小升初-几何专项

小升初小升初 几何专题几何专题 几何 一 几何 一 平面图形平面图形 一 知识地图 平行线间等积变形 三角形 等底等高 底边与面积关系 过一点引平行线 构成四个小矩形 一个思想 等积变形矩形 两个结论 过一点构成四个三角形 共边定理 其它 共角定理 三角形底边与面积关系 蝴蝶定理 五个模型 梯形蝴蝶定理 相似三角形 燕尾定理 二 基础知识 小学奥数的平面几何问题 是以等积变形为主导思想 结合五大模型的变化应 用 交织而成 攻克奥数平面几何 一定要从等积变形开始 1 等积变形 等积变形 它的特点是利用面积相等而进行相互转换 面积相等的两个图形 我们就称之为等积形 我们所研究的等积变形 更多的是三角形的等积变形 三角形等积变形的中心思想是等底等高 因为三角形的面积 底 高 2 所 以说等底等高的两个三角形面积相等 另外 等底等高的平行四边形 梯形 梯形等底应理解为两底和相等 的面积也相等 在实际中 我们经常用到 的与等积变形相关的性质主要有以下几点 1 直线平行于 可知 ABCD BCDACD SS 反之 如果 则可知直线平行于 BCDACD SS ABCD DC BA 因为平行线间的距离是处处相等的哦 聪明的你想到了吗 2 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 特别地 我们有 等腰三角形底边上的高线平分三角形面积 三角形一边上的中线平分这个三角形的面积 平行四边形的对角线平分它的面积 3 共边定理 若 和 的公共边所在直线与直线交于 PABQABABPQM 则 QMPMSS QABPAB M Q P BA 4 共角定理 在 和 中 若或 则ABCCBA AA 180AA CABA ACAB S S CBA ABC 5 过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行 所分得的四个小矩形 其面积满足 3241 SSSS S4S3 S2S1 6 E 为矩形 ABCD 内部的任意一点 则 当 E 落在矩形的某条边上时 也成立 ABCDBCEADECDEABE SSSSS 2 1 E D C B A 特别地 5 6 两条性质对于平行四边形同样成立 2 五大模型 我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型 总的来说 这五个基本 模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题 让我们一起来感 受一下模型的魅力吧 模型一 在同一三角形中 相应面积与底成正比关系 即 两个三角形高相等 面积之比等于对应底边之比 或 两个三角形底相等 面积之比等于对应的高之比 b a s2 s1 S1 S2 a b 拓展 等分点结论 鸟头定理 如图 三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 2 3 1 4 1 6 鸟头定理是对模型一的一个拓展 有兴趣的话 你可以试着证明一下哦 模型二 任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理 S4 S3 s2 s1 O D C B A S1 S2 S4 S3 或者 S1 S3 S2 S4 AO OC S1 S2 S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 构造模型 一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一 方面 我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 模型三 梯形中比例关系 梯形蝴蝶定理 S1 S3 a2 b2 S1 S3 S2 S4 a2 b2 ab ab S 的对应份数为 a b 2 梯形蝴蝶定理 给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道 构造模型 直接应用结论 往往有事半功倍的效果 模型四 相似三角形性质 abch ABCH S1 S2 a2 A2 所谓的相似三角形 就是形状相同 大小不同的三角形 只要其形状不改 变 不论大小怎样改变他们都相似 与相似三角形相关 常用的性质及定理如 下 1 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形的一切对应线段 对应高 对应中线 对应角平分线 外接圆 半径 内切圆半径等 的比等于它们的相似比 3 相似三角形周长的比等于它们的相似比 4 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方 5 特别的 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线 关于三角 形的中位线我们有这样一个结论 三角形中位线定理 三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半 h h H c b a C B A a c b H C B A S4 S3 s2 s1 b a h h H c b a C B A a c b H C B A S1 S2 对于梯形 我们也有类似的结论 连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯 形的中位线 梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半 6 那么如何判断三角形是不是相似呢 我们一般有三种方法 a 三个角对应相等的三角形相似 事实上只要有两个角相等就可以了 b 有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似 c 三边分别对应成比例的三角形相似 注意 在小学奥数里 最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形 如模型四 相似三角形模型 给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 模型五 燕尾定理 S ABG S AGC S BGE S EGC BE EC S BGA S BGC S AGF S FGC AF FC S AGC S BCG S ADG S DGB AD DB 燕尾定理因为图形类似燕尾而得名 它的特殊性在于 它可以存在于任何一个 三角形之中 为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 3 计算过程中连接辅助线的四个原则 几何作为数形结合的学科 图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用 在小学阶段的平面几何学习中 我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四 个原则 1 把四边形或者多边形变为三角形 例如 D A C B 2 连接等分点 例如 DC B A 3 构造模型 例如 A B C D 4 做高线 构造直角三角形 D C B A 三 经典透析 例 1 如下左图 将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D CB 边延长 2 倍到 E AC 边延长 3 倍到 F 如果三角形 ABC 的面积等于 1 那么三角形 DEF 的面积是 F E D C B A F E D C B A 审题要点 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系 其余的条件中只有一个 三角形 ABC 的面积是已知 要想办法使已知条件能够相互关联 使 边的倍比关系可以转化为面积之比 可以选择模型一应用 详解过程 解 连结 AE BF CD 如上右图 由 EB 2BC 得 S ABE 2 同理可得 S AED 2 S BEF 2 S CBF 6 S CFD 3 S ACD 3 所以 S DEF 1 2 3 1 2 6 3 18 专家点评 这是北京市第一届 迎春杯 刊赛第 32 题 非常经典 解题过程中 通过连接 AE BF CD 使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联 再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解 例 2 设 如果三角形 1 3 ADAB 1 4 BEBC 1 5 FCAC 的面积为 19 平方厘米 那么三角形的面积是 平方厘米 DEFABC E C F AD B 审题要点 和 例 1 类似 题目已知条件中边的倍比关系比较多 可以考虑 应用模型一 解 144 3515 ADFABCABC SSS 121 436 BEDABCABC SSS 313 4520 FECABCABC SSS S ABC S ABC 19 15 4 6 1 20 3 45 6 ABC S 专家点评 这是 2004 年小学数学奥林匹克 A 卷的 其实竞赛题不一定都是很难 尤其是平面几何部分 但他们十之八九都是很巧妙的 拿这道题来 说 图形长得很普通 而题目当中又给了那么多的倍比关系 那我 们是不是可以考虑构造模型一呢 整体看 除了 其余三个我们 ABCADFBDEEFCDEF SSSSS 19 DEF S 可以直接用 鸟头定理 鸟头定理也是本题的一个中心考点 例 3 四边形的对角线与交于点 如图 所ABCDACBDO 示 如果三角形的面积等于三角形的面积的 且 ABDBCD 1 3 2AO 那么的长度是的长度的 倍 3DO CODO 审题要点 在本题中四边形 ABCD 为任意四边形 且出现 S ABD S BCD 1 3 联想模型二蝴蝶定理结论 详解过程 解法一 1 3 ABDBDC AO OCSS 2 36OC 6 32OC OD 解法二 1 3 ABCBCD SS 1 3 AHCG 1 3 AODDOC SS 1 3 AOCO 2 36OC 6 32OC OD 专家点评 本题是 2003 北京市第十九届小学生 迎春杯 数学竞赛的试题 在本题中 三角形和三角形的面积之比如何转化是关键 方法一直ABDBCD 接应用模型二蝴蝶定理的结论 而我们也可以不应用蝴蝶定理 那么观察题目 中给出的已知条件是面积的关系 转化为边的关系 我们需要一个中介 于是 做垂直于H 于 面积比转化为高之比 再应用模型一的结AHBDCGBD G 论 三角形高相同 则面积之比等于底边之比 得出 AO CO 1 3 例 4 如下图所示 AE EC 1 2 CD DB 1 4 BF FA 1 3 三角形 ABC 的面积等于 1 那么四边形 AFHG 的面积是 G H D E F CB A 审题要点 四边形 AFHG 的面积可以看作是三角形 ABC 的面积减去三角形 BEC 的面积再分别减去三角形 BFH 和三角形 AGE 的面积得到的 如何把三角 形边的倍比关系和要求的面积相联系 是这道题的重点问题 详解过程 以下各图为了强调相关部分 暂去掉另外线条 解 如下图所示 我们分别求出 BFH AGE 的面积问题也就解决 如上图 我们设 BFH x 则 AFH 3x 设 AHE y 则 CEH 2y 于是有 ABE 4x y 3 1 ACF 3y 3x 4 3 有 则 9x 所以 x 4 3 33 1312 yx yx 4 1 36 1 如下图 我们设 AEG a 则 CEG 2a 设 CDG b 则 BDG 4b 于是有 ACD 3a b 5 1 BCE 2a 5b 3 2 有 则 13a 所以 a 3 2 52 1515 ba ba 3 1 39 1 这样 AFHG ABE BFH AEG 3 1 36 1 39 1 468 131 专家点评 求四边形 可由三角形的面积减去三角形的AFHGABCBEC 面积 再分别减去三角形 BFH 和三角形 AGE 的面积 而三角形的面积BEC 可从三角形面积与底边的比例关系得到 于是问题转化为如何求及 BFH S 与可由二元一次方程组分别解得 AGE S BFH S AGE S 解法二 A B C D E F H BH HE S BFC S EFC 1 2 1 4 3 4 2 3 所以 S BFH S ABE 1 4 1 3 1 3 1 4 1 3 1 36 同理 A B C D E F G AG GD S ABE S BDE 5 8 1 3 2 3 4 5 所以 S AGE S ADC 5 13 1 3 1 5 5 13 1 3 1 39 AG AD 5 5 8 5 13 所以 S四边形 AFHG S ABE S BFH S AEG 3 1 36 1 39 1 468 131 专家点评 本题解法二应用的考点比较多 基本解题思路和解法一差不多 都是由 S FHG S ABE S BFH S AEG得出 而解法二首先应用蝴蝶定理 先求线 段 BH 与 HE 的比例关系 再利用鸟头定理解出及 最后求出 S四边形 BFH S AGE S AFHG 比解法一略显简洁 而且计算上也比较方便 注意考点 鸟头定理和蝴蝶定理的应用 例 5 设正方形的面积为 1 下图中 E F 分别为 AB BD 的中点 GC FC 求阴影部分面积 1 3 A D F G CB E 审题要点 阴影部分为三角形 知道底边为正方形边长的一半 只要求出高 便可解出面积 解 作 FH 垂直 BC 于 H GI 垂直 BC 于 I 根据相似三角形定理 CG CF CI CH 1 3 又 CH HB CI CB 1 6 即 BI CB 6 1 6 5 6 S BGE 1 2 1 2 5 6 5 24 专家点评 本题考查模型四 利用三角形相似的性质 求出三角形对应边的比 例关系及长度 从而确定阴影部分的面积 例 6 ABCD 是平行四边形 面积为 72 平方厘米 E F 分别为 AB BC 的中点 则图中阴影部分的面积为 平方厘米 B D H F C M O G E A 审题要点 题目中出现 E F 分别为边的中点 可以考虑应用中位线定理 解 设 G H 分别为 AD DC 的中点 连接 GH EF BD 可得 S AED S平行四边形 ABCD 1 4 对角线 BD 被 EF AC GH 平均分成四段 DO ED BD BD 2 3 OE ED ED OD ED 3 2 3 1 3 所以 S AE0 S平行四边形 ABCD 72 6 1 3 1 4 1 3 1 4 S ADO 2 S AEO 12 同理可得 S CFM 6 S CDM 12 所以 S ABC S AEO S CFM 24 于是 阴影部分的面积 24 12 12 48 专家点评 这道题是 2000 年小学数学奥林匹克竞赛 A 卷中的一道题 连接 EF BD 根据模型 4 以及三角形的中位线定理 判断出 O M 分别是其所在线段 的三等分点 由此求出 S AEO及 S CFM 最后得出阴影部分的面积 注意 本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质 例 7 如图 矩形 ABCD 被分成 9 个小矩形 其中 5 个小矩形的面 积如图所示 矩形 ABCD 的面积为 2 4 3 4 16 43 21 PO N M LK J IH GF E D CB A 审题要点 矩形被分割成 9 个小矩形 马上可以联想到矩形等积变形的两个重 要结论 解 矩形 PFMD 中 矩形 OHND 的面积等于 2 4 3 8 3 矩形 ABCD 中 矩形 IBLH 的面积等于 1 2 16 4 8 3 45 2 所以 矩形 ABCD 的面积 1 2 4 16 8 3 45 2 289 6 专家点评 本题是南京市第三届兴趣杯的原题 难度不大 主要是考察对矩形 等积变形两个重要结论之一 过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平 行 所分得的四个小矩形 其面积满足 的应用 先求出矩形 3241 SSSS OHND 的面积 再求出矩形 IBLA 的面积 而矩形 ABCD 的面积由矩形 OHND 和矩 形 IBLA 以及题目中所给的其他 4 个已知矩形的面积和求得 读者可以自行通过求各边比例方法进行验证 进一步加深对定理的理解 例 8 如图 在梯形 ABCD 中 AB 与 CD 平行 且 CD 2AB 点 E F 分别是 AD 和 BC 的中点 已知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米 则梯形 ABCD 的面积是 平方厘米 N M E D C B A F h2 h1 N M E D C B A F 审题要点 阴影部分的面积可以分解为两个三角形的面积之和 而 E F 又是梯形两腰的中点 连接 EF 对上下两个梯形分别应用蝴蝶定理 解法一 如图 设上底为 a 则下底为 2a 梯形的高为 h 连接 EF 则 EF a 2a a 1 2 3 2 所以 AB EF a a 2 3 EF DC a 2a 3 4 3 2 3 2 所以h1 h h 3 5 1 2 3 10 h2 h h 3 7 1 2 3 14 阴影部分 S EFM S EFN a h a h ah 1 2 3 2 3 10 1 2 3 2 3 14 27 70 即ah 54 ah 140 27 70 梯形 ABCD 的面积 1 2 ah ah 140 210 平方厘米 1 2 3 2 3 2 专家点评 阴影部分可以看为两个同底三角形的面积之和 根据梯形的面 积公式 求出两个三角形的高和底 进一步求出梯形面积 思考方法很简 单 但要注意计算的准确性 解法二 如图 设上底为 a 则下底为 2a 梯形的高为 h 连接 EF 则 EF a 2a a 1 2 3 2 所以 AB EF a a 2 3 EF DC a 2a 3 4 3 2 3 2 所以h1 h h 3 5 1 2 3 10 h1 h h 3 7 1 2 3 14 所以 S EFM S EFN h1 h1 h h 7 5 3 10 3 14 根据梯形中的面积关系 得下图 12y 6x 12y 6x 16y 9y 9x 4x N M E D C B A F 因为 9x 9y x y 7 5 且 x y 54 9 6 平方厘米 所以 x 6 3 5 平方厘米 y 6 3 5 2 5 平方厘米 7 12 所以梯形 ABCD 的面积 3 5 25 2 5 49 210 平方厘米 专家点评 连接 EF 以后 我们也可以把它看成是两个梯形叠放在在一起 应用模型三梯形蝴蝶定理 可以确定各个小的三角形之中的比例关系 应 用比例即可求出梯形 ABCD 面积 注意 应用梯形蝴蝶定理时注意比的运算 例 9 如图 在平行四边形 ABCD 中 BE EC CF 2FD 求阴影面积与空白面积的比 H AD F CE G B 审题要点 题目中阴影部分不规则 但是有边的倍比关系 BE EC CF 2FD 可 以考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系 解法 连接 CG CH AC 交 BD 于 O 设 S BEG a 根据燕尾定理 S BEG S EGC S ABG S AGC 1 2 1 2 S DHF S CFH S AHD S ACH 1 2 1 3 1 6 又因为 S AGC S ACH 所以 S BEG 3S DHF S AGO S CGO S ABG 1 2 S AOH S HOC S AHD 所以 S ABCD 4S ABO 4 a 2a 12a 阴影面积 S BEG S AGH S DFH a 2 5a 0 5a 4a 空白面积 12a 4a 8a 所以阴影面积与空白面积的比 4a 8a 1 2 另解 设S BEG a 则S ECG S GCO S AGO a S ABG 2a 设S HFD b 则S HFC 2b 设S HCO x 则S AHO S HCO x 空 阴 S S 2bxx2aaa bxaa 2 1 专家点评 连接 CG CA CH 构造模型五 应用燕尾定理 分别求出三个阴 影三角形面积 再求出平行四边形 ABCD 的面积 用四边形面积减去三个阴影三 角形面积即为空白面积 亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比 注意 本题考点 燕尾定理的应用 拓展训练 1 宁波小学数学竞赛 1999 如图所示 已知三角形中 ABCBDDC 连结 BZ和 三条线段分别交于 2CZAZ 3AFBF ADCF 1 M 2 M 若 面积是 1 平方米 那么阴影的面积是多少平方米 3 MABC 123 M M M 初级提示 连接 AM2 BM3 CM1 深度点拨 设 的面积分别为 1 AM Z 2 BM F 3 CM D 1 S 2 S 3 S 分别解出 1 S 2 S 3 S 全解过程 连结 2 AM 3 BM 1 CM 设 的面积分别为 1 AM Z 2 BM F 3 CM D 1 S 2 S 3 S 得 111 1 1 3 2 ADCCDMCAMCDM SSSSS 111 1 2 22 3 BZCCBMCZMCDM SSSSS 所以有 1 1 4 3 S 1 1 12 S 同理有 333 3 1 2 4 CFBBFMBCMBFM SSSSS 333 3 1 4 2 ADBABMDBMBFM SSSSS 3 1 7 2 S 3 1 14 S AEB 4 S 2 A S 2 A S 2 A S 2 S 3 1 3 3 CFA S 2 CA S 2 A F S 2 A S 2 S 4 3 2 1 9 4 S 2 1 36 S 阴影部分面积为 123 S ABCS ADCS ABES CBFSSS 11111125 1 234121436252 2 如图 四边形的面积是 66 平方米 EFGHEAAB 求四边形的面积 CBBF DCCG HDDA ABCD 初级提示 连接 DB AC 构造模型一 深度点拨 找出四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积关系 全解过程 连接 设BD 12 DCBDAB SS SS CBBF 2 CDFCDBCDB CBBF SSS CB 又 DCCG 1 2 CFGCDF SSS 同理 2 2 AEH SS 2 CFGAEHABCD SSS 连接 AC 同理2 HDGBEFABCD SSS 5 EFGHCFGAEHHDGBEFABCDABCD SSSSSSS 平方米 11 13 55 ABCDEFGH SS H G F E D C B A H G F E D C B A 3 如图 在梯形 ABCD 中 AD BE 4 3 BE EC 2 3 且 BOE 的面积比 AOD 的面积小 10 平方厘米 梯形 ABCD 的面积是 平方 厘米 O E D C B A 初级提示 应用模型一求出三角形 ABD 的面积 深度点拨 求出三角形 BCD 的面积 全解过程 AD BE EC 8 6 9 8 6 ABD ABE S S 3 4 ABEABD SS 10 ABD S ABE S AOD S BOE S 10 40 1 4 ABD S ABD S 8 15AD BC 8 15 ABDCBD SSAD BC 1515 4075 88 BDABD SS C 4075115 ABCDABDCBD SSS 4 如图 在一个边长为 6 正方形中 放入一个边长为 2 的正方形 保持与原长正形的边平行 现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形 的两个顶点 形成了图中的阴影图形 那么阴影部分的面积为 B A D C 初级提示 将小正方形的四个顶点分别与大正方形的四个顶点连接 深度点拨 应用梯形蝴蝶定理求出空白部分面积 全解过程 解法一 设任意一个梯形 如图 上底为 a 下底为 b 则阴影 部分的面积可以表示为 s4 s2s3 s1 b a S1 S2 S3的和 而 S3 S4 S1 S2 S1 S3 S2 S4 a b 同理 S1 S3 S2 S4 a b 所以 S1 S2 S3 S4 a2 ab ab b2 所以阴影 部分的面积等于 2 22 2 2 aab aabb 连接两个正方形的对应顶点 则可以得到四个梯形 运用这条结论 每个梯形中阴影部分的面积都占到了 所以阴影 2 22 22 2 67 22 2 6616 部分面积是两个正方形之间的面积的 阴影部分的面积为 7 16 22 7 62 14 16 解法二 取特殊值 使得两个正方形中心相重合 由上右图可知 A B C D 均为相邻两格点的中点 则图中四个空白处的三角形的高为 1 5 因此空白处的总面积为5 16 阴影部分的面积是 222242 142266 5 如图所示 三角形 BDF 三角形 CEF 三角形 BCF 的面积分别是 2 3 4 问四边形 ADFE 的面积是多少 A B D C E F 初级提示 连接 AF 构造模型一 A B D C E F 深度点拨 应用三角形面积之比等于底边之比求出三角形 AFD 和三角形 AFE 的 面积 全解过程 设 S AFD a S AFE b 2a 3 b 4b 3 2 a a b 18 5 21 5 S四边形 ADFE a b 39 5 6 如图 在 ABC 中 延长 BD AB CE BC 1 2 F 是 AC 的中点 若 ABC 的面积是 2 则 DEF 的面积是多少 E F C D B A 初级提示 连接 CD 构造模型一 深度点拨 S DCF S DCA 2 1 2 S FCE S BCF 1 2 1 2 S DEC S DCB 1 1 2 全解过程 解法一 S DCF S DCA 2 1 2 S FCE S BCF 1 2 1 2 S DEC S DCB 1 1 2 S DEF S DCF S FCE S DEC 1 3 2 解法二 本题还可以用共角定理 当两个三角形有一个角相等或互补时 这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比 在 ABC 和 CFE 中 ACB 与 FCE 互补 ABC FCE SAC BC2 24 SFC CE1 11 又 ABC S2 FCE 1 S 2 同理可得 ADFBDE S2S3 DEFABCCEFDEBADF 1 SSSSS2323 5 2 7 如图 长方形 ABCD 中 E 为 AD 中点 AF 与 BE BD 分别交于 G H 已知 AH 5cm HF 3cm 求 AG F H G O ED CB A 初级提示 三角形 AHB 和三角形 DHF 相似 深度点拨 作 OE 垂直 AD 交 AF 于 O 全解过程 根据三角形相似的性质 AB DF AH HF 5 3 又因为 E 为 AD 中点 OE DF 1 2 所以 AB OE 10 3 AG GO 10 3 11 AO 534 22 AF 所以 AG AO 13 10 13 40 8 在边长为 1 的正方形 ABCD 中 BE 2EC DF 2FC 求四边形 ABGD 的面积 G E F D C BA 初级提示 连接 EF BD G E F D C BA 深度点拨 应用梯形蝴蝶定理 全解过程 等腰梯形四部分面积比为 1 3 3 9 所以等腰梯形的面积 11118 1 1 223318 所以 BDG 1 S 4 得 ABDGDBBDG 3 S S S 4 A 9 如图 正方形 ABCD 面积为 1 M 是 AD 边上的中点 求图中阴影部分的面积 M D C G A B 初级提示 构造梯形蝴蝶定理 深度点拨 S AMG S AGB S MCG S GCB 1 2 2 4 全解过程 AMCB 3 S 4 ADCB 33 S 1 44 梯形 AMCB 中各个三角形面积比 1 2 2 4 阴影面积占梯形面积 2 2 1 2 2 4 4 9 341 493 S 阴影 本题还可有其他解法 如下 解法二 连结 设与交于 GDBDBDACO AGM Sx 1 4 ABGAGM SS 1 4 ABGBGO SS BGOAGM SSx 又 AMMD x AGM S GMD S BOOD GODBGO SSx 得 又 所以 3 AOD Sx 1 4 AOD S 1 3 4 x 1 12 x 1111 22 44123 ABMACMAGM SSSS 阴影 解法三 做PAMCMD 则 1 BPC S BAAP CMMP 连接PG ABGCMG SS AGPABGCMGMGP SSSS 又 11 22 PBMPBC SS 1111 326 ABGPMB SS B 1 2 3 ABG SS 阴影 解法四 与等底等高ACM ABM ACMABM SS BAGCMG SS 作 GFAD GZAB 设ZGGFa 1 4 ABMAGBAGM SSS 111 222 aa 1 3 a 111 22 233 BAG SS 阴影 解法五 ZGFG 2ABAM 1 2 AGMABG SS 2211 3346 ABGABM SS SSS ABC ABG BC G SSS BC M AC M BC G ABG S GCM S 6 1 ABG S GCM S 6 1 6 1 3 1 10 07 年仁华学校试题 已知四边形 ABCD CHFG 为正方形 S甲 S乙 1 8 a 与 b 是两个正方形的边长 求 a b 初级提示 连接 EO AF 应用燕尾定理 深度点拨 做 OM AE ON EF 全解过程 如图 根据燕尾定理 S AOF S AOE b a 1 S AOF S FO E a b 2 所以 S AOE S FOE a2 b2 作 OM AE ON EF AE EF OM ON a2 b2 S AOD S HOF a3 b3 1 8 a b 1 2 几何 二 几何 二 曲线图形曲线图形 一 知识地图 一个思想 加加减减 加减 割补 组合图形面积 五个方法 旋转平移 重叠 比例 边扫过问题线段扫过 旋转构图 图形扫过问题图形整体扫过 活动范围圆心变化 两个特殊问题 硬币滚动半径变化 圆心轮迹两种 二 基础知识 小学数学当中 我们学习了一些简单的几何图形 充分掌握这些图形的性质特 点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提 1 组合图形的面积 在求解组合图形的面积时 中心思想只有一个 把不规则的变为规则的 把不 可求的变为可以求的 把不熟悉的变为我们熟悉的 在小学奥数的几何问题中 这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用 求解立体图形的表面积和 体积问题时候一样也是解决问题的法宝 甚至可以说是全部小学奥数几何问题 的思想精髓 在求解组合图形的面积时 我们通常可以通过以下思考方法把图形转化我们所 熟知的图形 1 加减法 把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式 这种解决图形补问题 的方法 称为加减法 2 割补法 把要求的图形通过切割再拼补成规则图形 这种方法称为割补法 3 旋转平移法 图形的一部分通过旋转或者平移 正好可以和图形的其他部分拼成规则图形 这种方法称为旋转平移法 4 重叠法 要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分 可以应用容斥原理求得 图形的面积 这种方法称为重叠法 5 比例法 把要求的图形分成几个部分 通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称 为比例法 2 图形旋转的问题 在这里 我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题 一般情况下 我们所能遇到的有以下两种问题 1 求图形一边扫过的面积 在遇到这类问题时 我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积 再看这条边 是以哪个点为圆心运动 首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求转动 旋转停止后 这条边旋转所得的面积就是你要求的图形一边扫过的面积 2 求图形扫过的面积 在求图形一边扫过的面积的基础之上 要注意 图形中最长处旋转时所成图形 我们在旋转的图形一边停止旋转时 在相应的位置补上图形的其他部分就可以 很容易的找到整个图形扫过的部分 3 几个特殊问题 1 活动范围的问题 让我们先来看看下面几个问题 A 假设茫茫的草原上有一个木桩 桩子上用一根 30 米的绳子栓着一只羊 问 羊能吃到的草的面积是多大 B 草场的主人因为业务发展 准备建羊圈 但是因为资金短缺 所以只先建了 一道墙 于是把羊还是用 30 米的绳子栓在了墙角边 问羊这个时候能吃到草的 面积是多大 C 羊圈建成了 羊在平时被栓在羊圈的西北角 羊圈长 20 米 宽 10 米 问羊 这个时候能吃到的草的面积是多大 你注意到了吗 栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化 羊所能 吃到草的范围活动的半径也在跟着变化 那么 我们说看变化 找规律 是解决羊吃草一类问题重要思想 另外 数学 源自生活 通过想象生活中的情景 比照数学题 寻找变化的规律也是一种不 错的方法 2 滚硬币的问题 请你一起动手来做一做 把两个一角钱的硬币挨放在一起 固定其中一个 把 另一个延着其周围滚动 当滚动回到硬币原来的位置时 想一想滚动的那个硬 币它自己自转了多少周 注意观察 滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半 径为半径的一个圆周长 而硬币自转的周长是以自身为半径 前者是后者的几 倍 即是硬币自转了几周 这也是一切硬币滚动类问题的特点 常见的还有齿轮 滑轮等 经典回顾 例 1 图是由正方形和半圆形组成的图形 其中 P 点为半圆周的中 点 Q 点为正方形一边的中点 已知正方形的边长为 10 那么阴影部分面积是 多少 取 3 14 审题要点 整个图形由正方形和半圆组成 P 为中点 则 PD PC 要 求阴影部 分的面积 可以考虑我们前面讲的几种方法 解法一 阴影面积 整个面积 空白面积 正方形 ABCD 半圆 三角形 梯 形 10 10 5 5 2 15 5 2 5 15 5 2 51 75 专家点评 阴影面积的 加减法 因为阴影部分面积不是正规图形 所以通过 整个面积减去空白部分面积来求解 过 P 点向 AB 作垂线 这样空白部分面积分 成上面的三角形和下面的梯形 解法二 S1 小正方形 圆 5 5 5 5 1 4 1 4 上面阴影面积 三角形 APE S1 15 5 2 5 5 5 5 1 4 下面阴影面积 三角形 QPF S2 10 5 2 5 5 5 5 1 4 所以阴影面积 15 5 2 5 5 5 5 10 5 2 1 4 5 5 5 5 51 75 1 4 专家点评 面积的 加减法 和 切割法 综合运用 思路出现正方形 出现 弧线时 注意两个考点 1 半叶形 2 圆 所以我们可以先把面积补上再减 1 4 去补上的面积 解法三 半叶形 S1 圆 小正方形 5 5 5 5 1 42 11 42 1 上面阴影面积 三角形 ADP S1 10 5 2 5 5 5 5 1 42 1 下面阴影面积 三角形 QPC S2 5 5 2 5 5 5 5 1 42 1 阴影面积 10 5 2 5 5 5 5 5 5 2 5 5 1 42 11 4 5 5 51 75 2 1 专家点评 面积的 切割法 出现正方形 出现弧线时 注意两个考点 1 半 叶形 2 圆 这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形 这道 1 4 题是迎春杯真题 例 2 如图 ABCG 是 4 7 的长方形 DEFG 是 2 10 的长方形 那 么 三角形 BCM 的面积与三角形 DCM 的面积之差是多少 审题要点 要求两个三角形的面积之差 题目没有给出可以直接求出两个三角 形面积的条件 那么我们只能考虑应用差不变原理 解法一 GC 7 GD 10 推出 HE 3 BC 4 DE 2 阴影 BCM 面积 阴影 MDE 面积 BCM 面积 空白面积 MDE 面积 空白面积 三角形 BHE 面积 长方形 CDEH 面积 3 6 2 3 2 3 专家点评 加减思想的应用 小升初中的常用方法 而找出公共部分是本题的 解题关键 公共部分要与两个三角形都可以构成规则可求的图形才可以 解法二 GC 7 GD 10 知道 CD 3 BC 4 DE 2 知道 BC DE CM DM 所以 CM 2 MD 1 阴影面积差为 4 2 2 1 2 2 3 专家点评 画阴影的两个三角形都是直角三角形 而 BC 和 DE 均为已知的 所 以关键问题在于求 CM 和 DM 这两条线段之和 CD 的长是易求的 所以只要知道 它们的长度比就可以了 这恰好可以利用平行线 BC 与 DE 截成的比例线段求得 另外本题还可以构造如下解法 如图 解法三 连接 BD 3 42 3 23 BCMDEMBCDBDE SSSS 例 3 求右图中阴影部分的面积 取 3 审题要点 ABC 可以看出为等腰直角三角形 解法一 我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的 部分面积和即可 其中 面积相等 易知 部分均是 等腰直角三角形 但是 部分的直角边 AB 的长度未知 单独求 部分 面积不易 于是我们将 部分平移至一起 如下右图所示 则 部分 变为一个以 AC 为直角边的等腰直角三角形 而 AC 为四分之一圆的半径 所以 有 AC 10 两个四分之一圆的面积和为 150 而 部分的面积和为 1 2 10 10 50 所以阴影部分的面积为 150 50 100 平方厘米 解法二 欲求图 1 中阴影部分的面积 可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180 使 A 与 C 重合 从而构成如右图 2 的样子 此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中 间等腰直角三角形的面积 专家点评 本题考点 旋转平移法 图形通过旋转 得到阴影部分的面积 半圆 的面积 等腰直角三角形的面积 例 4 如图 已知三角形 GHI 是边长为 26 厘米的正三角形 圆 O 的半径为 15 厘米 AOB COD EOF 90 求阴影部分的面积 审题要点 题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓形的面 积之差 解法 设 J 为弧 GI 的中点 则可知 GJIO 是菱形 GOJ 是正三角形 所以 三角形 GOI 的面积 115 26 22 所以大弓形的面积 SGJI 2 1115 1526 322 235 597 5 138 小弓形的面积 SFJE 22 11 1515 42 176 625 112 5 64 125 所以 总阴影面积 138 64 125 3 221 625 平方厘米 专家点评 本题难度在于判断四边形 GJIO 为菱形 圆中等长的弧所对的弦也 是相等的 所以三角形 GOJ 为正三角形 其实三个阴影部分选择哪一个作为解 题的模型都可以 基本上还是加减思想的应用 总阴影面积 每块阴影面积 3 大弓形 小弓形 3 关键在于大弓形中三角形的面积 总结 本题考点 加减法 例 5 如图 ABCD 是一个长为 4 宽为 3 对角线长为 5 的正方形 它绕 C 点按顺时针方向 旋转 90 分别求出四边扫过图形的面积 0 取 3 审题要点 要求边扫过的面积 只需分别看一边旋转所得图形 D C BA 分析 分析 1 1 容易发现 容易发现 DCDC 边和边和 BCBC 边旋转后扫过的图形都是以线段边旋转后扫过的图形都是以线段 长度为半径的圆的长度为半径的圆的 如右图 如右图 4 1 因此因此 DCDC 边扫过图形的面积为边扫过图形的面积为 4 4 平方厘米 平方厘米 BCBC 边扫过图形的面积为边扫过图形的面积为平方厘平方厘 4 9 米 米 2 2 研究 研究 ABAB 边的情况 边的情况 在整个在整个 ABAB 边上 距离边上 距离 C C 点最近的点是点最近的点是 B B 点 最远的点是点 最远的点是 A A 点 因此整条线点 因此整条线 段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间 见右图中阴影部分 段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间 见右图中阴影部分 下面来求这部分的面积 下面来求这部分的面积 观察图形可以发现 所求阴影部分的面积实际上是 观察图形可以发现 所求阴影部分的面积实际上是 扇形扇形 ACAACA 面积面积 三角形三角形 ABCABC 面积面积 三角形三角形 ABCABC 面积面积 扇形扇形 BCBBCB 面积面积 三角形三角形 A A B B C C 面积 扇形面积 扇形 ACAACA 面积一扇形面积一扇形 BCBBCB 面积面积 22 53 4 44 3 3 研究 研究 ADAD 边扫过的图形 边扫过的图形 由于在整条线段上距离由于在整条线段上距离 C C 点最远的点是点最远的点是 A A 最近的点是 最近的点是 D D 所以我们可以画出 所以我们可以画出 ADAD 边扫过的图形 如下图阴影部分所示 边扫过的图形 如下图阴影部分所示 用与前面同样的方法可以求出面积为 用与前面同样的方法可以求出面积为 22 549 444 专家点评 专家点评 本题是祖冲之杯竞赛的一道试题 旋转图形的关键 是先从整体把握一下旋转图形的关键 是先从整体把握一下 变化过程变化过程 即它是通过什么样的 即它是通过什么样的 基本图形经过怎样的加减次序得到的 先不去考虑具体数据 一定要把思路捋基本图形经过怎样的加减次序得到的 先不去考虑具体数据 一定要把思路捋 清楚 最后你会发现 所有数据要么直接告诉你 要么就清楚 最后你会发现 所有数据要么直接告诉你 要么就 藏藏 在那儿 一定在那儿 一定 会有 会有 我们可以作进一步的思考 比如平行四边形的旋转问题 一般三角形的旋我们可以作进一步的思考 比如平行四边形的旋转问题 一般三角形的旋 转问题等等 此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的 转问题等等 此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的 例 6 求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比 审题要点 阴影部分可以看作一个整体 那么大圆由四个阴影部分组成 解法 把阴影看作一个特殊图形 而大圆的面积恰好是 4 个这种特殊图形 所以 阴影面积 大圆面积 1 4 设小圆半径为 x 则大圆半径为 2x 阴影周长 小圆周长 小圆周长 小圆周长 大圆周长 3 4 1 4 1 4 1 4 小圆周长 大圆周长 5 4 1 4 2x 2 2x 5 4 1 4 x 7 2 大圆周长 2 2x 4x 所以 周长之比 x 4x 7 8 7 2 专家点评 应用图形比例关系求解图形 也是整体考虑问题思想的典型代表 例 7 如图 半圆半径 40CM BM CN DP 22 每个阴影部分的弧长 为半圆弧长的 求阴影部分面积 3 1 3 审题要点 图中上半部分的三个阴影图形并非真正的扇形 所以不能用扇形面 积公式来解 只能应用加减法 把图形分解 那么每个阴影部分面积等于 1 3 半圆面积减去一大一小两个相似三角形面积 解法 ABO 为等边三角形 又 AMB 120 度 MAE 30 度 BAM 30 度 BMA 为等腰三角形即22BMAM 根据正三角形性质 得 BM 2EM BE 22 11 33 cm 阴影部分面积 3 40 40 20 33 20 11 1 6 1 2 1 2 3 800 330 110 3 360 1080 平方厘米 专家点评 应用加减法 把图形化为我门常用的图形来解题是这道题的关键所 在 另一个难点是如何求出三角形的高 其实 M N P 分别是它们所在正三角 形的中心 中心将其所在线段分为两部分的比为 1 2 知道这一性质 便可应 用面积公式求出阴影面积 例 8 如图 哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗 拴狼狗 的铁链子长为 10 米 每个哨台的面积为 42 5 平方米现在要绿化哨所所在地 哨所面积忽略不计 把其看做一点 在其周围 20 米范围内铺上草地 为了防 止狼狗践踏 则绿化的实际面积为多大合适 3 1010 10 10 10 10 42 542 5 审题要点 首先确定两条狼狗的活动范围 利用加减法把活动范围为一个菱形 两个半圆 两个半圆即一个整圆 实际绿化面积 大圆面积 菱形 小圆面 积 2 哨所面积 解法 可以看出菱形面积为 2 倍的哨所面积 菱形面积 2 42 5 85 实际绿化面积 20 20 85 10 10 2 42 5 1200 85 300 85 1200 470 730 平方米 专家点评 本题属于活动范围题 注意确定狼狗的活动范围为两个 5 6 圆减去 其重合部分 即一个菱形 一个圆 另外哨台也是未绿化部分 注意以上两点本 题就不难求解 例 9 如图 15 枚相同的硬币排成一个长方形 一个同样大小的 硬币沿着外圈滚动一周 回到起始位置 问 这枚硬币自身转动了多少圈 审题要点 注意硬币滚动时圆心的轨迹 解法一 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时 由于三个硬币的圆心构成 一个等边三角形 所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了 180 60 60 60 而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转 所以硬币 自身旋转了 120 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时 这枚硬币的圆心相当于沿着半径 为硬币 2 倍的圆旋转了 360 60 60 90