2011年高考数学一轮精品题集 圆锥曲线

用心 爱心 专心 3 1 20112011 届高考数学一轮复习精品题集届高考数学一轮复习精品题集 圆锥曲线 选修 1 1 第 2 章 圆锥曲线与方程 考纲总要求 了解圆锥曲线的实际背景 了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 了解双曲线 抛物线的定义 几何图形和标准方程 知道它们的简单几何性质 理解数形结合的思想 了解圆锥曲线的简单应用 2 1 2 椭圆 重难点 建立并掌握椭圆的标准方程 能根据已知条件求椭圆的标准方程 掌握椭圆的简单 几何性质 能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题 经典例题 已知 A B 为椭圆 2 2 a x 2 2 9 25 a y 1 上两点 F2 为椭圆的右焦点 若 AF2 BF2 5 8 a AB 中点到椭圆左准线的距离为2 3 求该椭圆方程 当堂练习 1 下列命题是真命题的是 A 到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B 到定直线 c a x 2 和定点 F c 0 的距离之比为a c 的点的轨迹是椭圆 C 到定点 F c 0 和定直线 c a x 2 的距离之比为a c a c 0 的点的轨迹 是左半个椭圆 D 到定直线 c a x 2 和定点 F c 0 的距离之比为c a a c 0 的点的轨迹是椭圆 2 若椭圆的两焦点为 2 0 和 2 0 且椭圆过点 2 3 2 5 则椭圆方程是 A 1 48 22 xy B 1 610 22 xy C 1 84 22 xy D 1 610 22 yx 3 若方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆 则实数 k 的取值范围为 A 0 B 0 2 C 1 D 0 1 4 设定点 F1 0 3 F2 0 3 动点 P 满足条件 0 9 21 a a aPFPF 则点 P 的 轨迹是 用心 爱心 专心 3 2 A 椭圆 B 线段 C 不存在 D 椭圆或线段 5 椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 和 k b y a x 2 2 2 2 0 k 具有 A 相同的离心率 B 相同的焦点C 相同的顶点 D 相同的长 短轴 6 若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍 则这个椭圆的离心率为 A 4 1 B 2 2 C 4 2 D 2 1 7 已知P是椭圆 1 36100 22 yx 上的一点 若P到椭圆右准线的距离是 2 17 则点P到左焦点 的距离 A 5 16 B 5 66 C 8 75 D 8 77 8 椭圆 1 416 22 yx 上的点到直线 022 yx 的最大距离是 A 3B 11 C 22 D 10 9 在椭圆 1 34 22 yx 内有一点 P 1 1 F 为椭圆右焦点 在椭圆上有一点 M 使 MP 2 MF 的值最小 则这一最小值是 A 2 5 B 2 7 C 3 D 4 10 过点 M 2 0 的直线 m 与椭圆 1 2 2 2 y x 交于 P1 P2 线段 P1P2 的中点为 P 设 直线 m 的斜率为 k1 0 1 k 直线 OP 的斜率为 k2 则 k1k2 的值为 A 2B 2C 2 1 D 2 1 11 离心率 2 1 e 一个焦点是 3 0 F 的椭圆标准方程为 12 与椭圆 4 x 2 9 y 2 36 有相同的焦点 且过点 3 的椭圆方程为 13 已知 yxP 是椭圆 1 25144 22 yx 上的点 则 yx 的取值范围是 14 已知椭圆 的短轴长为 6 焦点 到长轴的一个端点的距离等于 则椭圆 的离心率 等于 15 已知椭圆的对称轴为坐标轴 离心率 3 2 e 短轴长为 58 求椭圆的方程 用心 爱心 专心 3 3 16 过椭圆 4 1 48 22 00 22 yxOyxP yx C向圆上一点 引两条切线 PA PB A B 为切点 如直线 AB 与 x 轴 y 轴交于 M N 两点 1 若 0 PBPA 求 P 点坐标 2 求直线 AB 的方程 用 00 y x 表示 3 求 MON 面积的最小值 O 为原点 17 椭圆 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 与直线 1 yx 交于P Q两点 且 OQOP 其中 O为坐标原点 1 求 22 11 ba 的值 2 若椭圆的离心率e满足 3 3 e 2 2 求椭圆长轴的取值范围 18 一条变动的直线 L 与椭圆 4 2 x 2 y2 1 交于 P Q 两点 M 是 L 上的动点 满足关系 MP MQ 2 若直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1 求动点 M 的轨迹方程 并 说明曲线的形状 用心 爱心 专心 3 4 x y o x y o x y o x y o 选修 1 1 第 2 章 圆锥曲线与方程 2 3 双曲线 重难点 建立并掌握双曲线的标准方程 能根据已知条件求双曲线的标准方程 掌握双曲线 的简单几何性质 能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题 经典例题 已知不论 b 取何实数 直线 y kx b 与双曲线 12 22 yx 总有公共点 试求实数 k 的取值范围 当堂练习 1 到两定点 0 3 1 F 0 3 2 F 的距离之差的绝对值等于 6 的点M的轨迹 A 椭圆 B 线段 C 双曲线D 两条射线 2 方程 1 11 22 k y k x 表示双曲线 则k的取值范围是 A 11 k B 0 k C 0 k D 1 k 或 1 k 3 双曲线 1 412 2 2 2 2 m y m x 的焦距是 A 4B 22 C 8D 与m有关 4 已知 m n 为两个不相等的非零实数 则方程 mx y n 0 与 nx2 my2 mn 所表示的曲线可 能是 A B C D 5 双曲线的两条准线将实轴三等分 则它的离心率为 A 2 3 B 3C 3 4 D 3 6 焦点为 6 0 且与双曲线 1 2 2 2 y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 A 1 2412 22 yx B 1 2412 22 xy C 1 1224 22 xy D 1 1224 22 yx 7 若 ak 0 双曲线 1 2 2 2 2 kb y ka x 与双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 有 A 相同的虚轴B 相同的实轴C 相同的渐近线 D 相同的焦点 用心 爱心 专心 3 5 8 过双曲线 1 916 22 yx 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6 则 2 ABF F2 为右焦点 的周长是 A 28 B 22 C 14D 12 9 已知双曲线方程为 1 4 2 2 y x 过 P 1 0 的直线 L 与双曲线只有一个公共点 则 L 的 条数共有 A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 10 给出下列曲线 4x 2y 1 0 x2 y2 3 1 2 2 2 y x 1 2 2 2 y x 其中与直线 y 2x 3 有交点的所有曲线是 A B C D 11 双曲线 1 79 22 yx 的右焦点到右准线的距离为 12 与椭圆 1 2516 22 yx 有相同的焦点 且两准线间的距离为 3 10 的双曲线方程为 13 直线 1 xy 与双曲线 1 32 22 yx 相交于 BA 两点 则 AB 14 过点 1 3 M 且被点 M 平分的双曲线 1 4 2 2 y x 的弦所在直线方程为 15 求一条渐近线方程是 043 yx 一个焦点是 0 4 的双曲线标准方程 并求此双曲线的 离心率 16 双曲线 0 222 aayx 的两个焦点分别为 21 F F P为双曲线上任意一点 求证 21 PFPOPF 成等比数列 O为坐标原点 17 已知动点 P 与双曲线 x2 y2 1 的两个焦点 F1 F2 的距离之和为定值 且 cos F1PF2 的 最小值为 1 3 1 求动点 P 的轨迹方程 2 设 M 0 1 若斜率为 k k 0 的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A B 若要使 MA MB 试求 k 的取值范围 用心 爱心 专心 3 6 18 某中心接到其正东 正西 正北方向三个观测点的报告 正西 正北两个观测点同时听 到了一声巨响 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s 已知各观测点到该中心的距离 都是 1020m 试确定该巨响发生的位置 假定当时声音传播的速度为 340m s 相关各点均在同 一平面上 选修 1 1 第 2 章 圆锥曲线与方程 2 4 抛物线 重难点 建立并掌握抛物线的标准方程 能根据已知条件求抛物线的标准方程 掌握抛物线 的简单几何性质 能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题 经典例题 如图 直线 y 2 1 x 与抛物线 y 8 1 x2 4 交于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线与 直线 y 5 交于 Q 点 1 求点 Q 的坐标 2 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 含 A B 的动点时 求 OPQ 面积的最大值 当堂练习 1 抛物线 2 2xy 的焦点坐标是 A 0 1 B 0 4 1 C 8 1 0 D 4 1 0 2 已知抛物线的顶点在原点 焦点在 y 轴上 其上的点 3 mP 到焦点的距离为 5 则抛物 线方程为 A yx8 2 B yx4 2 C yx4 2 D yx8 2 3 抛物线 xy12 2 截直线 12 xy 所得弦长等于 A 15 B 152 C 2 15 D 15 4 顶点在原点 坐标轴为对称轴的抛物线过点 2 3 则它的方程是 A yx 2 9 2 或 xy 3 4 2 B xy 2 9 2 或 yx 3 4 2 用心 爱心 专心 3 7 C yx 3 4 2 D xy 2 9 2 5 点 0 1 P 到曲线 ty tx 2 2 其中参数 Rt 上的点的最短距离为 A 0 B 1 C 2 D 2 6 抛物线 0 2 2 ppxy 上有 2211 yxByxA 33 yxC 三点 F是它的焦点 若 CFBFAF 成等差数列 则 A 321 xxx 成等差数列 B 231 xxx 成等差数列 C 321 yyy 成等差数列 D 231 yyy 成等差数列 7 若点 A 的坐标为 3 2 F为抛物线 xy2 2 的焦点 点P是抛物线上的一动点 则 PFPA 取得最小值时点P的坐标是 A 0 0 B 1 1 C 2 2 D 1 2 1 8 已知抛物线 0 2 2 ppxy 的焦点弦AB的两端点为 11 yxA 22 yxB 则关系式 21 21 xx yy 的值一定等于 A 4p B 4p C p2 D p 9 过抛物线 0 2 aaxy 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 FQ 的长分 别是 qp 则 qp 11 A a2 B a2 1 C a4 D a 4 10 若 AB 为抛物线 y2 2px p 0 的动弦 且 AB a a 2p 则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距 离是 A 2 1 a B 2 1 p C 2 1 a 2 1 p D 2 1 a 2 1 p 11 抛物线 xy 2 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 12 已知圆 076 22 xyx 与抛物线 0 2 2 ppxy 的准线相切 则 p 13 如果过两点 0 aA 和 0 aB 的直线与抛物线 32 2 xxy 没有交点 那么实数 a 的取值范围是 14 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 1 焦点在 y 轴上 2 焦点在 x 轴上 3 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6 4 抛物线的通径的长为 5 5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 用心 爱心 专心 3 8 其中适合抛物线 y2 10 x 的条件是 要求填写合适条件的序号 15 已知点 A 2 8 B x1 y1 C x2 y2 在抛物线 pxy2 2 上 ABC 的重心与此 抛物线的焦点 F 重合 如图 1 写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标 2 求线段 BC 中点 M 的坐标 3 求 BC 所在直线的方程 16 已知抛物线 y ax2 1 上恒有关于直线 x y 0 对称的相异两点 求 a 的取值范围 17 抛物线 x2 4y 的焦点为 F 过点 0 1 作直线 L 交抛物线 A B 两点 再以 AF BF 为邻 边作平行四边形 FARB 试求动点 R 的轨迹方程 18 已知抛物线 C 2 7 4 2 xxy 过 C 上一点 M 且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在 点 M 的法线 1 若 C 在点 M 的法线的斜率为 2 1 求点 M 的坐标 x0 y0 2 设 P 2 a 为 C 对称轴上的一点 在 C 上是否存在点 使得 C 在该点的法线通过点 用心 爱心 专心 3 9 P 若有 求出这些点 以及 C 在这些点的法线方程 若没有 请说明理由 选修 1 1 第 2 章 圆锥曲线与方程 2 5 圆锥曲线单元测试 1 如果实数 yx 满足等式 3 2 22 yx 那么x y 的最大值是 A 2 1 B 3 3 C 2 3 D 3 2 若直线 01 1 yxa 与圆 02 22 xyx 相切 则a的值为 A 1 1 B 2 2 C 1 D 1 3 已知椭圆 1 25 2 2 2 y a x 5 a 的两个焦点为 1 F 2 F 且 8 21 FF 弦 AB 过点 1 F 则 2 ABF 的周长为 A 10 B 20 C 2 41 D 414 4 椭圆 1 36100 22 yx 上的点 P 到它的左准线的距离是 10 那么点 P 到它的右焦点的距离是 A 15 B 12 C 10 D 8 5 椭圆 1 925 22 yx 的焦点 1 F 2 F P 为椭圆上的一点 已知 21 PFPF 则 21PF F 的面 积为 用心 爱心 专心 3 10 A 9 B 12 C 10 D 8 6 椭圆 1 416 22 yx 上的点到直线 022 yx 的最大距离是 A 3 B 11 C 22 D 10 7 以坐标轴为对称轴 渐近线互相垂直 两准线间距离为 2 的双曲线方程是 A 2 22 yx B 2 22 xy C 4 22 yx 或 4 22 xy D 2 22 yx 或 2 22 xy 8 双曲线 1 916 22 yx 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2 则 P 点到左准线的距离为 A 6 B 8 C 10 D 12 9 过双曲线 8 22 yx 的右焦点 F2 有一条弦 PQ PQ 7 F1 是左焦点 那么 F1PQ 的周长 为 A 28 B 2814 C 2814 D 28 10 双曲线虚轴上的一个端点为 M 两个焦点为 F1 F2 120 21MF F 则双曲线的离心率 为 A 3 B 2 6 C 3 6 D 3 3 11 过抛物线 2 yax a 0 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 FQ 的长分 别为 p q 则 11 pq 等于 A 2a B 1 2a C 4a D 4 a 12 如果椭圆 1 936 22 yx 的弦被点 4 2 平分 则这条弦所在的直线方程是 A 02 yx B 042 yx C 01232 yx D 082 yx 13 与椭圆 22 1 43 xy 具有相同的离心率且过点 2 3 的椭圆的标准方程是 用心 爱心 专心 3 11 14 离心率 3 5 e 一条准线为 3 x 的椭圆的标准方程是 15 过抛物线 2 2ypx p 0 的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P Q 两点 作 PP1 QQ1 垂直于抛物线的准线 垂足分别是 P1 Q1 已知线段 PF QF 的长度分别是 a b 那么 P1Q1 16 若直线 l 过抛物线 2 yax a 0 的焦点 并且与 y 轴垂直 若 l 被抛物线截得的线段长为 4 则 a 17 已知椭圆 C 的焦点 F1 22 0 和 F2 22 0 长轴长 6 设直 线 2 xy 交椭圆 C 于 A B 两点 求线段 AB 的中点坐标 18 已知双曲线与椭圆 1 259 22 yx 共焦点 它们的离心率之和为 5 14 求双曲线方程 19 抛物线 xy2 2 上的一点 P x y 到点 A a 0 a R 的距离的最小值记为 af 求 af 的 表达式 20 求两条渐近线为 02 yx 且截直线 03 yx 所得弦长为 3 38 的双曲线方程 21 已知直线 y ax 1 与双曲线 3x2 y2 1 交于 A B 两点 1 若以 AB 线段为直径的圆过坐 标原点 求实数 a 的值 2 是否存在这样的实数 a 使 A B 两点关于直线 1 2 yx 对称 用心 爱心 专心 3 12 说明理由 参考答案 第 2 章 圆锥曲线与方程 2 1 2 椭圆 经典例题 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 5 4 e 由焦半径公式有 a ex1 a ex2 a 5 8 x1 x2 a 2 1 即 AB 中点横坐标为 a 4 1 又左准线方程为 ax 4 5 2 3 4 5 4 1 aa 即 a 1 椭圆方程为 x2 9 25 y2 1 当堂练习 1 D 2 D 3 D 4 A 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10 D 11 1 2736 22 xy 12 1 1015 22 yx 13 13 13 14 5 4 15 解析 由 222 3 2 54 cba a c e b 8 12 c a 椭圆的方程为 1 80144 22 yx 或 1 80144 22 xy 16 解析 1 PBPAPBPA 0 OAPB 的正方形 由 8 4 32 1 48 8 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 x yx yx 22 0 x P 点坐标为 0 22 2 设 A x1 y1 B x2 y2 则 PA PB 的方程分别为 4 4 2211 yyxxyyxx 而 PA PB 交于 P x0 y0 即 x1x0 y1y0 4 x2x0 y2y0 4 AB 的直线方程为 x0 x y0y 4 3 由 0 4 4 0 00 x Myyxx得 4 0 0 y N 用心 爱心 专心 3 13 1 8 4 4 2 1 2 1 0000 yxyx ONOMS MON 22 48 22 222 24 2 0 2 000 00 yxyx yx 22 22 8 8 00 yx S MON 当且仅当 22 2 22 min 00 MON S yx 时 17 解析 设 2211 yxPyxP 由 OP OQ x 1 x 2 y 1 y 2 0 01 2 1 1 21212211 xxxxxyxy代入上式得 又将 代入xy 1 1 2 2 2 2 b y a x 0 1 2 222222 baxaxba 2 0 22 2 21 ba a xx 22 22 21 1 ba ba xx 代入 化简得 2 11 22 ba 2 3 2 2 1 2 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a c e 又由 1 知 12 2 2 2 a a b 2 6 2 5 2 3 4 5 3 2 12 1 2 1 2 2 aa a 长轴 2a 6 5 18 解析 设动点 M x y 动直线 L y x m 并设 P x1 y1 Q x2 y2 是方程组 042 22 yx mxy 的解 消去 y 得 3x2 4mx 2m2 4 0 其中 16m2 12 2m2 4 0 6 m 6 且 x1 x2 3 m4 x1x2 3 4m2 2 又 MP 2 x x1 MQ 2 x x2 由 MP MQ 2 得 x x1 x x2 1 也即 x2 x1 x2 x x1x2 1 于是有 1 3 42 3 4 2 2 mmx x m y x x2 2y2 4 3 由 x2 2y2 4 3 得椭圆 1 7 2 7 22 xx 夹在直线 6 xy 间两段弧 且不包含端点 由 x2 2y2 4 3 得椭圆 x2 2y2 1 2 3 双曲线 经典例题 解析 联立方程组 12 22 yx bkxy 消去 y 得 2k2 1 x2 4kbx 2b2 1 0 当 时 即 2 2 k 021 2 k 若 b 0 则 k 若 b b x 22 12 0b 2 不合题意 用心 爱心 专心 3 14 当 时 即 2 2 k 021 2 k 依题意有 4kb 2 4 2k2 1 2b2 1 0 122 22 bk 对所有实 数 b 恒成立 min 22 12 2 bk 2k2 PA 5680 5680 yx 10680 5680 5680 POP故即 答 巨响发生在接报中心的西偏北 45 距中心 m10680 处 2 4 抛物线 经典例题 解 1 解方程组 4 8 1 2 1 2 xy xy 得 2 4 1 1 y x 或 4 8 2 2 y x 即 A 4 2 B 8 4 从而 AB 的中点为 M 2 1 由 kAB 2 1 直线 AB 的垂直平分线方程