最大面积的问题(1)

2 7 最大面积是多少 教学目标如下 一 知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够运用二次函数的 知识解决实际问题中的最大 小 值 二 过程与方法 1 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 培养学生的分析判断 能力 2 通过运用二次函数的知识解决实际问题 培养学生的数学应用能力 三 情感态度与价值观 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学方法解决实际问 题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值 2 能够对解决问题的基本策略进行反思 形成个人解决问题的风格 3 进一步体会数学与人类社会的密切联系 了解数学的价值 增进对数学的理解和学好数 学的信心 具有初步的创新精神和实践能力 教学重点 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学方法解决实际问 题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值 2 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够运用二次函数 的知识解决实际问题 教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能运用二次函数的有 关知识解决最大面积的问题 三 教学过程分析 本节课分为五个环节 分别是 创设问题情境引入新课 归纳升华 课堂练习活动探究 课时小结 课后作业 第一环节 创设问题情境 引入新课 上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题 知道了求最大利润就是求二次函数的最大 值 实际上就是利用二次函数来解决实际问题 解决这类问题的关键是要审清题意 明确 要解决的是什么 分析问题中各个量之间的关系 建立数学模型 在此基础上 利用我们 所学过的数学知识 逐步得到问题的解答过程 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题 活动内容 由四个实际问题构成 1 问题一 如下图 在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD 其中 AB 和 AD 分别 在两直角边上 1 设长方形的一边 AB x m 那么 AD 边的长度如何表示 2 设长方形的面积为 y m2 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 问题一的设计目的 对于这个问题 教师将其作为例题 不论是对问题本身的分析 还是具体的解法过程 都 将作出细致 规范的讲解和示范 具体的过程如下 分析 1 要求 AD 边的长度 即求 BC 边的长度 而 BC 是 EBC 中的一边 因此可以用 三角形相似求出 BC 由 EBC EAF 得 即 所以 AD BC 40 x 2 要求面积 y 的最大值 即求函数 y AB AD x 40 x 的最大值 就转化为数学问题 了 下面请小组开始讨论并写出解题步骤 1 BC AD EBC EAF 又 AB x BE 40 x BC 40 x AD BC 40 x 30 x 2 y AB AD x 30 x x2 30 x x2 40 x 400 400 x2 40 x 400 300 x 20 2 300 当 x 20 时 y 最大 300 即当 x 取 20m 时 y 的值最大 最大值是 300m2 2 问题二 将问题一变式 设 AD 边的长为 x m 则问题会怎样呢 解 DC AB FDC FAE AD x FD 30 x DC 30 x AB DC 30 x y AB AD x 30 x x2 40 x x2 30 x 225 225 x 15 2 300 当 x 15 时 y 最大 300 即当 AD 的长为 15m 时 长方形的面积最大 最大面积是 300m2 活动目的 在活动解决之初 末 揭示该问题与问题一的关系 3 问题三 对问题一再变式 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD 其中点 A 和点 D 分别在两直角边上 BC 在斜边上 1 设矩形的一边 BC xm 那么 AB 边的长度如何表示 2 设矩形的面积为 ym2 当 x 取何值时 y 的最大值是多少 活动目的 有了前面两题作基础 这个问题可以留给学生自己解决 作为练习 4 问题四 某建筑物的窗户如下图所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗框的材料总长 图 中所有黑线的长度和 为 15m 当 x 等于多少时 窗户通过的光线最多 结果精确到 0 01m 此时 窗户的面积是多少 分析 x 为半圆的半径 也是矩形的较长边 因此 x 与半圆面积和矩形面积都有关系 要 求透过窗户的光线最多 也就是求矩形和半圆的面积之和最大 即 2xy x2 最大 而由于 4y 4x 3x x 7x 4y x 15 所以 y 面积 S x2 2xy x2 2x x2 3 5x2 7 5x 这时已经转化为数学问题即二次函数了 只要化为顶点式或代入顶点坐 标公式中即可 解 7x 4y x 15 y 设窗户的面积是 S m2 则 S x2 2xy x2 2x x2 3 5x2 7 5x 3 5 x2 x 3 5 x 2 当 x 1 07 时 S 最大 4 02 即当 x 1 07m 时 S 最大 4 02m2 此时 窗户通过的光线最多 实际教学效果 问题四中的数量关系 较前面 3 个问题 处理起来比较繁琐 教师要给予学生及时的指导 和帮助 第二环节 归纳升华 活动内容 同学们能否根据前面的例子作一下总结 解决此类问题的基本思路是什么呢 与同伴进行 交流 活动目的 通过前面例题的学习和感受 学生讨论交流 在教师的帮助下归纳出 基本流程为 理解题目 分析已知量与未知量 转化为数学问题 解决此类问题的基本思路是 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系 3 用数学的方式表示它们之间的关系 4 做函数求解 5 检验结果的合理性 拓展等 第三环节 课堂练习 活动探究 活动内容 1 用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 养鸡场一面用砖砌成 另三面用竹篱笆围成 并且在 与砖墙相对的一面开 2 米宽的门 不用篱笆 问养鸡场的边长为多少米时 养鸡场占地面积最 大 最大面积是多少 2 正方形 ABCD 边长 5cm 等腰三角形 PQR PQ PR 5cm QR 8cm 点 B C Q R 在同一 直线 l 上 当 C Q 两点重合时 等腰 PQR 以 1cm s 的速度沿直线 l 向左方向开始匀速运 动 ts 后正方形与等腰三角形重合部分面积为 Scm2 解答下列问题 1 当 t 3s 时 求 S 的值 2 当 t 3s 时 求 S 的值 3 当 5s t 8s 时