2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题（六） 理 （广东卷）

绝密绝密 启用前启用前 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 六 理科数学年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 六 理科数学 必修必修 选修选修 II II 第第 I 卷卷 注意事项 1 答第 I 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其他答案标号 不能答在试题卷上 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件AB 互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件AB 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP A P B AA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p 那么 3 4 3 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 已知函数f x x x 3 log2 0 0 x x 则f f 4 1 的值是 A 9B 9 1 C 9 D 9 1 2 在 BC中 sinA sinB 是 cosA cosB的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3 设 x y 满足约束条件 0 0 0 023 yx yx yx 若目标函数 0 0 babyaxz的最大值 1 则 ba 11 的最小值为 A 6 25 B 3 8 C 3 11 D 4 4 已知等比数列 n a的前三项依次为t 2t 3t 则 n a A 1 4 2 n B 4 2n C 1 1 4 2 n D 1 4 2n 5 函数y 2 xx ee 的反函数 A 是奇函数 它在 0 上是减函数 B 是偶函数 它在 0 上是减函数 C 是奇函数 它在 0 上是增函数 D 是偶函数 它在 0 上是增函数 6 从 6 名学生中选 4 人分别从事 A B C D 四项不同的工作 若甲 乙两人不能从事 A 工作 则不同的选派方案共有 A 280B 240C 180D 96 7 函数 sin f xAx 其中0 2 A 的图象如图所示 为了得到 xxg2sin 的图像 则只需将 f x的图像 A 向右平移 6 个长度单位 B 向右平移 12 个长度单位 C 向左平移 6 个长度单位 D 向左平移 12 个长度单位 8 已知直线xya 与圆 22 4xy 交于 A B两点 且 OAOBOAOB 其中O为坐标原点 则实数a的值为 A 2 B 6 C 2或2 D 6或6 9 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若lm m 则l B 若l lm 则m C 若l m 则lm D 若l m 则lm 10 P为双曲线 169 22 yx 1 的右支上一点 M N分别是圆 22 5 4xy 和 22 5 1xy 上的点 则PMPN 的最大值为 A 6 B 7 C 8 D 9 11 设函数 f x 在 R 上满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 则方程 f x 0 在闭区间 2011 2011 上的根的个数为 A 802B 803 C 804D 805 12 若F c 0 是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点 F与椭圆上点的距离的最大值为M 最小值 为m 则椭圆上与F点的距离等于 2 mM 的点的坐标是 A c a b2 B c a b2 C 0 b D 不存在 第第 卷卷 注意事项 1 用 0 5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答 2 本卷共 10 小题 共 90 分 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 已知函数 2 cos 212 x f x sin2g xx 设 0 xx 是函数 yf x 图象的一条对称轴 则 0 g x的值等于 14 二项式 3 2 1 nx x 的展开式中 只有第 6 项的系数最大 则该展开式中的常数项为 15 已知曲线 2 1yx 在 0 xx 处的切线与曲线 3 1yx 在 0 xx 处的切线互相平行 则 0 x的值为 16 已知三棱锥SABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底面 ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 在 ABC 中 cba 分别为角CBA 的对边 已知向量 cos1 sinBBm 与 向量 1 0 n 的夹角为 6 求 I 角 B 的大小 b ca 的取值范围 18 本小题满分 12 分 数列 n a的各项均为正数 n S为其前n项和 对于任意 Nn 总有 2 nnn a Sa成等 差数列 1 求数列 n a的通项公式 2 设 2 1 n n b a 数列 n b的前n项和为 n T 求证 1 n n T n 19 本小题满分 12 分 已知四棱锥PABCD 的底面为直角梯形 ABDC 0 90DAB PA 底面ABCD 且 1 2PAADDCAB M是PB的中点 1 求AC与PB所成角的余弦值 2 求平面AMC与平面 APD 所夹角的余弦值 20 本小题满分 12 分 投掷四枚不同的金属硬币 A B C D 假定 A B 两枚正面向上的概率均为 1 2 另两枚 C D 为非均匀硬币 正面向上的概率均为 a 0 a 1 把这四枚硬币各投掷一 次 设 表示正面向上的枚数 1 若 A B 出现一正一反与 C D 出现两正的概率相等 求 a 的值 2 求 的分布列及数学期望 用 a 表示 3 若出现 2 枚硬币正面向上的概率最大 试求 a 的取值范围 M P A B CD 21 本小题满分 12 分 已知直线1xy 过抛物线 2 2ypx 的焦点 F 1 求抛物线 C 的方程 2 过点 1 0 T 作直线l与轨迹C交于A B两点 若在x轴上存在一点 0 0 E x 使得 ABE 是等边三角形 求 0 x的值 22 本小题满分 12 分 已知 x x xgexx x a xf ln 0 ln 其中e是无理数 且 71828 2 e Ra 1 若1 a时 求 f x的单调区间 极值 2 求证 在 1 的条件下 1 2 f xg x 3 是否存在实数a 使 f x的最小值是1 若存在 求出a的值 若不存在 说明理 由 2011 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 六 理科数学理科数学 必修必修 选修选修 II 参考答案参考答案 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 题号123456789101112 答案BCDCCBACBDDC 二 填空题 本题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在答题卡的相应位置 13 3 2 14 210 15 0或 2 3 16 4 3 三 解答题 本题共 6 小题 总分 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 I 2 3 cos22cos1 BB 2 3 cos1 B 2 1 cos B B0 3 2 B 6 分 II 由正弦定理得 3 sin sin 3 2 sin sinsin AA B CA b ca 3 sin 3 2 sin 2 1 cos 2 3 sin 3 2 AAAA 3 0 A 3 2 33 A 1 3 sin 2 3 A 3 32 1 b ca 故 b ca 的取值范围是 1 3 32 12 分 18 解 1 由已知 对于 Nn 总有 2 2 nnn Saa 成立 2 11 1 2 nn n Saa n 2 得 2 11 2 2 nnnnn aaaaa 111 nnnnnn aaaaaa 1 nn aa均为正数 1 1 nn aa n 2 数列 n a是公差为 1 的等差数列 又 n 1 时 2 111 2Saa 解得 1 a 1 nan Nn 2 解 由 1 可知 2 1 n b n 2 1111 1 1nn nnn 11111 1 22311 n n T nnn 解 以 A 为坐标原点 AD AB AP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 则各点坐标为 A 0 0 0 B 0 2 0 C 1 1 0 D 1 0 0 P 0 0 1 M 0 1 1 2 1 因AC 1 1 0 PB 0 2 1 故 AC 2 PB 5 AC PB 2 所以 10 cos 5 AC PB AC PB ACPB 即AC与PB所成的角的余弦值为 10 5 2 由AM 0 1 1 2 MC 1 0 1 2 设平面 AMC 的法向量为 1 n x y z 则 1 n AM 1 n MC 0 解得 1 n 1 1 2 又平面 PAD 的法向量为 2 n 0 1 0 从而 12 12 6 cos 6 n n nn 所以面 AMC 与面 BMC 夹角的余弦值为 6 6 20 解 由题意 得 2 112 21 222 aa 2 分 0 1 2 3 4 02022 22 11 0 1 1 1 24 pCCaa 3 分 102022 222 1111 1 1 1 1 1 1 2222 pCCaCC aaa 4 分 2202110222 222222 1111 2 1 1 1 2222 1 pCCaCC aaCC a 2 1 122 4 aa 5 分 221122 2222 111 3 1 1 2222 a pCCaCC aa 6 分 22222 22 11 4 24 pCC aa 7 分 得 的分布列为 01234 p2 1 1 4 a 1 1 2 a 2 1 122 4 aa 2 a 2 1 4 a 的数学期望为 22 111 1 1 2 122 3421 2424 a Eaaaaa 8 分 2 11 01 1 1 0 1 42 aaapp 显然即 9 分 2 1 3 4 24 a app 又即 10 分 22 111 2 1 122 1 241 424 ppaaaaa 由 0 22 11 2 3 122 21 424 a ppaaa 且 0 11 分 2 2 2410 222 22 210 aa a a 得解得 222 22 a 即的取值范围是 12 分 21 2 4yx 6 分 设直线l 1 0 yk xk 代入 2 4 0 yx x 得 2222 2 2 0k xkxk 没 1122 A x yB xy则 2 12 2 2 2 k xx k 12 1xx AB 的中点为 2 2 22 k kk 线段 AB 的垂分线方程为 2 2 212 k yx kkk 令 y 0 得 0 2 2 1x k ABC 为正三角形 点 E 到直线l的距离为 3 2 AB 又 2 2 4 1 1 k ABk k 所以 k 3 2 0 11 3 x 13 分 22 解 1 当1 a 时 ln 1 x x xf 22 111 x x xx xf 当10 x时 0 x f 此时 f x单调递减 当ex 1时 0 x f 此时 f x单调递增 xf 的的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 e f x的极小值为 1 1 f 2 由 1 知 f x在 0 e上的最小值为 1 令 2 1ln 2 1 x x xgxh 0 ex 2 ln1 x x xh 当ex 0时 0 x h h x在 0 e上单调递增 1 2 1 2 1 2 11 minmax xf e ehxh 在 1 的条件下 1 2 f xg x 3 假设存在实数a 使 ln x x a xf 0 ex 有最小值1 22 1 x ax xx a xf 当0 a时 0 0 xfex xf在 0 e上单调递增 此时 xf无最小值 当ea 0时 若0 0 xfax则 故 xf在 0 a上单调递减 若0 xfexa则 故 xf在 ea上单调递增 1ln min a a a afxf 得 2 1 e a 满足条件 当ea 时 0 0 xfex xf在 0 e上单调递减 eae e a efxf2 1ln min 得 舍去 所以 此时 xf无最小值 综上 存在实数 2 1 e a 使得当 0 ex 时 f x的最小值是1 3 法二 假设存在实数a 使 ln x x a xf 0 ex 的最小值是1 故原问题等价于 不等式 1ln x x a 对 0 ex 恒成立