电磁场与电磁波试题及答案

1 1 1 麦克斯韦的物理意义 麦克斯韦的物理意义 根据亥姆霍兹定理 矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源 麦克斯韦方程表明 了电磁场和它们的源之间的全部关系 除了真实电流外 变化的电场 位移电流 也是磁场的源 除电荷 外 变化的磁场也是电场的源 1 1 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式 并简要说明其物理意义 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式 并简要说明其物理意义 2 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 3分 0 DB HJEBD tt 表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外 变化的电场 位移电流 也是磁场的源 除 电荷外 变化的磁场也是电场的源 1 1 简述集总参数电路和分布参数电路的区别 简述集总参数电路和分布参数电路的区别 2 答 总参数电路和分布参数电路的区别主要有二 1 集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输 线的几何尺寸 而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟 2 集总参数电路的 传输线上各点电压 或电流 的大小与相位可近似认为相同 无分布参数效应 而分布参数电路的传输线 上各点电压 或电流 的大小与相位均不相同 呈现出电路参数的分布效应 1 1 写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件 写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件 2 答 实际边值问题的边界条件可以分为三类 第一类是整个边界上的电位已知 称为 狄利克莱 边界 条件 第二类是已知边界上的电位法向导数 称为 诺依曼 边界条件 第三类是一部分边界上电位已知 而另一部分上的电位法向导数已知 称为混合边界条件 1 1 简述色散效应和趋肤效应 简述色散效应和趋肤效应 2 答 在导电媒质中 电磁波的传播速度 相速 随频率改变的现象 称为色散效应 在良导体中电磁波 只存在于导体表面的现象称为趋肤效应 1 1 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性 在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性 在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性 2 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下 电场 磁场的振幅不随传播距离增加而衰减 幅 度相差一个实数因子 理想媒质的本征阻抗 时间相位相同 在空间相互垂直 与传播方向呈右手螺 旋关系 为TEM波 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下 电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减 电 磁场 不同相 电场相位超前于磁场相位 在空间相互垂直 与传播方向呈右手螺旋关系 为色散的TEM啵 1 1 写出时变电磁场在写出时变电磁场在1 1为理想导体与为理想导体与2 2为理想介质分界面时的边界条件 为理想介质分界面时的边界条件 2 时变场的一般边界条件 或矢量式 2n D 2 0 t E 2ts HJ 2 0 n B 2 n D A 2 0nE 2s nHJ 2 0n B A 1 1 写出矢量位 动态矢量位与动态标量位的表达式写出矢量位 动态矢量位与动态标量位的表达式 并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义 并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义 2 答矢量位 动态矢量位或 库仑规范与洛仑兹规范的 0BAA A E t A E t 作用都是限制的散度 从而使的取值具有唯一性 库仑规范用在静态场 洛仑兹规范用在时变场 A A 1 1 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量 若 0 流出S面的通量大于流入的通量 s A ds A 即通量由S面内向外扩散 说明S面内有正源若 0 则流入S面的通量大于流出的通量 即通量向S面 内汇集 说明S面内有负源 若 0 则流入S面的通量等于流出的通量 说明S面内无源 1 1 证明位置矢量证明位置矢量 的散度 并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关 的散度 并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关 xyz re xe ye z 2 证明在直角坐标系里计算 则有 xyzxyz r reeee xe ye z xyz 3 xyz xyz 若在球坐标系里计算 则 由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关 23 22 11 3r rr rr rrrr 1 1 在直角坐标系证明在直角坐标系证明 0A 2 2 0 y xxxzz xyzxyz yy xxzz A A AAAAA eeeeee xyzyzzxxy AA AAAA xyzyzxzxy 1 1 简述亥姆霍兹定理并举例说明 简述亥姆霍兹定理并举例说明 2 亥姆霍兹定理研究一个矢量场 必须研究它的散度和旋度 才能确定该矢量场的性质 例静电场 有源 0 s D dsq A 0 D 无旋0 l E dl A 0E 1 1 已知已知 证明 证明 Rr r R R RRe R 2 证明 xyzxyz RRRxxyyzz Reeeeee xyzRRR R R 1 1 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 恒定电流的呢 恒定电流的呢 2 一般电流 0 J dSdq dtJt A 恒定电流0 0J dSJ A 1 1 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动 在非匀强电场中呢 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动 在非匀强电场中呢 2 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用 发生转动 非匀强电场中 不仅受一个 力矩作用 发生转动 还要受力的作用 使 电偶极子中心 发生平动 移向电场强的方向 1 1 试写出静电场基本方程的积分与微分形式试写出静电场基本方程的积分与微分形式 2 答静电场基本方程的 积分形式 0 1 s E dsq A 0 l E dl A 微分形式 0DE 1 1 试写出静电场基本方程的微分形式 并说明其物理意义 试写出静电场基本方程的微分形式 并说明其物理意义 2 静电场基本方程微分形式 说明激发静电场的源是空间电荷的分布 或是激发 0DE 静电场的源是是电荷的分布 1 1 试说明导体处于静电平衡时特性 试说明导体处于静电平衡时特性 2 答导体处于静电平衡时特性有 导体内 0E 导体是等位体 导体表面是等位面 导体内无电荷 电荷分布在导体的表面 孤立导体 曲率 导体表面附近电场强度垂直于表面 且 0 En 1 1 试写出两种介质分界面静电场的边界条件 试写出两种介质分界面静电场的边界条件 2 答在界面上D的法向量连续 或 E的切向分量连续或 12nn DD 1212 n Dn D 12tt EE 1112 nEnE 1 1 试写出试写出1 1为理想导体 二为理想介质分界面静电场的边界条件 为理想导体 二为理想介质分界面静电场的边界条件 2 在界面上D的法向量 或 E的切向分量或 2n D 12 n D 2 0 t E 12 0nE 1 1 试写出电位函数试写出电位函数 表示的两种介质分界面静电场的边界条件 表示的两种介质分界面静电场的边界条件 3 2 答电位函数 表示的两种介质分界面静电场的边界条件为 12 12 12 nn 1 1 试推导静电场的泊松方程 试推导静电场的泊松方程 2 解由 其中 D DE E 为常数 DE 泊松方程 2 1 1 简述唯一性定理 并说明其物理意义简述唯一性定理 并说明其物理意义 2 对于某一空间区域V 边界面为s 满足 给定 对导体给定q 则解是唯一的 只要满足唯一性定理中的条件 解是唯一的 可以用能想到的最简便的方法求解 直接 求解法 镜像法 分离变量法 还可以由经验先写出试探解 只要满足给定的边界条件 也是唯 一解 不满足唯一性定理中的条件无解或有多解 1 1 试写出恒定电场的边界条件 试写出恒定电场的边界条件 2 答恒定电场的边界条件为 1 1 分离变量法的基本步骤有哪些分离变量法的基本步骤有哪些 2 答具体步骤是1 先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成 2 把假 定的函数代入拉氏方程 使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程 解这些方程 并利用给定的 边界条件决定其中待定常数和函数后 最终即可解得待求的位函数 1 1 叙述什么是镜像法 其关键和理论依据各是什么 叙述什么是镜像法 其关键和理论依据各是什么 2 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界 其关键是确定镜像电荷的大小和位置 理论依 据是唯一性定理 1 1 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式 并说明其物理意义 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式 并说明其物理意义 2 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为 0 s l B ds H dlI A A 0B HJ 说明恒定磁场是一个无散有旋场 电流是激发恒定磁场的源 1 1 试写出恒定磁场的边界条件 并说明其物理意义 试写出恒定磁场的边界条件 并说明其物理意义 2 答 恒定磁场的边界条件为 说明磁场在不同的边界条件下磁场强 12 s nHHJ 12 0nBB 度的切向分量是不连续的 但是磁感应强强度的法向分量是连续 1 1 由矢量位的表示式由矢量位的表示式 0 d 4R J r A r 证明磁感应强度的积分公式 0 3 d 4R J rR B r 并证明 0B 2 答 0 d 4R J r B rA r 00 1 d d 44RR J r J r 00 33 dd 44RR RJ rR J r 4 0 BA r 1 1 由麦克斯韦方程组出发 导出点电荷的电场强度公式和泊松方程 由麦克斯韦方程组出发 导出点电荷的电场强度公式和泊松方程 2 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程 0 E 和 D 由 D 得 dd D 据散度定理 上式即为 d s q AD S 利用球对称性 得 2 4 r q r De 故得点电荷的电场表示式 2 4 r q r Ee 由于 0 E 可取 E 则得 2 DE 即得泊松方程 2 1 1 写出在空气和写出在空气和 的理想磁介质之间分界面上的边界条件 的理想磁介质之间分界面上的边界条件 2 解 空气和理想导体分界面的边界条件为 0 s nE nHJ 根据电磁对偶原理 采用以下对偶形式 sms EHHEJJ 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件 0 ms nH nEJ 式中 Jms为表面磁流密度 1 1 写出麦克斯韦方程组 在静止媒质中 的积分形式与微分形式 写出麦克斯韦方程组 在静止媒质中 的积分形式与微分形式 2 ls D H dlJdS t A D HJ t ls B E dldS t A B E t 0 s B dS A 0B s D dSq A D 1 1 试写媒质试写媒质1 1为理想介质为理想介质2 2为理想导体分界面时变场的边界条件 为理想导体分界面时变场的边界条件 2 答边界条件为 或 12 0 tt EE 1 0nE 或 1ts HJ 1s nHJ 或 12 0 nn BB 1 0n B 或 1ns D 1s n D 1 1 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式 2 答 5 HjE EjH 0B 0D 1 1 试写出波的极化方式的分类 并说明它们各自有什么样的特点 试写出波的极化方式的分类 并说明它们各自有什么样的特点 2 答波的极化方式的分为圆极化 直线极化 椭圆极化三种 圆极化的特点 且的相位差为 xmym EE xmym EE 2 直线极化的特点的相位差为相位相差 xmym EE0 椭圆极化的特点 且 的相位差为 或 xmym EE xmym EE 2 0 1 1 能流密度矢量 坡印廷矢量 能流密度矢量 坡印廷矢量 是怎样定义的 坡印廷定理是怎样描述的 是怎样定义的 坡印廷定理是怎样描述的 S 2 答能流密度矢量 坡印廷矢量 定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量 坡S 印廷定理的表达式为或 em s d EHdSWWP dt A 反映了电磁场中能量的守恒和转换关系 222 11 22 s d EHdSEHdE d dt A 1 1 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质 设媒质无限大 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质 设媒质无限大 2 答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直 振幅沿传播方向衰减 电场和磁场不同向 以平面波形式传播 2 时变场的一般边界条件 写成矢量式 12nn DD 12tt EE 12tts HHJ 12nn BB 一样给5分 12 n DD A 12 0nEE 12 s nHHJ 12 0n BB A 1 1 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式 并简要说明其物理意义 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式 并简要说明其物理意义 2 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 表明 0 DB HJEBD tt 了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外 变化的电场 位移电流 也是磁场的源 除电荷外 变化的磁场也是电场的源 1 1 写出时变电磁场在写出时变电磁场在1 1为理想导体与为理想导体与2 2为理想介质分界面时的边界条件为理想介质分界面时的边界条件 2 时变场的一般边界条件 写成矢量式 2n D 2 0 t E 2ts HJ 2 0 n B 2 n D A 一样给5分 2 0nE 2s nHJ 2 0n B A 1 1 写出矢量位 动态矢量位与动态标量位的表达式写出矢量位 动态矢量位与动态标量位的表达式 并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义 并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义 2 答矢量位 动态矢量位或 库仑规范与洛仑兹规范 0BAA A E t A E t 的作用都是限制的散度 从而使的取值具有唯一性 库仑规范用在静态场 洛仑兹规范用在时变场 A A 1 1 描述天线特性的参数有哪些 描述天线特性的参数有哪些 2 答描述天线的特性能数有辐射场强 方向性及它的辐射功率和效率 1 1 天线辐射的远区场有什么特点 天线辐射的远区场有什么特点 2 答天线的远区场的电场与磁场都是与1 r成正比 并且它们同相 它们在空间相互垂直 其比值即为媒 质的本征阻抗 有能量向外辐射 1 1 已知已知求求 1 1 穿过面积穿过面积 在在方向的总电流方向的总电流 2 2 在上述面积中心处电流密度的模 在上述面积中心处电流密度的模 3 3 在上述面上在上述面上的平均值的平均值 2 1 6 2 面积中心 3 的平均值 1 1 利用直角坐标系证明利用直角坐标系证明 fGfGfG 2 证明左边 xxyyzz fAfA efA efA e yy xxzz fA e fA efA e xyz yyy xxx xy zzz z A ef e A ef e fAfA xxyy A ef e fA zz 右边 yy xxxzz x yy yy A e A ef eA e fffA xyzx f ef e AA yy fAAf 1 1 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为 1010 2 20 4204 mveaeaE zj y zj x 求 求 1 1 平面波的传播方向 平面波的传播方向 2 2 频率 频率 3 3 波的极化方式 波的极化方式 4 4 磁场强度 磁场强度 5 5 电磁波的平均坡印廷矢量 电磁波的平均坡印廷矢量 av S 2 解 1 平面波的传播方向为 方向 2 频率为 9 0 3 10 2 c fkHz 3 波的极化方式因为 故为左旋圆极化 4 10 0 22 xmymxy EE 4 磁场强度 4420 0 00 4420 0 1 1010 1 1010 jz zzxzy jz yx HaEaajaae ajae 5 平均功率坡印廷矢量 7 4420 4420 0 4242 00 8 102 11 Re Re 1010 22 1 1010 1 10 10 2 11 2 10 2120 0 265 10 jz avxy jz yx z z z SEHajae ajae a a a W m 1 1 两平行无限长直线电流两平行无限长直线电流 1 I 和和 2 I 相距为 相距为d 求每根导线单位长度受到的安培力 求每根导线单位长度受到的安培力 m F 2 解解 无限长直线电流 1 I 产生的磁场为 0 1 1 2 I r Be 直线电流 2 I 每单位长度受到的安培力为 1 0 1 2 122112 0 d 2 mz I I Iz d FeBe 式中 12 e 是由电流 1 I 指向电流 2 I 的单位矢量 同理可得 直线电流 1 I 每单位长度受到的安培力为 0 1 2 211212 2 mm I I d FFe 1 1 一个半径为一个半径为a的导体球带电荷量为的导体球带电荷量为Q 当球体以均匀角速度 当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转 求球心处的磁感应强绕一个直径旋转 求球心处的磁感应强 度度B 2 解解 球面上的电荷面密度为 2 4 Q a 当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时 球面上位置矢量 ra re 点处的电流面密度为 Szra Jv ree sinsin 4 Q a a ee 将球面划分为无数个宽度为d dla 的细圆环 则球面上任一个宽度为d dla 细圆环的电流为 ddsind 4 S Q IJl 细圆环的半径为 sinba 圆环平面到球心的距离 cosda 利用电流圆环的轴线上的磁场公式 则 该细圆环电流在球心处产生的磁场为 223 00 22 3 222223 2 dsind d 2 8 sincos zz bIQa bdaa Bee 3 0 sind 8 z Q a e 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3 00 0 sin d 86 zz QQ aa Bee 1 1 半径为半径为a的球体中充满密度的球体中充满密度 r 的体电荷 已知电位移分布为的体电荷 已知电位移分布为 8 32 54 2 r rArra D aAa ra r 其中A为常数 试求电荷密度 r 2 解解 由 DA 有 2 2 1 d d r rr D rr DA 故在r a 区域 2322 00 2 1 d 54 d rrrArrAr rr 在r a 区域 54 2 0 22 1 d 0 d aAa rr rrr 1 1 一个半径为一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜 球内充满总电荷量为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜 球内充满总电荷量为Q为的体电荷 球壳上为的体电荷 球壳上 又另充有电荷量又另充有电荷量Q 已知球内部的电场为 已知球内部的电场为 4 r r a Ee 设球内介质为真空 计算 设球内介质为真空 计算 1 球内的电荷分布球内的电荷分布 2 球壳外表面的电荷面密度 球壳外表面的电荷面密度 2 解解 1 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为 43 22 0000 2244 1 d1 d 6 dd rr r Er rrrraa EA 2 球体内的总电量Q为 3 22 00 4 0 d64d4 a r Qrra a 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 Q 而且在球壳外表面上还要感应电荷Q 所以球壳外表面上的 总电荷为2Q 故球壳外表面上的电荷面密度为 0 2 2 2 4 Q a 1 1 一个半径为一个半径为R的介质球 介电常数为的介质球 介电常数为 球内的极化强度 球内的极化强度 r K r Pe 其中 其中K为一常数 为一常数 1 计算计算 束缚电荷体密度和面密度 束缚电荷体密度和面密度 2 计算自由电荷密度 计算自由电荷密度 3 计算球内 外的电场和电位分布 计算球内 外的电场和电位分布 2 解解 1 介质球内的束缚电荷体密度为 2 22 1 d d p KK r rrrr PA 在r R 的球面上 束缚电荷面密度为 pr r Rr R K R n Pe PAA 2 由于 0 DEP 所以 0 0 DEPDPAAAAA 即 0 1 DPAA 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2 000 p K r DPAA 总的自由电荷量 9 2 2 000 14 d4d R KRK qrr r 3 介质球内 外的电场强度分别为 1 00 r K rR r P Ee 2 22 000 4 rr qRK rR rr Eee 介质球内 外的电位分别为 112 ddd R rrR E rEr AEl 2 000 dd R rR KRK rr rr 000 ln KRK rR r 22 2 0000 dd rr RKRK ErrrR rr 0 1 3 5 41 sinh sin sinh n Un yn x x y nn b aaa 00 22 1 21 sin sin e n x b n UbUn dn y y bdnbb 00 00 1400 0 001 1 487 220 150 001 mr m Wl Wrl 9 9 1 cos 9 1030 A m 3 40cos 9 1030 m y x tz tz V He Ee 1 1 海水的电导率海水的电导率 4S m 相对介电常数 相对介电常数 81 r 求频率为 求频率为10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MH z 1GHz的电磁波在海水中的波长 衰减系数和波阻抗的电磁波在海水中的波长 衰减系数和波阻抗 2 解解 先判定海水在各频率下的属性 8 00 48 8 10 2281 r fff 可见 当 7 10 Hzf 时 满足 1 海水可视为良导体 此时 0 0 1 c f f j f 10kHz时 37 37 10 1041040 1260 396 Np m 22 15 87 m 0 126 10 10410 1 0 099 1 4 c jj f 100kHz时 10 37 37 100 1041041 26Np m 22 5 m 1 26 100 10410 1 0 314 1 4 c jj f 1MHz时 67 67 1041043 96Np m 22 1 587m 3 96 10410 1 0 99 1 4 c jj f 10MHz时 67 67 10 10410412 6Np m 22 0 5m 12 6