实数大小比较的常用方法

1 实数的大小比较的常用实数的大小比较的常用方法方法 一 法则法一 法则法 比较实数大小的法则是 正数都大于零 零大于一切负数 两个负数相比较 绝对值大的反 而小 例 1 比较 与 5 的大小 析解 由于 5 5 且 5 所以 5 说明 利用法则比较实数的大小是最基本的方法 对于两个负数的大小比较 可将它转化成 正数进行比较 二 平方法二 平方法 用平方法比较实数大小的依据是 对任意正实数 a b 有 baba 22 例 2 比较 73 与 37 的大小 析解 由于 147 37 63 73 22 而 14763 所以 3773 说明 本题也可以把外面的因数移到根号内 通过比较被开方数大小来比较原数的大小 目 的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较 三 数形结合方法三 数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是 在同一数轴上 右边的点表示的数总比左边的点 表示的数大 例 3 若有理数 a b c 对应的点在数轴上的位置如图 1 所示 试比较 a a b b c c 的大小 析解 如图 2 利用相反数及对称性 先在数轴上把数 a a b b c c 表示的点画 出来 容易得到结论 cbaabc 四 作差法 四 作差法 差值比较法的基本思路是设 a b 为任意两个实数 先求出 a 与 b 的差 再根据 2 当 a b 0 时 得到 a b 当 a b 0 时 得到 a b 当 a b 0 得到 a b 例 1 1 比较与的大小 2 比较 1 与 1 的大小 解 0 解 1 1 0 1 1 例 2 比较的大小 解析 因为 所以 五 作商法五 作商法 比较实数的大小的依据是 对任意正数 a b 有 ba1 b a ba1 b a ba1 b a 来比 较 a 与 b 的大小 例 1 比较与的大小 解 1 例 2 比较 12008 12008 222 111 与 12008 12008 333 222 的大小 析解 设 12008 12008 n 12008 12008 m 333 222 222 111 111 2008a 则 2008a 2008a 33332222 nm 1 1a2a 1aaa n m 1a2a1aaa a2aa 0 1a aa2aa 1a2a 1aaa 1a 1a 1a 1a n m 1a 1a n 1a 1a m 24 34 434 23 223 24 34 2 3 2 3 2 2 3 即 12008 12008 12008 12008 333 222 222 111 例 3 比较与的大小 2010 2009 2009 2008 解 1 2010 2009 2009 2008 2010 2009 2008 2009 4036080 4036081 所以 2010 2009 2009 2008 六 倒数法六 倒数法 倒数法的基本思路是设 a b 为任意两个正实数 先分别求出 a 与 b 的倒数 再根据当 时 a b 来比较 a 与 b 的大小 例 1 比较 与 的大小 解 又 例 2 已知 a 1 b 2 试比较与的大小 12 a a 23 a b 解 2 因为 a 1 所以 2 3 a a12 a a2 a 1 a 1 a 1 3 因为 b 2 所以 3 3 b a23 b b3 b 2 b 2 b 2 因为 所以 a a12 b a23 12 a a 23 a b 例 3 设 则 a b c 的大小关系是 A a b c B a c b C c b a D b c a 解析 当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时 可选用倒数法 首先 4 因为 所以 则 b c 又因为 所以 则 a b 由此可得 a b c 故选 A 七 平方法七 平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方 再根据 a 0 b 0 时 可由 得到 a b 来比较大小 这种方法常用于比较无理数的大小 例 5 比较与的大小 解 8 2 又 8 2 8 2 八 估算法八 估算法 估算法的基本是思路是设 a b 为任意两个正实数 先估算出 a b 两数或两数中某部分的取 值范围 再进行比较 例 4 比较与的大小 解 3 4 3 1 九 比较被开方数法 九 比较被开方数法 基本是思路是 当 a 0 b 0 若要比较形如 a的大小 可先把根号外的因数 a 与 c 平方后移入根号内 再根据被开方数的大小进行比较 例 6 比较 2与 3的大小 解 2 3 又 28 27 2 3 十 特殊值法十 特殊值法 比较两个实数的大小 有时取特殊值会更简单 例 1 当时 的大小顺序是 5 解 特殊值法 取 则 2 2 例 2 已知 x y 0 设 则 M N P Q 的大小关系是 A M Q P N B M P Q N C Q N P M D N Q P M 解析 根据条件 不妨设 则 M 4 N 1 不难得到 N Q P M 因 此 应选 D 例 3 已知 a 1 b 2 则 填 或 12 a a 23 a b 分析 为填空题 可用赋值法 取 a 2 b 3 代入 所以填入 5 2 11 3 例 4 设 a 20 b 3 2 c d 则 a b c d 按由小到大的顺序排列正确 的是 A c a d b B b d a c C a c d b D b c a d 分析 可以分别求出 a b c d 的具体值 从而可以比较大小 解 因为 a 20 1 b 3 2 9 c d 2 而 1 2 9 所以 c a d b 故应选 A 除以上七种方法外 还有利用数轴上的点 右边的数总比左边的数大 以及绝对值比较法等 比较实数大小的方法 对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题 能快速地取得令人满意 的结果 十一 十一 中间值法 还是判不了 就把中人找 中间值法 还是判不了 就把中人找 如果 a c c b 那么 a b 若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小 而另一个恰 好比该数大时 可选用此法 例 1 比较的大小 解析 因为 所以 所以 即 例