广东省2013年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 文

1 专题三专题三 三角函数及解三角形第三角函数及解三角形第 2 2 讲讲 三角恒等变换及解三角形三角恒等变换及解三角形 真题试做真题试做 1 2012 广东高考 文 6 在 ABC中 若 A 60 B 45 BC 3 则AC 2 A 4 B 2 C D 3 3 3 3 2 2 2012 上海高考 文 17 在 ABC中 若 sin2A sin2B sin2C 则 ABC的形状是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 3 2012 江西高考 文 4 若 则 tan 2 sin cos sin cos 1 2 A B C D 3 4 3 4 4 3 4 3 4 2012 广东高考 文 16 已知函数f x Acos x R R 且f x 4 6 3 2 1 求A的值 2 设 f f 求 cos 的值 0 2 4 4 3 30 17 4 2 3 8 5 考向分析考向分析 本部分主要考查三角函数的基本公式 三角恒等变形及解三角形等基本知识 近几年高 考题目中每年有 1 2 个小题 一个大题 解答题以中低档题为主 很多情况下与平面向量 综合考查 有时也与不等式 函数最值结合在一起 但难度不大 而三角函数与解三角形相 结合 更是考向的主要趋势 三角恒等变换是高考的热点内容 主要考查利用各种三角函数 进行求值与化简 其中降幂公式 辅助角公式是考查的重点 切化弦 角的变换是常考的三 角变换思想 正弦定理 余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容 主要考查 边和 角的计算 三角形形状的判断 面积的计算 有关的范围问题 由于此内容应用性较 强 与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点 不可小视 热点例析热点例析 热点一 三角恒等变换及求值 例 1 2012 广东惠州一模 文 16 已知函数f x 2cos2 sin x x 23 1 求函数f x 的最小正周期和值域 2 若 为第二象限角 且f 求的值 3 1 3 cos 2 1 cos 2 sin 2 规律方法规律方法 明确 待求和已知三角函数间的差异 是解决三角函数化简 求值 证明问 题的关键 三角恒等变换的常用策略有 1 常值代换 特别是 1 的代换 1 sin2 cos2 tan 45 等 2 项的分拆与角的配凑 二倍角只是个相对概念 如是的二倍角 是的二倍角等 3 6 2 等 2 2 2 熟悉公式的特点 正用或逆用都要灵活 特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos sin cos 2 cos 2 等 sin 2 2sin 3 降幂与升幂 正用二倍角公式升幂 逆用二倍角公式降幂 4 角的合成及三角函数名的统一 asin bcos sin a2 b2 tan b a 变式训练变式训练 1 1 2012 广东肇庆期末 文 16 设函数f x 2sin 0 x R R x 3 且以 为最小正周期 1 求f的值 2 2 已知f 求 sin的值 2 12 10 13 2 0 4 热点二 三角函数 三角形与向量等知识的交会 例 2 2012 广东深圳二模 文 16 在 ABC中 角A为锐角 记角A B C所对的 边分别为a b c 设向量m m cos A sin A n n cos A sin A 且m m与n n的夹角为 3 1 求m m n n的值及角A的大小 2 若a c 求 ABC的面积S 73 规律方法规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是 众望所归 正余弦定理的应用 难度适中 运算量适度 方向明确 化角或化边 1 利用正弦定理 将角化为边时 实际 上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值 2 求角的大小一定要有两个条件 是角的范围 是角的某一三角函数值 用三角函数值判断角的大小时 一定要注意角的范 围及三角函数的单调性的应用 3 三角形的内角和为 这是三角形中三角函数问题的特 殊性 在三角形中 任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和与第三个角的半角总互 余 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任意两角的和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方 变式训练变式训练 2 2 2012 广东肇庆一模 文 18 已知 ABC的面积为 2 内角A B C的 2 对边分别为a b c 已知a 3 b 4 0 C 90 1 求 sin A B 的值 2 求 cos的值 2C 4 3 求向量 的数量积 CB AC CB AC 热点三 正 余弦定理的实际应用 例 3 某城市有一条公路 自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB 现要 修建一条铁路L L在OA上设一站A 在OB上设一站B 铁路在AB部分为直线段 现要求 市中心O与AB的距离为 10 km 问把A B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A B之 间的距离最短 并求最短距离 结果保留根号 规律方法规律方法 1 三角形应用题主要是解决三类问题 测高度 测距离和测角度 2 在解三角形时 要根据具体的已知条件合理选择解法 同时 不可将正弦定理与余 弦定理割裂开来 有时需综合运用 3 在解决与三角形有关的实际问题时 首先要明确题意 正确画出平面图形或空间图 形 然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决 要明确先用哪个公式或定理 先 求哪些量 确定解三角形的方法 在演算过程中 要算法简练 算式工整 计算正确 还要 注意近似计算的要求 3 4 在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角 如仰角 俯角 方位角 以防出错 5 有些时候也必须注意到三角形的特殊性 如直角三角形 等腰三角形 锐角三角形 等 变式训练变式训练 3 3 如图 一船在海上自西向东航行 在A处测得某岛M的方位角为北偏东 前进m km 后在B处测得该岛的方位角为北偏东 已知该岛周围n km 范围内 包括边 界 有暗礁 现该船继续东行 当 与 满足条件 时 该船没有触礁危险 思想渗透思想渗透 化归转化思想 解答三角恒等变换问题 求解恒等变换问题的思路 一角二名三结构 即用化归转化的思想 去异求同 的过程 具体分析如下 1 变角 首先观察角与角之间的关系 注意角的一些常用变换形式 角的变换是三角 函数变换的核心 2 变名 其次看函数名称之间的关系 通常 切化弦 诱导公式的运用 3 结构 再次观察代数式的结构特点 降幂与升幂 巧用 1 的代换等 典型例题 2012 福建高考 文 20 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子 的值都等于同一个常数 sin213 cos217 sin 13 cos 17 sin215 cos215 sin 15 cos 15 sin218 cos212 sin 18 cos 12 sin2 18 cos248 sin 18 cos 48 sin2 25 cos255 sin 25 cos 55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 解法一 1 选择 式 计算如下 sin215 cos215 sin 15 cos 15 1 sin 30 1 1 2 1 4 3 4 2 三角恒等式为 sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 证明如下 sin2 cos2 30 sin cos 30 sin2 cos 30 cos sin 30 sin 2 sin cos 30 cos sin 30 sin sin2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 3 4 3 2 1 4 3 2 1 2 3 4 cos2 3 4 3 4 解法二 1 同解法一 2 三角恒等式为 sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 证明如下 sin2 cos2 30 sin cos 30 sin cos 30 cos sin 30 sin 1 cos 2 2 1 cos 60 2 2 4 cos 2 cos 60 cos 2 sin 60 sin 2 sin cos 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 sin2 1 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 cos 2 1 2 1 2 1 2 1 4 3 4 3 4 1 4 1 cos 2 cos 2 1 4 1 4 1 4 3 4 1 2012 广东深圳一模 文 5 已知过点 0 1 的直线l xtan y 3tan 0 的 斜率为 2 则 tan A B C D 1 7 3 7 3 5 7 2 在 ABC中 如果 0 tan Atan B 1 那么 ABC是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 3 2012 山东烟台适用性测试一 5 已知倾斜角为 的直线l与直线x 2y 2 0 平行 则 tan 2 的值为 A B C D 4 5 4 3 3 4 2 3 4 2012 江西南昌二模 5 已知 cos 则 cos x cos的值是 x 6 3 3 x 3 A B C 1 D 1 2 3 3 2 3 3 5 在 ABC中 已知bcos C ccos B 3acos B 其中a b c分别为角A B C的对 边 则 cos B的值为 A B C D 1 3 1 3 2 2 3 2 2 3 6 已知 sin x 则 sin 2 5 1 2 x 4 7 2012 湖南长沙模拟 18 已知函数f x 3sin2x 2sin xcos x 5cos2x 3 1 若f 5 求 tan 的值 2 设 ABC三内角A B C所对的边分别为a b c 且 求f x 在 cos B cos C b 2a c 0 B 上的值域 8 2012 广东广州二模 16 已知函数f x Asin A 0 0 在某一个周 x 3 期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为 5 12 2 11 12 2 1 求A和 的值 2 已知 且 sin 求f 的值 0 2 4 5 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 B 解析 解析 由正弦定理得 即 解得AC 2 BC sin A AC sin B 3 2 sin 60 AC sin 45 3 2 A 解析 解析 由 sin2A sin2B sin2C 得a2 b2 c2 5 所以 cos C 0 所以 C为钝角 a2 b2 c2 2ab 即 ABC为钝角三角形 3 B 解析 解析 因为 sin cos sin cos 1 2 所以 解方程得 tan 3 tan 1 tan 1 1 2 于是根据倍角公式可得 tan 2 故选 B 2tan 1 tan2 3 4 4 解 解 1 f Acos Acos A 解得A 2 3 12 6 4 2 22 2 f 2cos 2cos 4 4 3 3 6 2 2sin 即 sin 30 17 15 17 f 2cos 2cos 即 cos 4 2 3 6 6 8 5 4 5 因为 0 2 所以 cos sin 1 sin2 8 171 cos2 3 5 所以 cos cos cos sin sin 8 17 4 5 15 17 3 5 13 85 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 解 解 1 f x 1 cos x sin x 3 1 2cos x 3 函数f x 的最小正周期为 2 又 1 cos 1 x 3 函数f x 的值域为 1 3 2 f 3 1 3 1 2cos 即 cos 1 3 1 3 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos2 sin2 2cos2 2sin cos cos sin cos sin 2cos cos sin cos sin 2cos 又 为第二象限角 且 cos 1 3 sin 2 2 3 原式 cos sin 2cos 1 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 6 变式训练 1 解 解 1 T 2 2 f x 2sin 2x 3 f 2sin 2sin 2 2 2 3 3 2sin 33 2 f 2sin 2 12 2 2 12 3 2sin 2cos 2 10 13 cos 5 13 2 0 sin 1 cos2 1 5 13 2 12 13 sin sin cos cos sin 4 4 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 例 2 解解 1 m m 1 cos2A sin2A n n 1 cos2A sin A 2 m m n n m m n n cos 3 1 2 m m n n cos2A sin2A cos 2A cos 2A 1 2 0 A 0 2A 2 2A A 3 6 2 法一 a c A 及a2 b2 c2 2bccos A 73 6 7 b2 3 3b 即b 1 舍去 或b 4 故S bcsin A 1 23 法二 a c A 及 73 6 a sin A c sin C sin C csin A a 3 2 7 a c 0 C cos C 21 sin2A 5 2 7 sin B sin A C sin cos C sin C 6 C 1 2 3 2 2 7 b 4 asin B sin A 7 故S bcsin A 1 23 变式训练 2 解 解 1 由absin C 2 1 2 即 3 4sin C 2 得 sin C 1 22 2 3 A B 180 C sin A B sin 180 C sin C 2 3 2 由 1 得 sin C 2 3 0 C 90 cos C 1 sin2A 1 2 3 2 7 3 cos 2C 2cos2C 1 2 2 1 7 3 5 9 sin 2C 2sin Ccos C 2 2 3 7 3 2 14 9 cos cos 2Ccos sin 2Csin 2C 4 4 4 5 9 2 2 2 14 9 2 2 5 2 4 7 18 3 a 3 b 4 CB AC 设向量与所成的角为 CB CA 则 180 C cos abcos 180 C abcos C 3 4 4CB AC CB AC 7 3 7 例 3 解 解 在 AOB中 设OA a OB b 因为OA为正西方向 OB为东北方向 所以 AOB 135 又O到AB的距离为 10 所以S ABO absin 135 AB 10 得 AB ab 1 2 1 2 2 20 设 OAB 则 OBA 45 因为a b 10 sin 10 sin 45 所以ab 10 sin 10 sin 45 100 sin sin 45 100 sin 2 2 cos 2 2 sin 100 2 4 sin 2 2 4 1 cos 2 400 2sin 2 45 2 400 2 2 当且仅当 22 30 时 成立 所以 AB 20 1 2 20 400 2 22 当且仅当 22 30 时 成立 8 所以 当a b 10时 10 sin 22 30 2 2 r 2 A B之间的距离最短 且最短距离为 20 1 km 2 即当A B分别在OA OB上离市中心O 10 km 处时 能使A B之间的距 2 2 r 2 离最短 最短距离为 20 1 km 2 变式训练 3 mcos cos nsin 解析 解析 MAB 90 MBC 90 MAB AMB 90 AMB 所以 AMB 由题可知 在 ABM中 根据正弦定理得 解得BM BM sin 90 m sin 要使船没有触礁危险 需要BMsin 90 n 所以 与 mcos sin mcos cos sin 满足mcos cos nsin 时 该船没有触礁危险 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 D 解析 解析 由题意 得斜率k tan 2 0 1 在直线l上 1 3tan 0 即得 tan 1 3 tan 1 tan tan 1 tan tan 2 1 3 1 2 3 2 C 解析 解析 由题意 0 A 0 B tan Atan B 0 则A B两角为锐角 又 tan A B 0 则A B为锐角 则角C为钝角 故选 C tan A tan B 1 tan Atan B 3 B 解析 解析 已知倾斜角为 的直线l与直线x 2y 2 0 平行 则 tan tan 2 1 2 2tan 1 tan2 1 3 4 4 3 4 C 解析 解析 cos x cos cos x cos xcos sin xsin x 3 3 3