2011年高考数学一轮复习必备 等差数列、等比数列的性质及应用

第第 2323 课时 第三章课时 第三章 数列数列 等差数列 等比数列的性质及应用等差数列 等比数列的性质及应用 一 课题 等差数列 等比数列的性质及应用 二 教学目标 熟练掌握等差 比 数列的基本公式和一些重要性质 并能灵活运用性质解决有关的问 题 培养对知识的转化和应用能力 三 教学重点 等差 比 数列的性质的应用 四 教学过程 一 主要知识 有关等差 等比数列的结论 1 等差数列 n a的任意连续m项的和构成的数列 232 mmmmm SSSSS 仍为等差数列 2 等差数列 n a中 若mnpq 则 qpnm aaaa 3 等比数列 n a中 若mnpq 则 mnpq aaaa 4 等比数列 an 的任意连续m项的和构成的数列 232 mmmmm SSSSS 仍为等比数列 5 两个等差数列 n a与 n b的和差的数列 nn ab 仍为等差数列 6 两个等比数列 n a与 n b的积 商 倒数的数列 nn ab n n b a n b 1 仍为等比数列 二 主要方法 1 解决等差数列和等比数列的问题时 通常考虑两类方法 基本量法 即运用条件转化为关于 1 a和 d q的方程 巧妙运用等差数列和等比数列的性质 一般地运用性质可以化繁为简 减少运算量 2 深刻领会两类数列的性质 弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键 三 例题分析 例 1 1 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后三项的和为 146 且所有项的和为390 则这个数列有 13 项 2 已知数列 n a是等比数列 且 0 n a nN 354657 281a aa aa a 则 46 aa 9 3 等差数列前m项和是30 前2m项和是100 则它的前3m项和是 210 例 2 若数列 n a成等差数列 且 mn Sn Sm mn 求 n m S 解 法一 基本量法 略 法二 设 2 n SAnBn 则 2 2 1 2 AnBnm AmBmn 1 2 得 22 nmAnm Bmn mn 1mn AB 2 n m SnmAnm Bnm 例 3 等差数列 n a中共有奇数项 且此数列中的奇数项之和为77 偶数项之和为66 1 1a 求其项 数和中间项 解 设数列的项数为21n 项 则 121 1 77 2 n naa S 奇 22 66 2 n n aa S 偶 177 66 Sn Sn 奇 偶 6n 数列的项数为13 中间项为第7项 且 7 11a 说明 1 在项数为21n 项的等差数列 n a中 2 1 1 2 1 n SnaSnaSna 奇中偶中中 2 在项数为2n项的等差数列 n a中 2 11 nnnnn Sna SnaSn aa 1奇偶 例 4 数列 n a是首项为1000 公比为 1 10 的等比数列 数列 b n 满足 12 1 lglglg kk baaa k kN 1 求数列 b n 的前n项和的最大值 2 求数列 b n 的前n项和 n S 解 1 由题意 4 10 n n a lg4 n an 数列 lg n a是首项为 3 公差为1 的等差数列 12 1 lglglg3 2 k k k aaak 1 1 7 3 22 n n nn bn n 由 1 0 0 n n b b 得67n 数列 b n 的前n项和的最大值为 67 21 2 SS 2 由 1 当7n 时 0 n b 当7n 时 0 n b 当7n 时 2 12 7 3 113 2 244 nn n Sbbbnnn 当7n 时 12789nn Sbbbbbb 2 712 113 2 21 44 n Sbbbnn 2 2 113 7 44 113 21 7 44 n nnn S nnn 例 5 若 n S和 n T分别表示数列 n a和 b n 的前n项和 对任意自然数n 有 23 2 n n a 41213 nn TSn 1 求数列 b n 的通项公式 2 设集合 2 n Ax xa nN 4 n By yb nN 若等差数列 n c任一项 1 n cAB c 是AB 中的最大数 且 10 265125c 求 n c的通项公式 解 1 当 2 nnN 时 11 41213 41213 1 nn nn TSn TSn 两式相减得 41213 nn ba 13 3 4 nn ba 5 3 4 n 又 1 17 4 b 也适合上式 数列 b n 的通项公式为 n b 5 3 4 n 2 对任意 nN 223 41252 61 3 nn anbnn BA ABB 1 c是AB 中的最大数 1 c17 设等差数列 n c的公差为d 则 10 179cd 265179125d 即 5 2712 9 d 又4 n b是一个以12 为公差的等差数列 12 dk kN 24d 724 n cn 四 巩固练习 1 若数列 n a Nn 是等差数列 则有数列 12n n aaa b n Nn 也为等差数列 类 比上述性质 相应地 若数列 n c 是等比数列 且 n c 0 Nn 则有 n d 12 n n C CC Nn 也是