正多边形和圆讲义学案(1).doc

正多边形和圆(一）一内容综述正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：b5E2RGbCAPn= ；an=2Rnsin ；rn=Rncos ；+ ；Pn=nan；Sn= Pnrn；Sn= n sin .因为一个三角形的面积为： hOB）p1EanqFDPw注意两点：1、构造直角三角形弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等； 2、准确记忆相关公式。DXDiTa9E3d在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所所对的圆心角的度数，L表示弧长，则有：圆周长：C=2R。弧长：L= 圆面积：S=R2扇形面积：S扇形= = LR弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理： RTCrpUDGiT 1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S 2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S 3）当弓形所含弧为半圆时，S弓= S圆圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积5PCzVD7HxA二例题分析：例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是= RP.说明：圆的外切=30， OC= OA= R, r= (OD-OC= (R- R= R,EmxvxOtOco又O1的周长=2r=2R= R,O1的周长等于弧长的 .例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,AOB=120,求阴影部分面积S阴影ABC.分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-SACO,故可求得. 解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-SACO,而S扇形OAB= =12(cm2, SACO= 63sin60= (cm2, S阴影ABC=(12- cm2. SixE2yXPq5说明：求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与SDAOC的差，也可以折分为SDABC与S弓形AB的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。6ewMyirQFL例6.如图,若正六边形的面积为6 ,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.分析：如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切O的内接正三角形的一条边长,过O点作OECD于E,分别连结OA、OB、OC、OD. OC=R,AB=a6,BC= a6,BOC=30,CD=a3,CE= a3,OE=r3,COE=60, S6=6SOAB, S6=6a6OC=6 , OC=BCcot30, OC= a6, 6a6a6=6 , a6=2,OC= , OE=OCcos60, OE= , CE=OCsin60, CE= , CD=2CE=3,S3=3CDOE,S3=33= .说明: (1此例涉及到正多边形的有关计算,其中涉及的是正六边形与正三角形. (2因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系.kavU42VRUs例7.如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+ 和16 ,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积 解:连结OP， PA、PB分别切O于A、B,OAP=OBP=90,又PA=PB,AO=BO RtPAORtPBO, RtPAO的面积= 四边形PAOB的面积=8 .又RtPAO的面积= AOPA, OAPA=16 .已知OA+PA= 8(1+ =4(1+ . OA、PA为方程x2-4(1+ x+16 =0的两根，解得x1=4，x2=4 ，但AOB是钝角， PAOA, PA=4 ,OA=4.在RtPAO中,tanPOA= = .POA=60,AOB=120,扇形OAB的面积= 42= . 劣弧AB与两切线所夹部分的面积为16 - .说明:求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP的面积去掉扇形AOB的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形.y6v3ALoS89例8.如图,AOB=90,ACOB,OA=1, 是以O为圆心的弧, 是以A为圆心的弧,求图中阴影部分ABC的面积.分析：思考怎样转化为规则图形的面积运算？规则图形的面积如何计算？解:连结AB, AOB为等腰直角三角形, AB= ,C=90,OA=OB=1, S扇形OAB= R2= ,S扇形ABC= ( 2= ,S弓形AmB=S扇形OAB-SAOB= - AOBO= - .S阴影=S扇形ABC-S弓形AmB= -( - = 说明： 1）求阴影部分的面积，涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等知识。 2）进行分析时，一般注意： 第一：求阴影部分的面积，因不是一个规则的图形，不易直接求，需要从整体结构进行分析，将图形分解，转化为规则的能操作的基本图形，运用好面积的割补方法。 第二：求阴影部分的面积，可转化为先求空白部分的面积，再进行面积的加减运算。M2ub6vSTnP测试选择题1已知两圆的直径分别为20cm和8cm，一条外公切线为8cm，则这两圆的位置关系是） A、相离 B、外切 C、相交 D、内切0YujCfmUCw2下列说法正确的是） A、各边相等的圆外切多边形是正多边形； B、任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形； C、任何一个正多边形绕中心旋转 ，都与原来的正多边形重合； D、任何正多边形都相似。eUts8ZQVRd3如果一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 ，则这个正多边形的边数为） A、16 B、18 C、20 D、22sQsAEJkW5T4正六边形的边长为1，则它的面积为） A、3 B、2 C、3 D、 5正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是） A、1 B、2 C、 1 D、 2 GMsIasNXkA6如图，已知点A在两个同心圆的大圆上，ABC是小圆的割线，且ABAC=8，则圆环的面积为 ） A、4 B、8 C、12 D、16TIrRGchYzg7扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为cm D、7 cm7EqZcWLZNX8扇形的圆心角是150，面积是60cm2, 则扇形的弧长为） A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm lzq7IGf02E9正三角形的边心距、半径和高的比是） A、123 B、1 C、13D、12zvpgeqJ1hk10如图3，大的半圆的弧长为 a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径之和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b, 则a与b之间的关系是2+82=36+64=100， O1O2=10，R+r=14， R-r=6， 则R-rO1O2180，则一个外角度数为 ，一个内角 ， fjnFLDa5Zo= n=22。 6.如图：作AE切小圆于E，连AO，OE，则AE2=ABAC=8，S圆环=OA2-OE2=(OA2-OE2=AE2=8。7.设扇形半径为R，圆心角为n， tfnNhnE6e5则 解得R=7。 8.解： =60， R=12，l= =10。 9.解：如图2，OD是正 三角形的边心距，OA是半径，AD是高，设OD=r，则AO=OB=2r， AD=3r， ODBOAD=r2r3r=123。故选A。HbmVN777sL10 解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r， 由题意，得a=R. R= ， 小圆的半径r= ， 每个小半圆的弧长为= ， n个小半圆的总弧长b=n=a， 即b=a，故选A。评注：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。 V7l4jRB8Hs中考解读：例1.(杭州市已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值。解：设正三角形边长为a，则周长为c1=3a，面积S1= a2；又设正六边形边长为b，则周长为c2=6b，面积S2= b2由c1=c2，得a=2b,S1:S2= a2: b2= b2: b2= .则它们的面积的比值为 考点：正多边形的面积求法评析思路：问题的关键是根据周长的关系求出正三角形和正六边形的边长的关系，分别求出正三角形的面积，正六边形的面积，然后可知它们比值。83lcPA59W9例2.(吉林省如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为 ）cm2A、 B、 C、800 D、500考点：环形，扇形的面积。评析思路，利用扇形面积的求法，分别求出大扇形，小扇形的面积，然后求差即可。也可以用环扇的面积等于圆环的面积的三分之一。答案为A。mZkklkzaaP例3.贵阳市） 如图，正方形的边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ）. A）4-2 B）2 -4 C） -2 考点：圆的面积 正方形面积评析：连正方形对角，重新拼图知，阴影部分面积等于半圆面积与正方形面积的差。答案为B。AVktR43bpw例 4.重庆市）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= ，以BC的中点E为圆心的弧MPN与AD相切，则图中阴影部分的面积为 ）A） B） C） 如果圆锥的底面半径为5，母线长为10，那么圆锥的侧面展开图的面积是.考点：扇形面积计算 圆锥侧面展开图评析：圆锥侧面展开图是一个扇形，扇开的弧长为圆锥底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长，根据扇形面积公式 得 ，所以答案为50。2MiJTy0dTT黄金分割、黄金数、黄金长方形1.黄金分割和黄金长方形17世纪欧洲著名科学家开普勒曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割”。什么是黄金分割 ？给定一条线段AB，见图）gIiSpiue7A1）过B作BDAB，截BD= AB；2）连AD，以D为圆心，BD为半径画弧交AD于E；，用尺子量一下GJ、GK和GL的长度，求比值 和 ，你会发现它们大约都等于0.618，也就是说，这都是黄金分割。你也许会问：这个0.618是怎样来的呢?下面介绍它的来历：任取一条线段AB，我们想在线段AB上找一点C使得 。IAg9qLsgBX满足上面比式的分点C可以用代数方法求得：设ABL，ACx，此时CBL-x，(如图，上述的比式就变成为 ，交叉相乘得L2-Lx=x2, 整理得x2+Lx-L2=0.这是一个一元二次方程，用求根公式可得x= = L 0.618L.从这里可以看出0.618是 的近似值。C点是线段AB的黄金分割点，把 或0.618叫做黄金数。WwghWvVhPE2.神庙、雕塑和优选法黄金分割非常重要，它在数学、美术、建筑等方面有着广泛的应用。比如，古代希腊人就已经发现：如果一个长方形的长和宽是由黄金分割来组成的话，看上去比其他长方形更协调、更好看。古希腊的一些著名建筑，它的高与长之比恰好是0.618。希腊的巴台农神庙，是两千多年前的古希腊建筑，它的高和宽之比就是0.618。asfpsfpi4k古希腊人还认为，最优美的人体应该是肚脐把身长作黄金分割。保存下来的古希腊雕塑作品充分说明了他们的观点。著名的雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及那爱与美之神“维纳斯”，无不表现出最美的人体。北京城的内城建筑也用到黄金分割。北京的正阳门是北京内城的正南门，而大明门(后曾改称“大清门”、“中华门”，现已不存在了才是进入皇宫的南大门。然后顺着御道北上，依次经过天安门、端门、午门、太和门到达太和殿。景山是整个皇宫的屏风。从大明门到景山总长为5里，从大明门到太和殿庭院中心的距离是3.09里。两者之比 0.618.太和殿庭院中心是皇宫南北长的黄金分割点。黄金分割是最美的分割，在很长时间内曾统治着西方世界的建筑美学观点。法国的巴黎圣母院就是一个杰出的代表。它的整个结构是按着黄金长方形建造的。文艺复兴时期的画家也掌握着这个奇妙的比例。达芬奇闻名于世的作品蒙娜丽莎就是按着黄金分割的比例来构图的。不知你注意过没有?有经验的报幕员自有她的风度。一上台，她不走到台口的中央，而是站在离右边(或左边三分之一多一点的地方，使观众感到她十分大方，十分恰当，十分和谐。用数学观点来解释，她站的位置恰好是“黄金分割点”。黄金分割是个很古老的数学问题，过去人们大多是从美学角度来研究它。近几十年数学上出现一个新的数学分支最优化方法，它给黄金分割找到了新的用途。从1970年开始，我国著名数学家华罗庚教授推广的优选法，就是最优化方法的一种。优选法是一种又快又省的实验方法。下面举一个例子：比如要配制一种农药来治虫，兑多少水合适?水兑多了，农药的浓度太低，杀不死害虫；水对少了，农药的浓度过大，既浪费农药，又给农作物造成药害。农药和水配成什么比例最合适，是需要通过实验来确定的。如果预先知道稀释倍数在1000到2000之间，这就出新一个问题：怎样才能用最少的实验次数，找出最理想的数据呢?可以把稀释倍数1000和2000看作是线段AB的两个端点，见图，选择AB的黄金分割点C作为第一个试点。 ooeyYZTjj1C点的数值是可以算出来的：1000+(2000-10000.6181618.用稀释1618倍进行实验，如果实验结果是水对多了，可以进行第二次实验。第二次实验点应该选择AC的黄金分割点D，D的位置是1000+(1618-1000 0.6181382。如果D点还不理想，可以按求黄金分割点的方法继续实验下去。另一种情况是水兑少了，这时在进行第二次实验时，实验点应该选择CB的黄金分割点。用这种实验方法，可以很快地找到合适的浓度数据。这种方法每次都要用到黄金数0.618，所以又把这种方法叫做“0.618法”。3.无处不在的黄金分割放开我们的眼界，我们会发现黄金分割是无处不在。先从生物方面说起：本书在前面(第二章、惊人的兔生兔提到了兔子的繁殖是按着费波纳契数列来增长的。费波纳契数列是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，.每相邻两项之比 .这个比值越来越靠近0.618.英国的TW汤姆森爵士指出，如果一棵树始终保持幼时长高和长粗的比例往上长，那么它终将因为自己长的“细高个”而翻倒，因此，他选择了长高和长粗的最佳比为0.618.有人研究过小麦和水稻的茎节，发现有些品种相邻两节长度之比为1:1.618。许多植物萌生的叶片、树权和花瓣都是接着黄金分割的角度伸展的：从上往下看时，他们把水平面360分成222.5 和137.5 (3600.618222.5。任意两个相邻的叶片(枝头或花瓣都沿着这两个角度伸展。这样它们不相互重叠，有利于进