小升初第三讲——专题训练之数论问题

1 小升初专项训练 数论 数论在数学中的地位是独特的 高斯曾经说过 数学是科学的皇后 数论是数学 中的皇冠 翻开任何一本数学辅导书 数论的内容都占据了不少的版面 在小升初 择校考试及小学各类数学竞赛中 直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试 卷总分的 12 左右 小学阶段的数论知识点主要有 1 质数与合数 因数与倍数 分解质因数 2 数的整除特征及整除性质 3 余数的性质 同余问题 4 位值原理 5 最值问题 知识点一 知识点一 质数与合数 因数与倍数 分解质因数质数与合数 因数与倍数 分解质因数 1 1 质数与合数质数与合数 突破要点 质数合数分清楚 2 是唯一偶质数 1 质数 一个数除了 1 和它本身以外 没有其他的因数 这样的数统称质数 2 合数 一个数除了 1 和它本身以外 还有其他的因数 这样的数统称合数 例如 4 6 8 10 12 14 都是合数 在 100 以内有 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 共 25 个质数 2 2 约数与倍数约数与倍数 公因数短除法到一个不能除为止 公倍数除到海枯石烂为止 因数有限个 倍数无穷 多 如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除 那么称 a 为 b 的倍数 b 为 a 的约数 如果一 个自然数同时是若干个自然数的约数 那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数 在所有公约数中最大的一个公约数 称为这若干个自然数的最大公约数 自然数 2 a1 a2 an 的最大公约数通常用符号 a1 a2 an 表示 例如 6 9 15 3 3 3 质因数与分解质因数 质因数与分解质因数 1 如果一个质数是某个数的约数 那么就是说这个质数是这个数的质因数 2 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 例如 把 42 分解质因数 即是 42 2 3 7 其中 2 3 7 叫做 42 的质因数 又如 50 2 5 5 2 5 都叫做 50 的质因数 4 4 要注意以下几条 要注意以下几条 1 1 既不是质数 也不是合数 2 质数有无限多个 最小的质数是 2 3 在质数中只有 2 是偶数 其余的质数全是奇数 4 合数有无限多个 最小的合数是 4 5 每个合数至少有三个约数 1 它本身 其他约数 例如 8 的约数除 1 和 8 外 还有 2 4 所以 8 是合数 知识点二 知识点二 数的整除特征及整除性质数的整除特征及整除性质 突破要点 牢记特征是关键 常见特征背 5 遍 先看末尾再看和 然后分段求结果 数的整除特征数的整除特征 1 2 末尾是 0 2 4 6 8 2 3 各数位上数字的和是 3 的倍数 3 5 末尾是 0 或 5 4 9 各数位上数字的和是 9 的倍数 5 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和 两者之差是 11 的倍数 6 4 和 25 末两位数是 4 或 25 的倍数 7 8 和 125 末三位数是 8 或 125 的倍数 8 7 11 13 末三位数与前几位数的差是 7 或 11 或 13 的倍数 知识点三 余数的性质 同余问题知识点三 余数的性质 同余问题 1 1 带余除法带余除法 3 一般地 如果 a 是整数 b 是整数 b 0 那么一定有另外两个整数 q 和 r 0 r b 使得 a b q r 当 r 0 时 我们称 a 能被 b 整除 当 r 0 时 我们称 a 不能被 b 整除 r 为 a 除以 b 的余数 q 为 a 除以 b 的不完 全商 亦简称为商 用带余数除式又可以表示为 a b q r 0 r ba b q r 2 2 同余定理同余定理 同余定义 若两个整数 a b 被自然数 m 除有相同的余数 那么称 a b 对于模 m 同余 用式子表示为 a b modm 若两个数 a b 除以同一个数 c 得到的余数相同 则 a b 的差一定能被 c 整除 两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和 两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差 两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积 知识点四 位值原理知识点四 位值原理 知识点五 最值问题知识点五 最值问题 知识点六 知识点六 数论解题的常用方法数论解题的常用方法 枚举 归纳 反证 构造 配对 估计枚举 归纳 反证 构造 配对 估计 题目类型一 质数与合数 因数与倍数 分解质因数题目类型一 质数与合数 因数与倍数 分解质因数 例题例题 1 1 甲数是 36 甲 乙两数最大公约数是 4 最小公倍数是 288 那么乙数是 4 例题例题 2 2 两个整数 A B 的最大公约数是 C 最小公倍数是 D 并且已知 C 不等于 1 也 不等于 A 或 B C D 187 那么 A B 等于多少 练习练习 1 1 五个连续自然数 每个数都是合数 这五个连续自然数的和最小是 练习练习 2 2 长方体的右面和上面的面积之和为 91 平方厘米 它的长 宽 高都是质数 则这个长方体的体积为 立方厘米或 立方厘米 题目类型二题目类型二 数的整除特征及整除性质数的整除特征及整除性质 例题例题 有 个四位数满足下列条件 它的各位数字都是奇数 它的各位数字互不相 同 它的每个数字都能整除它本身 练习练习 1 1 在 1 100 这 100 个自然数中 所有不能被 9 整除的数的和是多少 练习练习 2 2 在所有的三位数中 是 7 的倍数 但不是 2 3 4 5 6 的倍数的数有 个 题目类型三 题目类型三 余数的性质 同余问题余数的性质 同余问题 例题例题 140 225 293 被某大于 1 的自然数除 所得余数都相同 2002 除以这个自然数 的余数是 练习练习 1 1 有 3 个吉利数 888 518 666 用它们分别除以同一个自然数 所得的余数依 次为 a a 7 a 10 则这个自然数是 练习练习 2 2 某个两位数加上 3 后被 3 除余 1 加上 4 后被 4 除余 1 加上 5 后被 5 除余 1 这个两位数是 题目类型四题目类型四 位置原理 位置原理 例题 例题 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零 那么所得的三位数是原来的数 的 9 倍 问这个两位数是 5 练习练习 1 1 表示一个完全平方数 A B 代表什么数字时 这个四位数是完全平方 AABB 数 符合条件的四位数是 练习练习 2 2 将三位数重复写下去 一共写 1993 个 所得的数正好能被 91 整除 ab3ab3 求 ab 题目类型五 最值问题题目类型五 最值问题 例题 例题 甲 乙 丙代表互不相同的 3 个正整数 并且满足 甲 甲 乙 乙 丙 135 那么甲最小是 练习练习 1 1 将整数 19 分成多个整数的和 且使这些整数的乘积最大 那么乘积的最大值 是 练习练习 2 2 已知 2009 乘以整数 A 所得结果的最后五位全为 9 那么满足此条件的最小整 数是 基础演练基础演练 1 有甲 乙 丙三个网站 甲网站每 3 天更新一次 乙网站每五 5 天更新一次 丙网 站每 7 天更新一次 2004 年元旦三个网站同时更新 下一次同时更新是在 月 日 2 在 2009 后面补上三个数字 组成一个七位数 2009 使得这个七位数能被 2 3 4 5 6 整除 那么当补上的三个数字的和最大时 所补的三个数字是 3 一本书 如果每天读 50 页 那么 5 天读不完 6 天又有余 如果每天读 70 页 那 么 3 天读不完 4 天又有余 如果每天读 n 页 恰可用 n 天读完 n 是自然数 6 这本书的页数是 4 有一个四位数 其各数位上的数字各不相同 且没有 0 变换这个数的数字排 列位置时 得到的所有的数里面最大的数与这个数的差是 3618 最小的数与这个数 的差是 4554 那么此四位数是 6 能被 99 整除且各位数字均不相同的最大自然数是 7 有 个四位数满足下列条件 它的各位数字都是奇数 它的各位数字互不相同 它的每个数字都能整除它本身 8 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零 那么所得的三位数是原来的数的 9 倍 问这个两位数是 9 甲 乙 丙代表互不相同的 3 个正整数 并且满足 甲 甲 乙 乙 丙 135 那么 甲最小是 巩固提高巩固提高 1 a b c 三个数都是两位数 且 a b c 已知它们的和是偶数 它们的积是 3960 则 a b c 三个数分别是 2 13 张卡片上分别写着 1 2 3 4 13 任意抽取两张 计算这两张卡片上数 的乘积 这样得到许多不相等的乘积 这些不同的乘积中有 个能被 6 整除 3 1919 19 共 20 个 19 除以 99 余数是多少 4 某校人数是一个三位数 平均每个班级人 若将全校人数的百位数与十位数对调 36 则全校人数比实际少人 那么该校人数最多可以达到 人 180 5 已知 N 是一个各位数字互不相等的自然数且 N 中不含数字 7 它能被它的每个数字 整除 则 N 的最大值是 6 用长为 45 厘米 宽为 30 厘米的一批瓷砖 铺成一个正方形 至少需要瓷砖的块数 为 7 有一些长 6 厘米 宽 4 厘米 高 8 厘米的长方体木块 如果用这些木块组成一个正 方体 则至少需要这种木块 块 7 1 用 10 以内的质数组成一个最大的三位数 它既含有约数 2 又是 3 的倍数 这个数 是 2 已知 a b c 都是正整数 a b c 的最大公约数为 24 a b 的最小公倍数是 360 a c 的最小公倍数是 144 1 求 b 的最小值 2 若 b c 的最小公倍数为 240 求 a b c 的值 3 现有一个 2009 位的整数 被 13 除的余数为 a 被 11 除的余数为 669101102009 101101 10110 个与组成的位 b 那么 a b 4 a b c 为三个自然数 且 a b c 它们除以 13 的余数分别是 2 9 11 那么 a b c a b b c 除以 13 的余数是 5 对四位数 若存在质数和正整数 使 且 abcdpk k abcdp 5 p abcdp 求这样的四位数的最小值 并说明理由 6 一个整数各个数位上的数字之和是 17 而且各个数位上的数字都不相同 符合条件 的最小数是 最大数是 7 将一个长和宽分别是 170 3 厘米和 65 5 厘米的长方形切割为一些正方形 至少需 要切割 刀 8 1 有一组连续的三个正整数 从小到大依次排列 第一个数是 5 的倍数 第二个数是 7 的倍数 第三个数是 9 的倍数 则这组数中最小的正整数为 2 把一个自然数的所有的约数都写出来 然后在这些约数中任意找两个相加 这样 就可以得到若干个不同