2011版高考数学 3年高考2年模拟 第10章 概率与统计

第十章第十章 概率与统计第一部分概率与统计第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20112011 年高考题统计年高考题统计 一 一 一 选择题一 选择题 1 四川理 四川理 1 1 有一个容量为 66 的样本 数据的分组及各组的频数如下 11 5 15 5 2 15 5 19 5 4 19 5 23 5 9 23 5 27 5 18 27 5 31 5 1l 31 5 35 5 12 35 5 39 5 7 39 5 43 5 3 根据样本的频率分布估计 数据落在 31 5 43 5 的概率约是 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 B 解析 从31 5到43 5共有 22 所以 221 663 P 2 2 陕西理 陕西理 9 9 设 1 x 1 y 2 x 2 y n x n y 是变量x和y的n个样本点 直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 如图 以 下结论中正确的是 A x和y的相关系数为直线l的斜率 B x和y的相关系数在 0 到 1 之间 C 当n为偶数时 分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D 直线l过点 x y 答案 D 3 3 山东理 山东理 7 7 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x 万元 4235 销售额 y 万元 49263954 根据上表可得回归方程 ybxa 中的 b为 9 4 据此模型预报广告费用为 6 万元时 销售额为 A 63 6 万元 B 65 5 万元 C 67 7 万元 D 72 0 万元 答案 B 4 4 江西理 江西理 6 6 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 10 1 11 3 2 11 8 3 12 5 4 13 5 变量 U 与 V 相对应的一组数据为 10 5 11 3 4 11 8 3 12 5 2 13 1 1 r 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数 2 r 表示 变量 V 与 U 之间的线性相关系数 则 A 21 0rr B 21 0rr C 21 0rr D 21 rr 答案 C 5 5 湖南理 湖南理 4 4 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列 联表 男女总计 爱好 402060 不爱好 203050 总计 6050110 由 2 2 n adbc K abcdacbd 算得 2 2 11040 3020 20 7 8 60 50 60 50 K 2 P Kk 0 0500 0100 001 k 3 8416 63510 828 参照附表 得到的正确结论是 A 再犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 B 再犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 C 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 D 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 答案 C 二 填空题二 填空题 6 6 天津理 天津理 9 9 一支田径队有男运动员 48 人 女运动员 36 人 若用分层抽样的方法从该 队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本 则抽取男运动员的人数为 答案 12 7 7 辽宁理 辽宁理 1414 调查了某地若干户家庭的年收入x 单位 万元 和年饮食支出y 单位 万元 调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系 并由调查数据得到y 对x的回归直线方程 321 0254 0 xy 由回归直线方程可知 家庭年收入每增加 1 万元 年饮食支出平均增加 万元 答案 0 254 8 8 江苏 江苏 6 6 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10 6 8 5 6 则该组数据的 方差 2 s 答案 3 2 9 9 广东理 广东理 1313 某数学老师身高 176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别是 173cm 170cm 和 182cm 因儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙 子的身高为 cm 答案 185 三 解答题三 解答题 10 10 北京理 北京理 1717 以下茎叶图记录了甲 乙两组个四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以 X 表示 如果 X 8 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 如果 X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵 树 Y 的分布列和数学期望 注 注 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 1 x 2 x n x 的平均数 解 1 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 4 35 4 10988 x 方差为 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 35 8 4 1 22222 s 当 X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙组 同学的植树棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同 学 共有 4 4 16 种可能的结果 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的同学植树 8 棵 所以该事件有 2 种可能的结果 因此 P Y 17 8 1 16 2 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 20 P Y 20 21 P Y 21 17 8 1 18 4 1 19 4 1 20 4 1 21 8 1 19 11 11 辽宁理 辽宁理 1919 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品 种家和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成n小块地 在总共 2n小 块地中 随机选n小块地种植品种甲 另外n小块地种植品种乙 I 假设n 4 在第一大块地中 种植品种甲的小块地的数目记为X 求X的分布列 和数学期望 II 试验时每大块地分成 8 小块 即n 8 试验结束后得到品种甲和品种乙在个小 块地上的每公顷产量 单位 kg hm2 如下表 品种 甲 403397390404388400412406 品种 乙 419403412418408423400413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为应 该种植哪一品种 附 样本数据 n xxx 21 的的样本方差 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 其中 x为样本平均数 解 I X 可能的取值为 0 1 2 3 4 且 4 8 13 44 4 8 22 44 4 8 31 44 4 8 4 8 11 0 70 8 1 35 18 2 35 8 3 35 11 4 70 P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C 即 X 的分布列为 4 分 X 的数学期望为 181881 012342 7035353570 E X 6 分 II 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 22222222 1 403397390404388400412406 400 8 1 3 3 10 4 12 0126 57 25 8 x S 甲 甲 8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 222222222 1 419403412418408423400413 412 8 1 7 9 06 4 11 12 1 56 8 x S 乙 乙 10 分 由以上结果可以看出 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样 本方差差异不大 故应该选择种植品种乙 20112011 年高考题年高考题 二 概率 二 概率 一 选择题 1 浙江理 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若将其随 机的并排摆放到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 答案 B 2 四川理 1 有一个容量为 66 的样本 数据的分组及各组的频数如下 11 5 15 5 2 15 5 19 5 4 19 5 23 5 9 23 5 27 5 18 27 5 31 5 1l 31 5 35 5 12 35 5 39 5 7 39 5 43 5 3 根据样本的频率分布估计 数据落在 31 5 43 5 的概率约是 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 B 解析 从31 5到43 5共有 22 所以 221 663 P 3 陕西理 10 甲乙两人一起去游 2011 西安世园会 他们约定 各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个景点的 概率是 A 1 36 B 1 9 C 5 36 D 1 6 答案 D 4 全国新课标理 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同 学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 A 5 辽宁理 5 从 1 2 3 4 5 中任取 2 各不同的数 事件 A 取到的 2 个数之和为偶 数 事件 B 取到的 2 个数均为偶数 则 P B A A 1 8 B 1 4 C 2 5 D 1 2 答案 B 6 湖北理 5 已知随机变量 服从正态分布 2 2N a 且 4 0 8 则 0 2 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 2 答案 C 7 湖北理 7 如图 用 K 1 A 2 A 三类不同的元件连接成一个系统 当K正常工作且 1 A 2 A 至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知 K 1 A 2 A 正常工作的概率依次 为 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 A 0 960 B 0 864 C 0 720 D 0 576 答案 B 8 广东理 6 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军 乙 队需要再赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概率为 A 1 2 B 3 5 C 2 3 D 3 4 答案 D 9 福建理 4 如图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 的中点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个 点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 C 二 填空题 10 湖北理 12 在 30 瓶饮料中 有 3 瓶已过了保质期 从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶 则 至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 结果用最简分数表示 答案 28 145 11 福建理 13 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 答案 3 5 12 浙江理 15 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 2 3 得到乙丙公司面试的概率为p 且三个公 司是否让其面试是相互独立的 记 X 为该毕业生得到面试得公司个数 若 1 0 12 P X 则随机变量 X 的数学期望 E X 答案 5 3 13 湖南理 15 如图 4 EFGH 是以 O 为圆心 半径为 1 的圆的内接正方形 将一颗豆子 随机地扔到该图内 用 A 表示事件 豆子落在正方形 EFGH 内 B 表示事 件 豆子落在扇形 OHE 阴影部分 内 则 1 P A 2 P B A 答案 1 21 2 4 14 上海理 9 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 的数学期望 尽管 处无法完全看清 且两个 处字迹模 糊 但能肯定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案 E 答案 2 15 重庆理 13 将一枚均匀的硬币投掷 6 次 则正面出现的次数比反面出现的次数多的 概率 答案 11 32 16 上海理 12 随机抽取 9 个同学中 至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 默认每月天数相同 结果精确到0 001 答案 0 985 17 江西理 12 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一点 若此点到圆心的距离大于 1 2 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 1 4 则去 打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 答案 13 16 18 江苏 5 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的 两倍的概率为 答案 3 1 三 解答题 19 湖南理 18 某商店试销某种商品 20 天 获得如下数据 日销售量 件 0123 321 P x x 频数 1595 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时有该商品 3 件 当天营业结束后检查存货 若发现存货少于 2 件 则当天进货补充至 3 件 否则不进货 将频率视为概率 求当天商品不进货的概率 记 X 为第二天开始营业时该商品的件数 求 X 的分布列和数学期型 解 I P 当天商品不进货 P 当天商品销售量为 0 件 P 当天商品 销售量为 1 件 10 3 20 5 20 1 由题意知 X的可能取值为 2 3 PXP 2 当天商品销售量为 1 件 4 1 20 5 PXP 3 当天商品销售量为 0 件 P 当天商品销售量为 2 件 P 当天商品销售量为 3 件 4 3 20 5 20 9 20 1 故X的分布列为 X23 P 4 1 4 3 X的数学期望为 4 11 4 3 3 4 1 2 EX 20 安徽理 20 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个 人进去 且每个人只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果有一个人 10 分钟内不能 完成任务则撤出 再派下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能 完成任务的概率分别 p pp 假设 p pp 互不相等 且假定各人能否完成任务 的事件相互独立 如果按甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被完成的概率 若改变三个 人被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率依次为 q q q 其中 q q q 是 p pp 的一个排列 求所需派出人员数目X 的分布列和均值 数字期 望 EX 假定 ppp 试分析以怎样的先后顺序派出人员 可使所需派出的人员数 目的均值 数字期望 达到最小 解 本题考查相互独立事件的概率计算 考查离散型随机变量及其分布列 均值等基本知 识 考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力 合情推理与演绎推理 分类 读者论论思想 应用意识与创新意识 解 I 无论以怎样的顺序派出人员 任务不能被完成的概率都是 1 1 1 321 ppp 所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关 并等于 1 1 1 1 321133221321321 ppppppppppppppp II 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 321 qqq 时 随机变量 X 的分 布列为 X123 P 1 q 21 1 qq 1 1 21 qq 所需派出的人员数目的均值 数学期望 EX 是 23 1 1 3 1 2 212121211 qqqqqqqqqEX III 方法一 由 II 的结论知 当以甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人时 23 2121 ppppEX 根据常理 优先派出完成任务概率大的人 可减少所需派出的人员数目的均值 下面证明 对于 321 ppp 的任意排列 321 qqq 都有 2121 23qqqq 23 2121 pppp 事实上 23 23 21212121 ppppqqqq 0 1 1 2 2 2 21211 221112 2212112211 21212211 qqppq qpqqpp qpqpqpqpqp qqppqpqp 即 成立 方法二 i 可将 II 中所求的 EX 改写为 3 12121 qqqqq 若交换前两人的 派出顺序 则变为 3 12121 qqqqq 由此可见 当 12 qq 时 交换前两人 的派出顺序可减小均值 ii 也可将 II 中所求的 EX 改写为 2121 23qqqq 或交换后两人的派出顺序 则变为 3131 23qqqq 由此可见 若保持第一个派出的人选不变 当 23 qq 时 交换后两人的派出顺序也可减小均值 序综合 i ii 可知 当 321321 pppqqq 时 EX 达到最小 即完成任务 概率大的人优先派出 可减小所需派出人员数目的均值 这一结论是合乎常理的 21 北京理 17 以下茎叶图记录了甲 乙两组个四名同学的植树棵树 乙组记录中有一 个数据模糊 无法确认 在图中以 X 表示 如果 X 8 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 如果 X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵 树 Y 的分布列和数学期望 注 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 1 x 2 x n x 的平均数 解 1 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 4 35 4 10988 x 方差为 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 35 8 4 1 22222 s 当 X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙组同学的植 树棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 共有 4 4 16 种 可能的结果 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的同学植树 8 棵 所以该事 件有 2 种可能的结果 因此 P Y 17 8 1 16 2 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 20 P Y 20 21 P Y 21 17 8 1 18 4 1 19 4 1 20 4 1 21 8 1 19 22 福建理 19 某产品按行业生产标准分成 8 个等级 等级系数 X 依次为 1 2 8 其中 X 5 为标准 A X 为标准 B 已知甲厂执行标准 A 生产该产品 产品 的零售价为 6 元 件 乙厂执行标准 B 生产该产品 产品的零售价为 4 元 件 假定甲 乙 两厂得产品都符合相应的执行标准 I 已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示 1 x 5678 P 0 4 ab 0 1 且 X1 的数字期望 EX1 6 求 a b 的值 II 为分析乙厂产品的等级系数 X2 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件 相应的等级 系数组成一个样本 数据如下 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数 X2 的数学期望 III 在 I II 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具 可购买性 说明理由 注 1 产品的 性价比 产品的零售价 期望产品的等级系数的数学 2 性价比 大的产品更具可购买性 解 本小题主要考查概率 统计等基础知识 考查数据处理能力 运算求解能力 应用意 识 考查函数与方程思想 必然与或然思想 分类与整合思想 满分 13 分 解 I 因为 1 6 5 0 4678 0 16 673 2 EXabab 所以即 又由 X1 的概率分布列得0 4 0 11 0 5 abab 即 由 673 2 0 3 0 5 0 2 aba abb 解得 II 由已知得 样本的频率分布表如下 2 X 345678 f 0 30 20 20 10 10 1 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数 X2 的概率分布列如 下 2 X 345678 P 0 30 20 20 10 10 1 所以 2222222 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 EXP XP XP XP XP XP X 3 0 34 0 25 0 26 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4 8 III 乙厂的产品更具可购买性 理由如下 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6 价格为 6 元 件 所以其性价比为 6 1 6 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4 8 价格为 4 元 件 所以其性价比为 4 8 1 2 4 据此 乙厂的产品更具可购买性 23 广东理 17 为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂生产 的产品中分别抽出取 14 件和 5 件 测量产品中的微量元素 x y 的含量 单位 毫克 下 表是乙厂的 5 件产品的测量数据 编号 12345 x169178166175180 y7580777081 1 已知甲厂生产的产品共有 98 件 求乙厂生产的产品数量 2 当产品中的微量元素 x y 满足 x 175 且 y 75 时 该产品为优等品 用上述样本数 据估计乙厂生产的优等品的数量 3 从乙厂抽出的上述 5 件产品中 随机抽取 2 件 求抽取的 2 件产品中优等品数 的分 布列极其均值 即数学期望 解 1 98 7 5735 14 即乙厂生产的产品数量为 35 件 2 易见只有编号为 2 5 的产品为优等品 所以乙厂生产的产品中的优等品 2 5 故乙厂生产有大约 2 3514 5 件 优等品 3 的取值为 0 1 2 2112 3323 222 555 331 0 1 2 10510 CCCC PPP CCC 所以 的分布列为 012 P 3 10 6 10 1 10 故 3314 012 105105 E 的均值为 24 辽宁理 19 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品 种家和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成 n 小块地 在总共 2n 小 块地中 随机选 n 小块地种植品种甲 另外 n 小块地种植品种乙 I 假设 n 4 在第一大块地中 种植品种甲的小块地的数目记为 X 求 X 的分布列和数 学期望 II 试验时每大块地分成 8 小块 即 n 8 试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地 上的每公顷产量 单位 kg hm2 如下表 品种甲 403397390404388400412406 品种乙 419403412418408423400413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为 应该种植哪一品种 附 样本数据 n xxx 21 的的样本方差 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 其中 x 为样本平均数 解 I X 可能的取值为 0 1 2 3 4 且 4 8 13 44 4 8 22 44 4 8 31 44 4 8 4 8 11 0 70 8 1 35 18 2 35 8 3 35 11 4 70 P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C 即 X 的分布列为 4 分 X 的数学期望为 181881 012342 7035353570 E X 6 分 II 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 22222222 1 403397390404388400412406 400 8 1 3 3 10 4 12 0126 57 25 8 x S 甲 甲 8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 222222222 1 419403412418408423400413 412 8 1 7 9 06 4 11 12 1 56 8 x S 乙 乙 10 分 由以上结果可以看出 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样本方 差差异不大 故应该选择种植品种乙 25 全国大纲理 18 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率 X 表示该地的 l00 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求 X 的期望 解 记 A 表示事件 该地的 1 位车主购买甲种保险 B 表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C 表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D 表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 I 0 5 0 3 P AP BCAB 3 分 0 8 P CP ABP AP B 6 分 II 1 1 0 80 2 DC P DP C 100 0 2 XB 即 X 服从二项分布 10 分 所以期望 100 0 220 EX 12 分 26 全国新课标理 19 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标越大表明质量越 好 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品 现用两种新配方 分别称为 A 配 方和 B 配方 做试验 各生产了 100 件这种产品 并测量了每产品的质量指标值 得 到时下面试验结果 A 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数 82042228 B 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数 412423210 I 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 II 已知用 B 配方生产的一种产品利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 2 94 2 94102 4 102 t yt t 从用 B 配方生产的产品中任取一件 其利润记为 X 单位 元 求 X 的分布列及数学 期望 以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应 组的概率 解 由试验结果知 用 A 配方生产的产品中优质的平率为 228 0 3 100 所以用 A 配方生 产的产品的优质品率的估计值为 0 3 由试验结果知 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 32 10 0 42 100 所以用 B 配方生 产的产品的优质品率的估计值为 0 42 用 B 配方生产的 100 件产品中 其质量指标值落入区间 90 94 94 102 102 110 的频率分别为 0 04 054 0 42 因此 P X 2 0 04 P X 2 0 54 P X 4 0 42 即 X 的分布列为 X 224 P0 040 540 42 X 的数学期望值 EX 2 0 04 2 0 54 4 0 42 2 68 27 山东理 18 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员 A B C 进行围棋比赛 甲对 A 乙对 B 丙对 C 各一盘 已知甲胜 A 乙胜 B 丙胜 C 的概率分别为 0 6 0 5 0 5 假设各 盘比赛结果相互独立 求红队至少两名队员获胜的概率 用 表示红队队员获胜的总盘数 求 的分布列和数学期望E 解 I 设甲胜 A 的事件为 D 乙胜 B 的事件为 E 丙胜 C 的事件为 F 则 D E F 分别表示甲不胜 A 乙不胜 B 丙不胜 C 的事件 因为 0 6 0 5 0 5 P DP EP F 由对立事件的概率公式知 0 4 0 5 0 5 P DP EP F 红队至少两人获胜的事件有 DEF DEF DEF DEF 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立 因此红队至少两人获胜的概率为 0 6 0 5 0 50 6 0 5 0 50 4 0 5 0 50 6 0 5 0 5 0 55 PP DEFP DEFP DEFP DEF II 由题意知 可能的取值为 0 1 2 3 又由 I 知 DEF DEF DEF 是两两互斥事件 且各盘比赛的结果相互独立 因此 0 0 4 0 5 0 50 1 PP DEF 1 PP DEFP DEFP DEF 0 4 0 5 0 50 4 0 5 0 50 6 0 5 0 5 0 35 3 0 6 0 5 0 50 15 PP DEF 由对立事件的概率公式得 2 1 0 1 3 0 4 PPPP 所以 的分布列为 0123 P 0 10 350 40 15 因此 0 0 1 1 0 352 0 43 0 151 6 E 28 陕西理 20 如图 A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 据统计 通过两条路径所用 的时间互不影响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 L1 的频率0 10 20 30 20 2 L2 的频率 0 0 10 40 40 1 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 用 X 表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 的选择方 案 求 X 的分布列和数学期望 解 Ai 表示事件 甲选择路径 Li 时 40 分钟内赶到火车站 Bi 表示事件 乙选择 路径 Li 时 50 分钟内赶到火车站 i 1 2 用频率估计相应的概率可得 P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择 Li P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择 L2 A B 分别表示针对 的选择方案 甲 乙在各自允许的时间内赶到火车站 由 知 0 6 0 9P AP B 又由题意知 A B 独立 0 0 4 0 10 04P XP ABP A P B 1 P XP ABABP A P BP A P B 0 4 0 90 6 0 10 42 2 0 6 0 90 54P XP ABP A P B X 的分布列为 X012 P 0 040 420 54 0 0 04 1 0 422 0 541 5 EX 29 四川理 18 本着健康 低碳的生活理念 租自行车骑游的人越来越多 某自行车租 车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费 超过两小时的收费标准为 2 元 不 足 1 小时的部分按 1 小时计算 有人独立来该租车点则车骑游 各租一车一次 设甲 乙不超过两小时还车的概率分别为 1 1 4 2 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别 为 1 1 2 4 两人租车时间都不会超过四小时 求甲 乙两人所付租车费用相同的概率 求甲 乙两人所付的租车费用之和为随机变量 求 的分布列与数学期望E 解 1 所付费用相同即为0 2 4元 设付 0 元为 1 1 11 4 28 P 付 2 元为 2 1 11 2 48 P 付 4 元为 3 1 11 4 416 P 则所付费用相同的概率为 123 5 16 PPPP 2 设甲 乙两个所付的费用之和为 可为0 2 4 6 8 1 0 8 1 11 15 2 4 42 216 1 11 11 15 4 4 42 42 416 1 11 13 6 4 42 416 1 11 8 4 416 P P P P P 分布列 0 2468 P 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 55917 84822 E 30 天津理 16 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有 3 个白球 2 个黑球 乙箱子里装有 1 个白球 2 个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱 子里各随机摸出 2 个球 若摸出的白球不少于 2 个 则获奖 每次游戏结束后将球放 回原箱 求在 1 次游戏中 i 摸出 3 个白球的概率 ii 获奖的概率 求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望 E X 解 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量的分布列 互斥事件 和相互独立事件等基础知识 考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力 满分 13 分 I i 解 设 在 1 次游戏中摸出 i 个白球 为事件 0 1 2 3 i Ai 则 21 32 3 22 53 1 5 CC P A CC ii 解 设 在 1 次游戏中获奖 为事件 B 则 23 BAA 又 22111 32222 2 2222 5353 1 2 CCC CC P A CCCC 且 A2 A3 互斥 所以 23 117 2510 P BP AP A II 解 由题意可知 X 的所有可能取值为 0 1 2 2 1 2 2 79 0 1 10100 7721 1 1 101050 749 2 10100 P X P XC P X 所以 X 的分布列是 X012 P 9 100 21 50 49 100 X 的数学期望 921497 012 100501005 E X 31 重庆理 17 某市公租房的房源位于 A B C 三个片区 设每位申请人只申请其中一 个片区的房源 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率 申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望 解 这是等可能性事件的概率计算问题 I 解法一 所有可能的申请方式有 34 种 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 22 4 2C 种 从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 22 4 4 28 273 C 解法二 设对每位申请人的观察为一次试验 这是 4 次独立重复试验 记 申请 A 片区房源 为事件 A 则 1 3 P A 从而 由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知 恰有 2 人申请 A 片区房源 的概率为 222 44 128 2 3327 PC II 的所有可能值为 1 2 3 又 4 2132224 324423 44 31 1 273 22 1414 2 2 272733 P CC CC CC PP 或 12123 34243 44 44 3 3 9933 C C CC A PP 或 综上知 有分布列 1 2 3 P 1 27 14 27 4 9 从而有 114465 123 2727927 E 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 6 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封 中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 答案 B 命题意图 本试题主要考察排列组合知识 考察考生分析问题的能力 解析 标号 1 2 的卡片放入同一封信有种方法 其他四封信放入两个信封 每个信封 两个有种方法 共有种 故选 B 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封 中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 答案答案 B B 解析 B 本题考查了排列组合的知识 先从 3 个信封中选一个放 1 2 有 3 种不同的选法 再从剩下的 4 个数中选两个放一个信 封有 2 4 6C 余下放入最后一个信封 共有 2 4 318C 3 3 20102010 重庆文 重庆文 10 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日 端午节假期 值班 每天安排 2 人 每人值班 1 天 若 6 位员工中的甲不值 14 日 乙不值 16 日 则不 同的安排方法共有 A 30 种 B 36 种 C 42 种 D 48 种 解析 法一 所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日 再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法 即 221211 645443 2C CC CC C 42 法二 分两类 甲 乙同组 则只能排在 15 日 有 2 4 C 6 种排法 甲 乙不同组 有 112 432 1 C CA 36 种排法 故共有 42 种方法 4 4 20102010 重庆理 重庆理 9 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班 每天 1 人 每人值班 1 天 若 7 位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在 10 月 1 日 丁不排在 10 月 7 日 则不同的安排方案共有 A 504 种 B 960 种 C 1008 种 D 1108 种 解析 分两类 甲乙排 1 2 号或 6 7 号 共有 4 4 1 4 2 2 2AAA 种方法 甲乙排中间 丙排 7 号或不排 7 号 共有 4 3 3 1 3 1 3 4 4 2 2 AAAAA 种方法 故共有 1008 种不同的排法 5 5 20102010 北京理 北京理 4 8 名学生和 2 位第师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数为 A 82 89 A A B 82 89 A C C 82 87 A A D 82 87 A C 答案 A 6 6 20102010 四川理 四川理 10 由 1 2 3 4 5 6 组成没有重复数字且 1 3 都不与 5 相邻的 六位偶数的个数是 A 72 B 96 C 108 D 144 答案 C 解析 先选一个偶数字排个位 有 3 种选法 若 5 在十位或十万位 则 1 3 有三个位置可排 3 22 32 A A 24 个 若 5 排在百位 千位或万位 则 1 3 只有两个位置可排 共 3 22 22 A A 12 个 算上个位偶数字的排法 共计 3 24 12 108 个 7 7 20102010 天津理 天津理 10 如图 用四种不同颜色给图中的 A B C D E F 六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法用 A 288 种 B 264 种 C 240 种 D 168 种 答案 D 解析 本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想 属 于难题 1 B D E F 用四种颜色 则有 4 4 1 124A 种涂色方法 2 B D E F 用三种颜色 则有 33 44 2 22 1 2192AA 种涂色方法 3 B D E F 用两种颜色 则有 2 4 2 248A 种涂色方法 所以共有 24 192 48 264 种不同的涂色方法 温馨提示 近两年天津卷中的排列 组合问题均处理压轴题的位置 且均考查了分类讨 论思想及排列 组合的基本方法 要加强分类讨论思想的训练 8 8 20102010 天津理 天津理 4 阅读右边的程序框图 若输出 s 的值为 7 则判断框内可填写 A i 3 B i 4 C i 5 D i 6 答案 D 解析 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本 应用 属于容易题 第一次执行循环体时 S 1 i 3 第二次执行循环时 s 2 i 5 第三次执行循环体时 s 7 i 7 所以判断框 内可填写 i4 A 0 1588 B 0 1587 C 0 1586 D0 1585 7 B 1 34 24 2 PXPX 0 3413 4 0 5 24 P XPX 0 5 0 3413 0 1587 23 23 20102010 四川文 四川文 4 一个单位有职工 800 人 期中具有高级职称的 160 人 具有中级 职称的 320 人 具有初级职称的 200 人 其余人员 120 人 为了解职工收入情况 决定采用 分层抽样的方法 从中抽取容量为 40 的样本 则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A 12 24 15 9 B 9 12 12 7 C 8 15 12 5 D 8 16 10 6 解析 因为 401 80020 故各层中依次抽取的人数分别是 160 8 20 320 16 20 200 10 20 120 6 20 答案 D 24 24 20102010 山东理 山东理 8 某台小型晚会由 6 个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必 须排在第四位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺 序的编排方案共有 A 36 种 B 42 种 C 48 种 D 54 种 答案 B 25 25 20102010 山东理 山东理 26 26 20102010 山东理 山东理 27 2010 湖北理 6 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001 002 600 采用系 统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本 且随机抽得的号码为 003 这 600 名学生分住在三 个营区 从 001 到 300 在第 营区 从 301 到 495 住在第 营区 从 496 到 600 在第 营 区 三个营区被抽中的人数一次为 A 26 16 8 B 25 17 8 C 25 16 9 D 24 17 9 28 28 20102010 辽宁理 辽宁理 3 两个实习生每人加工一个零件 加工为一等品的概率分别为 2 3 和 3 4 两个零件是否加工为一等品相互独立 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A 1 2 B 5 12 C 1 4 D 1 6 答案 B 命题立意 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了有关概率的计算问题 解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A 则 P A P A1 P A2 211 3 35 43412 29 29 20102010 江西理 江西理 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币 国王 怀疑大臣作弊 他用两种方法来检测 方法一 在 10 箱子中各任意抽查一枚 方法二 在 5 箱中各任意抽查两枚 国王用方法一 二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1 p和 2 p 则 A 1 p 2 p B 1 p 2 p D 以上三种情况都有可能 答案 B 解析 考查不放回的抽球 重点考查二项分布的概率 本题是北师大版新课标的课堂作 业 作为旧大纲的最后一年高考 本题给出一个强烈的导向信号 方法一 每箱的选中的 概率为 1 10 总概率为 0010 10 1 0 1 0 9 C 同理 方法二 每箱的选中的概率为 1 5 总事 件的概率为 005 5 14 1 55 C 作差得 1 pa 的概率是 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 答案 D 32 32 20102010 广东理 广东理 8 为了迎接 2010 年广州亚运会 某大楼安装 5 个彩灯 它们闪亮的顺 序不固定 每个彩灯彩灯闪亮只能是红 橙 黄 绿 蓝中的一种颜色 且这 5 个彩灯所 闪亮的颜色各不相同 记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中 每秒钟 有且仅有一个彩灯闪亮 而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒 如果要实现所有不同的闪 烁 那么需要的时间至少是 A 1205 秒 B 1200 秒 C 1195 秒 D 1190 秒 答案 C 每次闪烁时间 5 秒 共 5 120 600s 每两次闪烁之间的间隔为 5s 共 5 120 1 595s 总共就有 600 595 1195s 33 33 201020