山东省临清三中2011高中数学 3.2 简单的三角恒等变换教学案 必修4

用心 爱心 专心 1 3 3 2 2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 教学目标 会用已学公式进行三角函数式的化简 求值和证明 引导学生推导半角公式 积化和差 和差化积公式 公式不要求记忆 使学生进一步提高运用转化 换元 方程等数学思想解 决问题的能力 教学重点 难点 教学重点 引导学生以已有公式为依据 以推导半角公式 积化和差 和差化积公式作 为基本训练 学习三角变换的内容 思路和方法 体会三角变换的特点 提高推理 运算能 力 教学难点 认识三角变换的特点 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计 不断提 高从整体上把握变换过程的能力 教学过程 复习引入复习引入 复习倍角公式 2S 2C 2T 先让学生默写三个倍角公式 注意等号两边角的关系 特别注意 2C 既然能用单角 表示倍角 那么能否用倍角表示单角呢 半角公式的推导及理解 例 1 试以表示 cos 222 sin cos tan 222 解析 我们可以通过二倍角和来做此题 二倍角 2 cos2cos1 2 2 cos1 2sin 2 公式中以 代 2 代 2 解 因为 可以得到 2 cos1 2sin 2 2 1 cos sin 22 因为 可以得到 2 cos2cos1 2 2 1 cos cos 22 两式相除可以得到 2 2 2 sin 1 cos 2 tan 21 cos cos 2 点评点评 以上结果还可以表示为 1 cos sin 22 1 cos cos 22 1 cos tan 21 cos 用心 爱心 专心 2 并称之为半角公式 不要求记忆 符号由角的象限决定 2 降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简 求值 证明 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换 三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系 并以此为依据选择可以联系他们的适当公式 这是三角式恒等变换的 重要特点 变式训练变式训练 1 1 求证 sin tan 21 cos 1 cos tan 2sin 积化和差 和差化积公式的推导 公式不要求记忆 例 2 求证 1 sincossinsin 2 sinsin2sincos 22 解析 回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式 观察公式与所证式子的联系 证明 因为和是我们所学习过的知识 因此我们从等式右边 sin sin 着手 sinsincoscossin sinsincoscossin 两式相加得 2sincossinsin 即 1 sincossinsin 2 由 得 设 sinsin2sincos 那么 22 把的值代入 式中得 sinsin2sincos 22 点评 在例 证明中用到了换元思想 式是积化和差的形式 式是和差化积的形 式 在后面的练习当中还有六个关于积化和差 和差化积的公式 变式训练变式训练 2 2 课本 p142 2 2 3 3 例 求函数的周期 最大值和最小值 sin3cosyxx 用心 爱心 专心 3 解析 利用三角恒等变换 先把函数式化简 再求相应的值 解 13 sin3cos2sincos2sin 223 yxxxxx 所以 所求的周期 最大值为 最小值为 2 2T 2 点评 例 是三角恒等变换在数学中应用的举例 它使三角函数中对函数 的性质研究得到延伸 体现了三角变换在化简三角函数式中的作用 sinyAx 变式训练变式训练 3 3 课本 p142 4 1 2 3 探究 探究 求 y asinx bcosx 的周期 最大值和最小值 小结 我们要对三角恒等变换过程中体现的换元 逆向使用公式等数学思想方法加深认识 学会灵活运用 作业布置 作业布置 课本 p143 习题 3 2 A 组 1 1 5 3 5 3 2 简单的三角恒等变换 导学案 课前预习学案 一 预习目标 回顾复习两角和与差的正弦 余弦和正切公式及二倍角公式 预习简单 的三角恒等变换 二 预习内容 1 回顾复习以下公式并填空 Cos Cos sin sin tan tan 用心 爱心 专心 4 sin2 tan2 cos2 2 阅看课本 P139 141 例 1 2 3 三 提出疑惑 同学们 通过你的自主学习 你还有哪些疑惑 请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一 学习目标 会用已学公式进行三角函数式的化简 求值和证明 会推导半角公式 积化和差 和差化积公式 公式不要求记忆 进一步提高运用转化 换元 方程等数学思 想解决问题的能力 学习重点 以已有公式为依据 以推导半角公式 积化和差 和差化积公式作为基本训 练 学习三角变换的内容 思路和方法 体会三角变换的特点 提高推理 运算能力 学习难点 认识三角变换的特点 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计 不断提 高从整体上把握变换过程的能力 二 学习过程 探究一 半角公式的推导 例 1 请同学们阅看例 1 思考以下问题 并进行小组讨论 1 2 与 有什么关系 与 2 有什么关系 进一步体会二倍角公式和半角公式 的应用 2 半角公式中的符号如何确定 3 二倍角公式和半角公式有什么联系 4 代数变换与三角变换有什么不同 探究二 半角公式的推导 例 2 请同学们阅看例 2 思考以下问题 并进行小组讨论 1 两角和与差的正弦 余弦公式两边有什么特点 它们与例 2 在结构形式上有什么联 系 2 在例 2 证明过程中 如果不用 1 的结果 如何证明 2 3 在例 2 证明过程中 体现了什么数学思想方法 探究三 三角函数式的变换 例 3 请同学们阅看例 1 思考以下问题 并进行小组讨论 1 例 3 的过程中应用了哪些公式 用心 爱心 专心 5 2 如何将形如 y asinx bcosx 的函数转化为形如 y Asin x 的函数 并求 y asinx bcosx 的周期 最大值和最小值 三 反思 总结 归纳 sin 2 cos 2 tan 2 sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos 四 当堂检测 课本 p143 习题 3 2 A 组 1 3 7 2 1 B 组 2 课后练习与提高 一 选择题 1 已知 cos cos 则 cos2 sin2 的值为 3 1 A B C D 3 2 3 1 3 1 3 2 2 在 ABC中 若 sinAsinB cos2 则 ABC是 2 C A 等边三角形B 等腰三角形 C 不等边三角形D 直角三角形 3 sin sin cos cos 且 0 0 则 3 3 等于 A B C D 3 2 3 3 3 2 二 填空题 4 sin20 cos70 sin10 sin50 5 已知 且 cos cos 则 cos 等于 3 2 3 1 三 解答题 用心 爱心 专心 6 6 已知f x x 0 2 1 2 sin2 2 5 sin x x 1 将f x 表示成 cosx的多项式 2 求f x 的最小值 课后练习参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 D 二 填空题 4 5 4 1 9 7 三 解答题 6 解 1 f x