山东省泰安市2013届高三数学12月质检试题 理（精品解析）（教师版）

1 山东省泰安市山东省泰安市 20132013 届高三数学届高三数学 1212 月质检试题月质检试题 理 精品解析 理 精品解析 教 教 师版 师版 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一个选项是符合题目要求的 把正确选项的代号涂在答题卡上 1 如果全集RU 42 xxA 4 3 B 则 A UB等于 A 4 3 3 2 B 2 4 C 4 3 3 2 D 4 2 答案 A 解析 因为 A UB 4 3 3 2 故选 A 考点定位 本小题主要考查集合的交并补运算 属容易题 熟练基础知识是解答好本类题 的关键 2 设函数xxxf6 2 则 xf在0 x处的切线斜率为 A 0B 1C 3D 6 答案 D 解析 因为 26fxx 所以 xf在0 x处的切线斜率为6 故选 D 考点定位 本小题主要考查导数的几何意义 属基础题 正确理解导数的几何意义是解答 好本题的关键 3 已知 2 sin 3 则 cos 32 等于 A 5 3 B 1 9 C 1 9 D 5 3 2 用 属基础题 熟练这部分的公式是解决好本类题目的关键 4 已知 m n 是两条不同直线 是两个不同平面 下列命题中的假命题的是 A 则若 mm B nmnm则若 C nmnm 则若 D 则若 mm 5 下列函数中 在其定义域内 既是奇函数又是减函数的是 A x xf 1 B xxf C xx xf22 D xxftan 答案 C 解析 由奇函数 排除选项 B 又由减函数 排除选项 D 又因为反比例函数 x xf 1 在 0 x 处无意义 所以不能说这个函数其定义域内是减函数 故选 C 考点定位 本小题主要考查函数的单调性与奇偶性 函数的性质是函数的主要内容 也是 高考的热点问题 年年必考 6 已知两条直线2 axy和01 2 3 yax互相平行 则a等于 A 1 或 3 B 1 或 3 C 1 或 3 D 1 或 3 答案 A 解析 由题意知 2a 且0a 又由两直线平行可得 1 2 32 a a 解得1a 或 3a 故选 A 考点定位 本小题主要考查两直线平行的条件 要注意特殊情况 7 如果axx 9 1 对任意实数x总成立 则a的取值范围是 A 8 aa B 8 aa C 8 aa D 8 aa 8 已知 n a为等比数列 47 2aa 56 8a a 则 110 aa 等于 A 7 B 5 C D 3 9 如图所示 已知2 ABBC OAa OBb OCc 则下列等式中成立的是 A 31 22 cba B 2cba C 2cab D 31 22 cab 答案 A 解析 OCOBBC 1 2 OBAB 11 22 OBOBOA 31 22 ba 故选 A 考点定位 本小题主要考查平面向量的线性运算 平面向量基本定理 难度不大 熟练平 面向量的基础知识是解答好本类问题的关键 10 关于x的方程0 2 coscoscos 22 C BAxx有一个根为1 则 ABC中一定有 A AB B BC C AC D 2 AB 答案 A 解析 因为关于x的方程0 2 coscoscos 22 C BAxx有一个根为1 所以 2 coscoscos1 2 C AB 即 2 1 cos1 cos coscossin 222 CCAB AB 所以 2coscos1 cos 1 coscossinsinABABABAB 即cos 1AB 所以 0AB 故AB 选 A 考点定位 本小题主要考查三角变换 解三角形的基础知识 难度不大 11 若一个螺栓的底面是正六边形 它的主视图和俯视图如图所示 则它的体积是 A 273 12 B 9 312 C 27 33 D 543 3 答案 C 解析 由三视图可知 该几何体由一个棱柱和一个圆柱构 成 所以其体积为 4 3 69 2 4 2 13 27 33 故选 C 考点定位 本小题主要考查立体几何中的三视图 考查空间几何体的体积的计算 考查想 象能力以及逻辑推理能力 12 已知二次函数cbxaxxf 2 的导数0 0 fxf 且 xf的值域为 0 则 0 1 f f 的最小值为 A 3 B 2 5 C 2 D 2 3 第 卷 非选择题 90 分 2 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 dxxx 2 2 cos sin 答案 2 解析 原式 2 2 cossin xx 2 考点定位 本小题主要考查定积分的计算 属基础题 定积分的计算是新课标新增内容 是 理科数学高考的重点内容之一 年年必考 14 设 x y满足约束条件 0 1 3 x y xy xy 则2zxy 的取值范围为 5 15 已知 A 1 2 B 3 4 C 2 2 D 3 5 则向量AB 在向量CD 上的投影为 答案 2 10 5 解析 因为 2 2 AB 1 3 CD 所以264AB CD 10CD 所以 向量AB 在向量CD 上的投影为 AB CD CD 4 10 2 10 5 考点定位 本小题主要考查平面向量数量积的几何意义 正确理解平面向量数量积的几何 意义是解答好本类题目的关键 16 给出下列四个命题 命题 0cos xRx 的否定是 cos0 xRx 若10 a 则函数3 2 x axxf只有一个零点 若 lg lglgbaba 则ba 的最小值为 4 对于任意实数x 有 xfxf 且当0 x时 0 xf 则当0 x时 0 xf 其中正确命题的序号是 填所有正确命题的序号 6 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题满分 12 分 在ABC 内 cba 分别为角 A B C 所对的边 a b c 成等差数列 且 a 2c 求 Acos的值 若 4 153 ABC S 求 b 的值 解析 因为 a b c 成等差数列 所以 a c 2b 2 分 又ca2 可得cb 2 3 4 分 所以 4 1 2 3 2 4 4 9 2 cos 2 222 222 c ccc bc acb A 6 分 由 0 4 1 cos AA 所以 4 15 sin A 8 分 因为AbcSS ABCABC sin 2 1 4 153 所以 4 153 4 15 2 3 2 1 sin 2 1 2 cAbcS ABC 10 分 得3 2 4 2 bcc即 12 分 考点定位 本题主要考查余弦定理 三角形的面积公式和等差数列等基础知识 属基础 题 熟练其基础知识是解答好本类问题的关键 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a为递增数列 满足 2 315 a5a5a25 在等比数列 n324354 b ba2 ba5 ba13 中 求数列 n b的通项公式 n b 7 A A1 B C D B1 C1 x y z 若数列 n b的前n项和为 n S 求证 数列 n 5 S 4 是等比数列 解析 2 12 2 3 2 3 3 2 435 2 324 2 18 1 5 25 1025 5 0 52 5 2 13 100 7 18 11260 13 2 0 2 13 nn aaa aa a a adb bbb aaa dd dd dd dd b 3 解由已知 整理 得 分 设等差数列的公差为等比数列的公比为q 由 不合题意 舍去 34 1 32 33113 31 1 1 1 5 5 52 4 5 5 2 25 2 7 4 5 1 2 1 55 4 2 2 11 244 55 29 44 55 2 44 2 55 2 44 nnnn nn n n n n n n n n n n bb bqb bb bbqbbq bq SnN q S S nN S 分 分 分 则11 55 212 42 n S 分 数列是以为首项为公比的等比数列分 考点定位 本题主要考查等差等比数列的定义 通项公式与前 n 项和公式的应用 考查 考生分析问题与解决问题的能力 19 本小题满分 12 分 已知直三棱柱 111 ABCABC 中 5 4 3ABACBC 1 4AA 点D在AB上 1 若D是AB中点 求证 1 AC 平面 1 BCD 2 当 1 5 BD AB 时 求二面角 1 BCDB 的余弦值 解析 1 证明 连结BC1 交B1C于E DE 直三棱柱ABC A1B1C1 D是AB中点 侧面B B1C1C A A1 B C D B1 C1 第 19 题图 8 由 12 0BC n 2 0CD n 得 340 124 0 55 xz xy 所以 4 4 3 xy 2 4 4 1 3 n 设二面角 1 BCDB 的大小为 3 cos 13 a b a b 11 分 所以二面角 1 BCDB 的余弦值为 3 13 12 分 考点定位 本题主要考查空间中线线与线面的平行问题的证明 空间二面角的求解 考 查考生空间想象能力 逻辑推理能力 以及分析问题与解决问题的能力 20 本小题满分 12 分 设函数axxxxf 2 coscossin3 写出函数的最小正周期及单调递减区间 当 3 6 x时 函数 xf的最大值与最小值的和为 2 3 求 xf的解析式 将满足 的函数 xf的图像向右平移 12 个单位 纵坐标不变横坐标变为原来 的 2 倍 再向下平移 2 1 得到函数 xg 求 xg图像与x轴的正半轴 直线 2 x所围 成图形的面积 9 2 由题意知xxgsin 10 分 2 0 2 0 cossin xxdx 1 12 分 考点定位 本题主要考查三角变换 三角函数的图象与性质 定积分的计算等基础知识 考查同学们分析问题与解决问题的能力 21 本小题满分 12 分 如图所示 将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN 要求B点在 AM上 D点在AN上 且对角线MN过C点 已知3 AB米 2 AD米 I 要使矩形AMPN的面积大于 32 平方米 则DN的长 应在什么范围内 II 当DN的长度是多少时 矩形花坛AMPN的面积最小 并求出最小值 解析 I 设DN的长为x 0 x 米 则2ANx 米 AM DC AN DN 32x AM x 2 分 2 32 AMPN x SANAM x 由32 AMPN S得 2 32 32 x x 又0 x 得 2 320120 xx 解得 2 06 3 xx 或 10 22 本小题满分 14 分 已知函数 12ln R mmxxxf I 求函数 12ln R mmxxxf的单调区间 II 若函数mmxf求恒成立 1 2 的取值范围 III 当 2 3 4 10 1 ba bfaf abm证明时且 解析 I 函数 2 1 的定义域为xf 21 1 2 1 12ln 2 1 m x xfxmxxxf 1 分