2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题五：解析几何（学生版）

第页 1 20112011 年高考题型专题冲刺精讲 数学 专题五年高考题型专题冲刺精讲 数学 专题五 解析几何解析几何 命题特点 近三年高考解析几何每年出一道满分为 12 分的解析几何大题 究其原因 一是解析几何是中学数学的 一个重要组成部分 二是同学们在未来学习 发展中的需要所致 细细品读这三年的解析几何大题 感觉如 山间的涓涓清泉滋润心田 甘甜可口 不愿离去 为了找到清泉流向远方的目标 我从其志 探其源 求其 真 经过探究 发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下 依纲靠本 查基考能 朴实取材 独具匠 心 不断创新 关注交汇 交切中点 核是线圆 长度面积 最值定值 平行垂直 向量驾驭 求轨探迹 运动探 究 数形结合 各领风骚 灵气十足 回味无穷 文理有别 意境深远 复习建议复习建议 1 加强直线和圆锥曲线的基础知识 初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方 法 2 由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容 选择 填空题灵活多变 思维能力要求较高 解答 题背景新颖 综合性强 代数推理能力要求高 因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容 高考的 热点 问题作深入的研究 3 在第一轮复习的基础上 再通过纵向深入 横向联系 进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思 想和方法 提高我们分析问题和解决问题的能力 4 在注重提高计算能力的同时 要加强心理辅导 帮助学生克服惧怕计算的心态 试题常见设计形式 近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型 求曲线方程 类型确定 类型未定 直线与圆锥曲线的交点问题 含切线问题 与曲线有关的最 极 值问题 与曲 线有关的几何证明 对称性或求对称曲线 平行 垂直 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特 征 解析几何虽然内容庞杂 但基本问题却只有几个 如 求直线与圆锥曲线的方程 求动点的轨迹或 轨迹方程 求特定对象的值 求变量的取值范围或最值 不等关系的判定与证明 圆锥曲线有 关性质的探求与证明等 对各类问题 学生应从理论上掌握几种基本方法 使之在实际应用中有法可依 克服解题的盲目性 如 求变量的取值范围 可指导学生掌握三种方法 几何法 数形结合 函数法和 不等式法 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点 能帮助学生易于找到解题切入点 优化 解题过程 常用的解题策略有 建立适当的平面直角坐标系 设而不求 变式消元 利用韦达定 理沟通坐标与参数的关系 发掘平面几何性质 简化代数运算 用函数与方程思想沟通等与不等的 关系 注意对特殊情形的检验和补充 充分利用向量的工具作用 注意运算的可行性分析 等等 运算是解析几何的瓶颈 它严重制约考生得分的高低 甚至形成心理障碍 教学中要指导学生注重算理 算法 细化运算过程 转化相关条件 回避非必求量 注意整体代换等运算技能 从能力的角度提高对 运算的认识 反思运算失误的经验教训 不断提高运算水平 突破方法技巧 1 突出解析几何的基本思想 解析几何的实质是用代数方法研究几何问题 通过曲线的方程研究曲 线的性质 因此要掌握求曲线方程的思路和方法 它是解析几何的核心之一 求曲线的方程的常用方法有 两类 一类是曲线形状明确 方程形式已知 如直线 圆 圆锥曲线的标准方程等 常用待定系数法求方 程 第页 2 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示 一般采用以下方法 1 直译法 将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等 量关系式 2 代入法 所求动点与已知动点有着相互关系 可用所求动点坐标 x y 表示出已知动点的坐 标 然后代入已知的曲线方程 3 参数法 通过一个 或多个 中间变量的引入 使所求点的坐标之间的关系更容易确立 消去 参数得坐标的直接关系便是普通方程 4 交轨法 动点是两条动曲线的交点构成的 由x y满足的两个动曲线方程中消去参数 可得所 求方程 故交轨法也属参数法 2 2 熟练掌握直线 圆及圆锥曲线的基本知识 1 直线和圆 直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向 需要注意的是 倾斜角 的范围是 0 1 的 两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点 且 12 ll 求 h 的值 来 考点二 圆锥曲线的几何性质考点二 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线中的基本元素 长短轴 焦距 渐近线 离心率等 在自身多处综合就会演变成中档题 要 求熟练掌握其关系 灵活运用图形帮助分析 圆锥曲线第一定义中的限制条件 圆锥曲线第二定义的统 一性 都是考试的重点内容 要能够熟练运用 常用的解题技巧要熟记于心 例例 5 5 如图 21 图 M 2 0 和N 2 0 是平面上的两点 动点P满 足 6 PMPN 求点P的轨迹方程 若 2 1 cos PMPN MPN 求点P的坐标 例例 6 6 20102010 江西设椭圆 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 抛物线 2 C 22 xbyb 1 若 2 C经过 1 C的两个焦点 求 1 C的离心率 2 设 5 0 3 3 4 Ab Qb 又MN 为 1 C与 2 C不在y轴上的两个交点 若 AMN 的垂心为 3 0 4 Bb 且QMN 的重心在 2 C上 求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程 考点三 考点三 有关圆锥曲线的定义的问题有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一 第二定义求解 N x Q M O y 第页 5 例例 7 7 如图 F 为双曲线 C 22 22 10 0 xy ab ab 的右焦点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 P 为双曲线 C 右支上一点 且位于 x轴上方 M 为左准线上一点 O为坐标原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知四边形OFPM 为平行四边形 PFOF 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 写出双曲线 C 的离心率e与 的关系式 当1 时 经过焦点 F 且品行于 OP 的直线交双 曲线于 A B 点 若12AB 求此时的双曲线方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 8 8 设 A B分别为椭圆 22 22 1 0 xy a b ab 的左 右顶点 椭圆长半轴的长等于焦距 且4x 为 它的右准线 求椭圆的方程 设P为右准线上不同 于点 4 0 的任意一点 若直线 AP BP分别与椭圆相交于异 于 A B的点MN 证明 点B在以MN为直径的圆内 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 考点四 直线与圆锥曲线位置关系问题 1 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 进而转化为一元二次方程后利用判别 式 应特别注意数形结合的办法 2 注意韦达定理的应用 弦长公式 斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB 若 A B 两点的坐标 分别是 A x1 y1 B x2 y2 则 4 1 21 2 21 2 xxxxk 3 注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用 4 有关中点弦问题 已知直线与圆锥曲线方程 求弦的中点及与中点有关的问题 常用韦达定理 有关弦的中点轨迹 中点弦所在直线方程 中点坐标问题 有时采用 差分法 可简化运算 例例 9 9 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的两个焦点为 2 0 2 0 3 7 FFP 点 在曲线 C 上 求双曲线 C 的方程 记 O 为坐标原点 过点 Q 0 2 的直线 l 与双曲线 C 相交于 不同的两点 E F 若 OEF 的面积为2 2 求直线 l 的方程 例例 1010 设点 00 P xy在直线 01xm ymm 上 过点P作双曲线 22 1xy 的两条切线PAPB 切点为 AB 定点M m 1 0 1 过点A作直线 AB 4 0 M N P o y x 第页 6 0 xy 的垂线 垂足为N 试求 AMN的重心G所在的曲线方程 2 求证 AMB 三点共线 考点五 圆锥曲线综合应用考点五 圆锥曲线综合应用 平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征 所以这两者多有结合 在它们的知识点交汇处 命题 也是高考命题的一大亮点 直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新 经久不衰的一个考查重点 另外 圆锥曲线中参数的取值范围问题 最值问题 定值问题 对称问题等综合性问题也是高考的常考 题型 解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性 需要 精打细算 近几年解析几何问题的难 度有所降低 但仍是一个综合性较强的问题 对考生的意志品质和数学机智都是一种考验 是高考试题 中区分度较大的一个题目 有可能作为今年高考的一个压轴题出现 圆锥曲线的有关最值问题 圆锥曲线的有关最值问题 圆锥曲线中的有关最值问题 常用代数法和几何法解决 1 若命题 的条件和结论具有明显的几何意义 一般可用图形性质来解决 利用圆锥曲线的定义 把到焦点的距离 转化为到准线的距离 2 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式 则可建立目标函数 通常利用 二次函数 三角函数 均值不等式 求最值 圆锥曲线的圆锥曲线的有关范围问题 设法得到不等式 通过解不等式求出范围 即 求范围 找不等式求范围 找不等式 或者表示为另一个变量的函数 利用求函数的值域求出范围 圆锥曲线中的存在性问题 圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题 其一般解法是先假设命题存在 用待定系数法设出所求的 曲线方程或点的坐标 再根据合理的推理 若能推出题设中的系数 则存在性成立 否则 不成立 例例 1111 20102010 大纲全国 I 已知抛物线 2 4C yx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线l与C相交于A B两点 点 A 关于x轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 8 9 FA FB A 求 BDK 的内切圆 M 的方程 例例 1212 2010 山东 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该椭圆上的点和椭圆的 左 右焦点 12 F F为顶点的三角形的周长为4 21 一等轴双曲 线的顶点是该椭圆的焦点 设P为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA 和CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜 率分别为 1 k 2 k 证明 12 1k k 是否存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 若 存在 求 的值 若不存在 请说明理由 例例 1313 20102010 湖南 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的A B两点各建一个 考察基地 视冰川面为平面形 以过A B两点的直线为x轴 线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直 第页 7 角坐标系 图 6 在直线2x 的右侧 考察范围为到点B的距离不超过 6 5 5 km 的区域 在直线 2x 的左侧 考察范围为到A B两点的距离之和不超过4 5km 的区域 求考察区域边界曲线的 方程 如图 6 所示 设线段 12 PP 23 P P是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融化时 边界线 沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动的距离为前一年的 2 倍 求冰 川边界线移动到考察区域所需的最短时间 例例 1414 20102010 福建 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦点 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直线l 使得直线l与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与 l的距离等于 4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 命题意图 本小题主要考查直线 椭圆等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查函数与 方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 例例 1515 20102010浙江 已知m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为椭圆C的左 右焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段 GH为直径的圆内 求实数m的取值范围 突破训练 1 如图所示 已知圆MAyxC 0 1 8 1 22 定点 为圆上一动点 4 0 A 4 0 B 1 5 3 1 P Ox y 2 8 3 6 3 P 已 融 化 区域 冰 川 图 6 3 8 6 P x 2 第页 8 A y x OB G F F1 图 4 点 P 在 AM 上 点 N 在 CM 上 且满足NAMNPAPAM点 0 2 的轨迹为曲线 E I 求曲线 E 的方程 II 过点 A 且倾斜角是 45 的直线l交曲线 E 于两点 H Q 求 HQ 2 已知两点A 2 0 B 2 0 动点 P 在 y 轴上的射影为 Q 2 PA PB2PQ 1 求动点 P 的轨迹 E 的方程 2 设直线 m 过点 A 斜率为 k 当0k1 时 曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为2 试求 k 的值及此时点 C 的坐标 3 在直角坐标系中 已知一个圆心在坐标原点 半径为 2 的圆 从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP P 为垂足 1 求线段 PP 中点 M 的轨迹 C 的方程 2 过点 Q 2 0 作直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 设 N 是过点 4 0 17 且以 1 0 a 为方向向量的直线上一动点 满足OBOAON O 为坐 标原点 问是否存在 这样的直线 l 使得四边形 OANB 为矩形 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明文由 4 设0b 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 抛物线方程 为 2 8 xyb 如图 4 所示 过点 02 Fb 作x轴的平行线 与抛物 线在第一象限的交点为G 已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦 点 1 F 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设AB 分别是椭 圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点P 使得ABP 为直 角三角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 5 设椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 其相应于焦点 2 0 F的准 线方程为4x 求椭圆C的方程 已知过点 1 2 0 F 倾斜角为 的直线交椭圆C于 A B两 点 求证 2 4 2 2 AB COS 过点 1 2 0 F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于 A B和 D E 求ABDE 的最小值 6 已知抛物线 2 4C yx 点M m 0 在x轴的正半轴上 过M的直线l与C相交于A B两点 O为坐 标原点 若m 1 l的斜率为 1 求以AB为直径的圆的方程 若存在直线l使得 第页 9 F Q o y x AMOMMB成等比数列 求实数m的取值范围 7 2010 天津 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 3 2 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 面积为 4 求椭圆的方程 设直线l与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点A的坐标为 a 0 点Q 0 0 y 在线段AB的垂直平分线上 且QA QB A 4 求 0 y的值 8 已知椭圆1 42 22 yx 两焦点分别为F1 F2 P是椭圆在第一象限弧上一点 并满足1 21 PFPF 过P 作倾斜角互补的两条直线PA PB分别交椭圆于A B两点 1 求P点坐标 2 求证直线AB的斜率 为定值 3 求 PAB面积的最大值 9 湖北 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上没一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差是 1 求 曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有连个交点 A B 的任一直线 都有 0FA FB 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 10 四川省文 k s 已知定点A 1 0 F 2 0 定直线l x 1 2 不在x轴上的动点P与点F的距离 是它到直线l的距离的 2 倍 设点P的轨迹为E 过点F的直线交E于B C两点 直线AB AC分别交l 于点M N 求E的方程 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F 并说明理由 11 北京文 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 6 3 直线 y t 椭圆 C 交与不同的两点 M N 以线段 MN 为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与