广东省2013年高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第2讲 平面向量、复数、框图及合情推理 理

1 专题一专题一 常以客观题形式考查的几个问题第常以客观题形式考查的几个问题第 2 2 讲讲 平面向量 复数 平面向量 复数 框图及合情推理框图及合情推理 真题试做真题试做 1 2012 广东高考 理 1 设 i 为虚数单位 则复数 5 6i i A 6 5i B 6 5i C 6 5i D 6 5i 2 2012 广东高考 理 3 若向量 2 3 4 7 则 BA CA BC A 2 4 B 2 4 C 6 10 D 6 10 3 2012 天津高考 理 7 已知 ABC为等边三角形 AB 2 设点P Q满足 1 R R 若 则 AP AB AQ AC BQ CP 3 2 A B 1 2 1 2 2 C D 1 10 2 3 2 2 2 4 2012 广东高考 理 13 执行如图所示的程序框图 若输入n的值为 8 则输出s 的值为 5 2012 陕西高考 理 11 观察下列不等式 1 1 1 1 22 3 2 1 22 1 32 5 3 1 22 1 32 1 42 7 4 照此规律 第五个不等式为 考向分析考向分析 本部分内容在高考中通常以选择题 填空题的形式出现 属容易题或中档题 对平面向 量的考查重点是应用或与其他知识的简单综合 出题频率较高 对复数的考查主要是复数概 念 复数四则运算和复数的几何意义 对框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查 学生对算法的理解 对合情推理的考查主要以归纳推理为主 考查学生的观察 归纳和类比 能力 热点例析热点例析 热点一 平面向量的运算及应用 例 1 1 平面向量a a与b b的夹角为 60 a a 0 1 b b 2 则 2a a b b 的值为 2 已知向量a a 1 b b 0 1 c c k 若a a 2b b与c c共线 则 33 2 k 规律方法规律方法 1 平面向量主要考查 1 平行 垂直的充要条件 2 数量积及向量夹角 3 向量的模 2 解决此类问题的办法主要有 1 利用平面向量基本定理及定义 2 建立坐标系通过坐标运算 变式训练变式训练 1 1 已知在直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P是腰DC 上的动点 则 3 的最小值为 PA PB 热点二 复数的概念与运算 例 2 1 设 i 是虚数单位 复数为纯虚数 则实数a为 1 ai 2 i A 2 B 2 C D 1 2 1 2 2 复数z i 为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 2 i 2 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 规律方法规律方法 1 处理有关复数的问题 首先要整理出实部 虚部 即写出复数的代数形式 然后根据定义解题 2 掌握复数的四则运算规律及 in n N N 的结果 变式训练变式训练 2 2 已知 b i a b R R 其中 i 为虚数单位 则a b a 2i i A 1 B 1 C 2 D 3 热点三 算法与程序框图 例 3 2012 北京石景山一模 执行下面的程序框图 若输入的N是 6 则输出p的 值是 A 120 B 720 C 1 440 D 5 040 规律方法规律方法 对本部分内容 首先搞清框图的运算功能 然后根据已知条件依次执行 找 出变化规律 最终得出结果或将框图补充完整 变式训练变式训练 3 3 如图给出的是计算 的值的一个程序框图 则空白框内应填 1 2 1 4 1 6 1 20 入的条件是 3 A i 10 B i 10 C i 20 D i 20 热点四 合情推理的应用 例 4 设函数f x x 0 观察 x x 2 f1 x f x x x 2 f2 x f f1 x x 3x 4 f3 x f f2 x x 7x 8 f4 x f f3 x x 15x 16 根据以上事实 由归纳推理可得 当n N N 且n 2 时 fn x f fn 1 x 规律方法规律方法 运用归纳推理得出一般结论时 要注意从等式 不等式的项数 次数 系数 等多个方面进行综合分析 归纳发现其一般结论 若已给出的式子较少 规律不明显时 可 多写出几个式子 发现其中的一般结论 变式训练变式训练 4 4 在平面直角坐标系xOy中 二元一次方程Ax By 0 A B不同时为 0 表示 过原点的直线 类比以上结论有 在空间直角坐标系Oxyz中 三元一次方程 Ax By Cz 0 A B C不同时为 0 表示 思想渗透思想渗透 转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化 进而得到解决的一种方法 一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问 题 本专题用到的转化与化归方法有 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 3 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 易于确定 典型例题 如图 在 ABC中 点O是BC的中点 过点O的直线分别交直线AB AC 于不同的两点M N 若 m n m n 0 则 的最小值为 AB AM AC AN 1 m 4 n 4 A 2 B 4 C D 9 9 2 解析 连接AO 则 MO AO AM AB AC 2 1 mAB 1 2 1 m AB 1 2AC 同理 因为M O N三点共线 NO 1 2 1 n AC 1 2AB 所以 1 2 1 m AB 1 2AC 1 2 1 n AC 1 2AB 即 0 1 2 1 m 2 AB 1 2 2 n AC 由于 不共线 根据平面向量基本定理得 0 且 0 消掉 即 AB AC 1 2 1 m 2 1 2 2 n 得m n 2 故 m n 5 4 当且仅当n 2m时取等号 故选 1 m 4 n 1 2 1 m 4 n 1 2 5 n m 4m n 1 2 9 2 C 答案 C 1 2012 广东惠州一模 理 2 设a b为实数 若复数 1 i 则 1 2i a bi A a 1 b 3 B a 3 b 1 C a b D a b 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2012 广东中山市期末 理 8 如图 将 45 的直角三角板ADC和 30 的直角三角 板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD 其中 45 的直角三角板的斜边AC与 30 的直角三角 板的 30 所对的直角边重合 若 x y 则x y分别等于 DB DA DC A 1B 1 333 C 2 D 1 333 3 2012 广州一模 理 13 两千多年前 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩 上研究数学问题 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数 按照点或小石子能排列的形状对 数进行分类 如图中的实心点个数 1 5 12 22 被称为五角形数 其中第 1 个五角形数 记作a1 1 第 2 个五角形数记作a2 5 第 3 个五角形数记作a3 12 第 4 个五角形数记作 a4 22 若按此规律继续下去 则a5 若an 145 则n 4 2012 广东肇庆二模 理 10 在数列 an 中 a1 1 an 1 an n 要计算此数列前 30 项的和 现已给出了该问题算法的程序框图 如图所示 请在图中判断框内 1 处和执行 框中的 2 处填上合适的语句 使之能完成该题算法功能 1 2 5 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 D 解析 解析 6 5i 5 6i i 5 6i i i i 5i 6i2 i2 6 5i 1 2 A 解析 解析 2 3 4 7 BA CA BC BA AC BA CA 2 3 4 7 2 4 3 7 2 4 3 A 解析 解析 设 a b AB AC 则 a b 2 且 a b 3 1 b a a b BQ AQAB CPAPAC 1 b a a b BQ CP 1 1 a b a2 1 b2 2 1 2 4 4 1 2 2 2 2 3 2 即 2 1 2 0 1 2 4 8 解析 解析 i 2 k 1 2 8 s 1 2 2 1 1 i 4 k 2 4 8 s 2 4 4 1 2 i 6 k 3 6 8 s 4 6 8 1 3 i 8 k 4 8 8 输出s 8 5 1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 6 解析 解析 由前几个不等式可知 1 1 22 1 32 1 42 1 n2 2n 1 n 所以第五个不等式为 1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 1 2 解析 解析 2a a b b 2 4a a2 4a a b b b b2 4 4 1 2cos 60 4 12 3 2a a b b 2 3 2 1 解析 解析 由于a a 1 b b 0 1 3 所以a a 2b b 3 而c c k 且 a a 2b b c c 33 所以有 3 k 解得k 1 33 变式训练 1 5 解析 解析 如图 设PC x PD y 由于 ADC BCD 90 从而PA PB y2 4x2 1 又 PA PDDA PB PCCB PA PB PDDA PCCB xy 2 PD PCPD CBDA PCDA CB 因此 PA 3PB 2 3 PAPB 22 69PAPA PBPB y2 4 6 xy 2 9 x2 1 9x2 y2 6xy 25 5 3x y 2 25 当且仅当 3x y时取最小值 5 例 2 1 A 解析 解析 1 ai 2 i 1 ai 2 i 2 i 2 i 2 a 2a 1 i 5 i 为纯虚数 0 2 a 5 2a 1 5 2 a 5 a 2 2 D 解析 解析 z i 2 i 2 i 2 i 2 2 i 2 i 3 4i 5 3 5 4 5 复数z在复平面内对应的点在第四象限 变式训练 2 B 解析 解析 b i a 2i i a 2i 1 bi a 1 b 2 a b 1 例 3 B 解析 解析 当k 1 p 1 时 p p k 1 1 6 满足 当k 2 p 1 时 p p k 2 2 6 满足 当k 3 p 2 时 p p k 6 3 6 满足 当k 4 p 6 时 p p k 24 4 6 满足 当k 5 p 24 时 p p k 120 5 6 满足 当k 6 p 120 时 p p k 720 6 6 不满足 输出p为 720 7 变式训练 3 A 解析 解析 由表达式 的最后一项的分母为 20 可知 流 1 2 1 4 1 6 1 20 程图中循环体退出循环时的n的值应当为 22 i的值为 11 其循环体共循环了 10 次 即判 断框内可填的条件可以为n 20 或i 10 故应选 A 例 4 解析 解析 由于f1 x f2 x f3 x f4 x x 2n 1 x 2n x x 2 x 3x 4 x 7x 8 还可求得f5 x 由以上结果可以发现 当n N N 且n 2 时 fn x 的 x 15x 16 x 31x 32 表达式都是分式的形式 分子上都是x 分母上都是x的一次式 其中常数项依次为 2 4 8 16 32 可知其规律是 2n的形式 而x的一次项的系数比常数项都小 1 因此可 得fn x n N N 且n 2 x 2n 1 x 2n 变式训练 4 过原点的平面 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 D 解析 解析 a bi i 1 2i 1 i 3 2 1 2 因此a b 3 2 1 2 故选 D 2 B 解析 解析 将图形补全成一个矩形DEBF 如图 设AD DC a 则易得AC a BC a 26 由题可得 FCB 45 所以DE FB a DF 1 a 33 所以x y 1 33 3 35 10 解析 解析 由a1 1 a2 5 a3 12 a4 22 得an 1 an 3