点 1 a 1 结合题意得 a 1 a 因此函数 h x 的单调递增区间 3 2 1 2 由Error Error 确定 由此解得 x4 时 f x log3 x 1 log35 0 当 x 4 时 00 2a 4 2 3 a 1 f a 7 f 8 log39 2 故选 A 1 8 1 8 1 8 7 已知函数 f x 的反函数为 f 1 x 若函数 y g x 的图象与函数 y f 1 x 1 的 ax 3 x 1 图象关于直线 y x 对称 且 g 3 则实数 a 的值为 7 2 A 2 B 1 C 1 D 1 2 答案 A 解析 由题意得 f 1 x x 3 x a f 1 x 1 又 g 3 y 中的 x y 3 代入解得 a 2 故 x 4 x 1 a 7 2 x 4 x 1 a 7 2 选 A 8 2009 湖北八校联考 已知函数 f x ex ex 2 x 1 其中 e 是自然对数的底数 的反 1 2 函数为 f 1 x 则有 A f 1 f 1 1 2 3 2 1 2 3 2 C f 1 f 1 2 3 2 3 2 答案 A 解析 函数 f x ex ex 2 ex是一个单调递增函数 f 1 x 在 0 上也 1 2 e2 1 2e2 是单调递增函数 又 x 1 f x ex e e2 1 2e2 e2 1 2e2 e2 1 2e 2 2 e 3 0 e 2 1 e 2 2 3 0 2 e2 1 2e e2 4e 1 2e e 2 2 3 2e e2 1 2e e2 1 2e 3 2 e2 3e 1 2e e f 3 2 2 5 4 2e 2 7 e 2 8 1 2 e 0 2 3 2 5 4 e2 1 2e 3 2 3 2 e2 1 2e 在 x 1 时 函数 f x ex ex 2 的值域为 0 其中 0 设 f 1 7 a 则 f a a2 7 故 a 7 11 2009 湖北五市联考 函数 f x Error Error 的反函数为 f 1 x 则 f 1 18 答案 4 解析 设 f 1 18 m f m 18 x2 2 18 得 x 4 又 x 0 x 4 三 解答题 12 求下列函数的反函数 1 y x 1 2x 3 x 1 2 y x 1 x2 1 3 y x x 2x 解 1 y 2 在 x 1 时为减函数 2x 3 x 1 5 x 1 存在反函数 原函数值域为 y y 2 1 2 又由 y 得 x 2x 3 x 1 y 3 y 2 故反函数为 y x 2 x 3 x 2 1 2 2 x 1 y 0 x2 1 由 y 得 y2 x2 1 x2 1 y2 x2 1 x 1 x y 0 1 y2 f 1 x x 0 1 x2 3 当 x 0 时 y x2 2x 即 x 1 2 y 1 x 1 y 0 y 1 当 x0 b 1 的图象经过点 A 1 3 函数 y f 1 x a 的图象 经过点 B 4 2 试求 f 1 x 的表达式 解 由 f x a bx 1 b 0 b 1 得 x 1 logb y a bx 1 0 则 a bx 1 a y a f 1 x 1 logb x a x a f 1 x a 1 logbx x 0 点 A 在 f x 的图象上 点 B 在 f 1 x a 的图象上 Error Error 解得Error Error f 1 x 的表达式为 f 1 x log4 x 2 1 x 2 14 已知定义在 R 上的函数 f x 的反函数为 f 1 x 且函数 f x 1 的反函数恰为 y f 1 x 1 若 f 1 3999 求 f 2010 的值 4 解 y f 1 x 1 f y f f 1 x 1 x f y 1 y f 1 x 1 的反函数为 y f x 1 f x 1 的反函数为 y f 1 x 1 f x 1 f x 1 f n 是以 3999 为首项 1 为公差的等差数列 f 2010 3999 2010 1 1990 15 已知函数 f x Error Error m R e 2 71828 是自然对数的底数 1 求函数 f x 的极值 2 当 x 0 时 设 f x 的反函数为 f 1 x 对 0 p0 f x ex 1 在 0 上单调递增 且 f x ex 1 0 当 x 0 时 f x x3 mx2 此时 f x x2 2mx x x 2m 1 3 若 m 0 f x x2 0 则 f x x3 在 0 上单调递增 且 f x x3 0 1 3 1 3 又 f 0 0 可知函数 f x 在 R 上单调递增 无极值 若 m0 x 2m 舍去 函数 f x x3 mx2在 0 上单调递增 1 3 同理 函数 f x 在 R 上单调递增 无极值 若 m 0 令 f x x x 2m 0 x 0 或 x0 8 3 4 3 又 f x 在 0 上单调递增 故在 x 0 处取得极小值 f 0 0 综上可知 当 m 0 时 f x 的极大值为 m3 极小值为 0 当 m 0 时 f x 无极值 4 3 2 当 x 0 时 设 y f x ex 1 y 1 ex x ln y 1 f 1 x ln x 1 x 0 比较 f q p 与 f 1 q p 的大小 记 g x f x f 1 x ex ln x 1 1 x 0 g x ex 在 0 上是单调递增函数 1 x 1 g x g 0 e0 0 恒成立 1 0 1 函数 g x 在 0 上单调递增 g x g 0 e0 ln 0 1 1 0 当 0 p0 g q p eq p ln q p 1 1 0 eq p 1 ln q p 1 即 f q p f 1 q p 比较 f 1 q p 与 f 1 q f 1 p 的大小 ln q p 1 ln q 1 ln p 1 ln q p 1 ln q 1 ln p 1 5 ln q p 1 p 1 q