有趣的平方和等式

上海市顾路中学拓展型 探究型课程实施教案上海市顾路中学拓展型 探究型课程实施教案 2014 学年度第学年度第 1 学期学期 课程名称课程名称有趣的平方和等式有趣的平方和等式课时课时 1 1 课程类别课程类别执教教师执教教师周晶周晶适用年级适用年级初二初二 课程内容课程内容 学习有趣的平方和等式学习有趣的平方和等式 课程目标课程目标 1 1 理解理解有趣的平方和等式有趣的平方和等式 2 2 会自己构建会自己构建有趣的平方和等式有趣的平方和等式 3 3 通过拓展的学习能够培养积极学习 努力思考的态度 通过拓展的学习能够培养积极学习 努力思考的态度 课程实施课程实施 32 42 52 102 112 122 132 142 212 222 232 242 252 262 272 这些等式有趣吗 你看 每个等式的两端都是一串连续自然数 的平方和 两端合起来仍是一串连续自然数的平方和 这种现象 遵循什么规律呢 也就是哪些自然数串有这样的关系呢 为了弄清楚这个问题 我们先来看几组乘法算式 1 3 3 1 5 5 2 5 10 2 7 14 3 7 21 3 9 27 你仔细观察 会发现这些乘法算式有一定规律 首先同一 组算式中的因数存在着联系 同一个算式中的两个因数有联系 比如第一组 3比1的2倍多1 5比1的2倍多3 第二组 5比2的2 倍多1 7比2的2倍多3 而且同组中一个算式的因数与另一 个算式的因数也有联系 比如第一组两个算式中都有因数1 第 二组都有2 第三组都有3 其次各组算式的因数之间也有联 系 相邻的两组算式中也有相同的因数 比如第一 二组中都有 5 第二 三组中都有7 第三 四组中都有9 研究这个规律有什么意义呢 先来看第一组两个算式的积3 和5 从3到5有3个连续自然数3 4 5 且32 42 52 再看第二组 从10到14这5个连续自然数的关系 102 112 122 132 142 第三组 212 222 232 242 252 262 272 这就是本文开头列举的等式 由每组乘法算式的积确定的自然数串 每串都有类似的关系 即 每组从第一个算式的积起 到第二个算式的积止 都有一串连续 自然数 每一串连续自然数 都可以分成这样前后两部分 前一 部分比后一部分多1个自然数 且前后两部分自然数的平方和相 等 你可能已经发现 有这种关系的每一串连续自然数的个数 也是由各组算式中的因数决定的 实际上就等于该组第一个算式 的第二个因数 比如有一组算式是8 17和8 19 则从8 17的 积到8 19的积这一串连续自然数就有17个 而这组中的相同因 数8就是这串自然数后一部分的个数 各组两个算式中相同的因 数还可以作为这组算式和由这组算式确定的自然数串的编号 掌握了这个规律 你就可以写出任一组算式确定的一串连 续自然数 也可以写出个数为任意奇数 1除外 的一串连续自 然数 使按顺序分成前后两部分 前一部分比后一部分多1个自 然数 后 这两部分自然数的平方和相等 有趣吗 试一下 你能写出第 100 组算式确定的那一串