广东省佛山市南海区高三数学高考题例研究 理 新人教版

南海区南海区 20102010 年高考题例研究年高考题例研究 理科数学理科数学 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知复数 1 zii i为虚数单位 则复数z在复平面上所对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限C 第三象限 D 第四象限 2 11 32 x 是 不等式11x 成立 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 tan600o的值为的值为 A 3 B 3 C 3 3 D 3 3 4 下列四个几何体中 各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 A B C D 5 若四边形ABCD满足0ABCD 且 ABADABAD 则该四边形为 A 直角梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 6 设集合 sin 3 n Mx xnZ 则满足条件 33 22 PM 的集合P的个数是 A 1 B 3C 4 D 8 7 如图 PAB 所在的平面 和四边形ABCD所在的平面 互相垂直 且 ADBC 4AD 8BC 32 AB 若 tan2tan10ADPBCP 则点P在平面 内的轨迹是 A 圆的一部分B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分D 抛物线的一部分 8 2010 年广州亚运会火炬传递在 A B C D E五个城市之间进行 各城市之间的距离 单位 百公里 见右表 若规定A为起点 P A B C D 第 7 题图 E为终点 中间三站顺序可调整 每个城市经过且只经 过一次 那么火炬传递的最短路线距离是 A 20 6 B 21 C 22 D 23 二 填空题 本大题共 7 小题 第 14 15 小题任选一题 作答 多选的按第 14 小题给分 每小题 5 分 共 30 分 9 等差数列 n a中 若 12011 a a为方程 2 10160 xx 的两根 则 210062010 aaa 10 23 2 x x 的展开式中的常数项为 11 某程序框图如图所示 该程序运行后输出 M N的值分别为 12 如图所示 在一个边长为 1 的正方形AOBC内 曲线 2 yx 和 曲线yx 围成一个叶形图 阴影部分 向正方形AOBC内随机 投一点 该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的 则所投 的点落在叶形图内部的概率是 第 12 题图 第 11 题图 第 8 题图 13 如图 对于大于 1 的自然数m的 n次幂可用奇数进行如图所示的 分裂 仿此 记 3 5的 分裂 中的最小数为a 而 2 5的 分裂 中最大的数是b 则 ab 14 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 C 的极坐标方程是6sin 以极点为坐标原点 极轴为x的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 21 2 2 xt t yt 为参数 则直线l与曲线 C 相交所得的弦的弦长为 15 几何证明选讲选做题 如图 圆O上一点C在直径AB上的射影为D 4CD 8BD 则圆O的半径等于 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 12 分 分 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 满足 5 sin 25 A 且ABC 的面积为2 求bc的值 若6bc 求a的值 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 甲 乙两位学生参加数学竞赛培训 现分别从他们在培训期间参加 的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次 具体成绩如图所示 且甲学生的平均分为 85 分 观察茎叶图 求图中的x 若要从中选派一人参加数学竞赛 你认为选派哪位学生参加合适 请说明理由 若将频率视为概率 对甲同学在今后的 3 次数学竞赛成绩进行预测 记这 3 次成绩中 高于 80 分的次数为 求 的分布列及数学期望E 甲乙 98 8421 53 5 0035 025 7 8 9 x 19 17 15 13 43 11 9 7 33 5 3 23 7 5 3 1 42 5 3 1 32 3 1 22 第 13 题图 O AB D C 第 15 题图 18 本小题满分本小题满分 14 分 分 在如图所示的几何体中 ABC 为正三角形 AE和CD都垂直于 平面ABC 且2AEAB 1CD F为BE的中点 I 求证 DFABC平面 II 求证 平面DBE 平面ABE III 求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值 19 本小题满分本小题满分 14 分 分 已知椭圆 22 22 10 yx Cab ab 的 离心率为 6 3 过右顶点A的直线l与椭圆C相交于 A B两 点 且 1 3 B 求椭圆C和直线l的方程 记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域 含边界 为D 若曲 线 222 2440 xmxyym 与D有公共点 试求实数m的最小值 20 本小题满分本小题满分 14 分 分 已知函数 1 2f x x 数列 n a满足 1 nn af a 2 nnN 若 1 3 5 a 数列 n b满足 1 1 n n b a 求证 数列 n b是等差数列 若 1 3 5 a 数列 n a中是否存在最大项与最小项 若存在 求出最大项与最小项 若不存在 说明理由 若 1 12a 试证明 1 12 nn aa 21 本小题满分本小题满分 14 分 分 已知函数 2 1 2lnf xa xx I 当1 af x 时求的单调区间 II 若函数 1 0 2 f xa在上无零点求的最小值 III 若 0mn 求证 m nm nm 2 lnln 南海区南海区 20102010 年高考题例研究 理科数学 年高考题例研究 理科数学 答案与评分标准答案与评分标准 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知复数 1 zii i为虚数单位 则复数z在复平面上所对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限C 第三象限 D 第四象限 答案 B 解析 因为 1 1ziii 则对应的点 1 1 Z 位于第二象限 故选 B 2 11 32 x 是 不等式11x 成立 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 201111 1 xxx 故选 A 3 tan600o的值为的值为 A 3 B 3 C 3 3 D 3 3 答案 B 解析 3120tan120720tan600tan 4 下列四个几何体中 各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 A B C D 答案 C 解析 正方体的三个视图都是正方形 三棱台的三个视图都不同 5 若四边形ABCD满足0ABCD 且 ABADABAD 则该四边形为 A 直角梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 答案 B 解析 由0ABCD 可知四边形ABCD为平行四边形 由 ABADABAD 可知对角线BDAC 故该四边形ABCD为矩形 6 设集合 sin 3 n Mx xnZ 则满足条件 33 22 PM 的集合P的个数是 A 1 B 3C 4 D 8 解析 因为 33 sin 0 322 n Mx xnZ 由 33 22 PM 得 PM 且 0 P 这样的集合 P 共有 4 个 故选 C 7 如图 PAB 所在的平面 和四边形ABCD所在的平面 互相垂直 且 ADBC 4AD 8BC 32 AB 若 tan2tan10ADPBCP 则点P在平面 内的轨迹是 A 圆的一部分B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分D 抛物线的一部分 答案 B 解析 102tan2tan BC BP AD AP BCPADP ABBPAP 40 P点的轨迹是椭圆 第 8 题图 P A B C D 第 7 题图 8 2010 年广州亚运会火炬传递在 A B C D E五个城市之间进行 各城市之间的距离 单位 百公里 见右表 若规定A为起点 E为终点 中间三站顺序可调整 每个城市经过且只经过一次 那么火炬传递的最短路线距离是 A 20 6 B 21 C 22 D 23 答案 B 解析 最短线路EBDCA 故距离和为 21 二 填空题 本大题共 7 小题 第 14 15 小题任选一题作答 多选的按第 14 小题给分 共 30 分 9 等差数列 n a中 若 12011 a a为方程 2 10160 xx 的两根 则 210062010 aaa 答案 15 解析 解方程 2 10160 xx 可得 8 2 2011 1 a a 或 2 8 2011 1 a a 则10 20111 aa 210062010 aaa 15 2 20111 20111 aa aa 10 23 2 x x 的展开式中的常数项为 答案 12 解析 rrrrrr r xC x xCT 36 3 32 31 2 2 令036 r 则常数项为 12 2 2 3 2 C 11 某程序框图如图所示 该程序运行后输出 M N的值分别为 解析解析 13 21 依据程序框图画出运行n次后 MN i的值 n 123 i 234 M2513 第 11 题图 N 3821 4 次运行后43i 于是有13 21MN 12 如图所示 在一个边长为 1 的正方形AOBC内 曲线 2 yx 和 曲线yx 围成一个叶形图 阴影部分 向正方形AOBC内随机 投一点 该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的 则所投 的点落在叶形图内部的概率是 答案 1 3 解析 3 1 0 3 1 0 3 2 3 1 3 2 1 0 3 1 0 2 3 1 0 2 xxdxxxS阴影 13 如图 对于大于 1 的自然数m的 n次幂可用奇数进行如图所示的 分裂 仿此 记 3 5的 分裂 中的最小数为a 而 2 5的 分裂 中最大的数是b 则 ab 答案 30 解析 2 51 3579 3 52123252729 则21 9 30abab 14 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 C 的极坐标方程是6sin 以 极点为坐标原点 极轴为x的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参 数方程是 21 2 2 xt t yt 为参数 则直线l与曲线 C 相交所得的弦的弦长为 答案 4 19 17 15 13 43 11 9 7 33 5 3 23 7 5 3 1 42 5 3 1 32 3 1 22 第 13 题图 第 12 题图 解析 曲线 C 在直角坐标系下的方程为 yyx6 22 故圆心为 3 0 半径为 3 直 线l在直角坐标系下的方程为 012 yx 圆心距为5 2 1 1320 22 d 所以 42 22 drMN 15 几何证明选讲选做题 如图 圆O上一点C在直径AB上的射影为D 4CD 8BD 则圆O的半径等于 答案 5 解析 CDARt BDCRt 2 2 BD CD AD DC DA BD CD 所以半径为 5 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分本小题满分 12 分 分 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 满足 5 sin 25 A 且ABC 的面积为2 求bc的值 若6bc 求a的值 16 解 5 sin 25 A 0 A 2 5 cos 25 A 4 sin2sincos 225 AA A 1 sin2 2 ABC SbcA 5bc 6 分 5 sin 25 A 2 3 cos12sin 25 A A 5bc 6bc 222 2cosabcbcA 2 2 1cos bcbcA 20 2 5a 12 分 17 本小题满分本小题满分 12 分 分 甲 乙两位学生参加数学竞赛培训 现分别从他们在培训期间参加 的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次 具体成绩如图所示 且甲学生的平均分为 85 分 观察茎叶图 求图中的x O AB D C 第 15 题图 若要从中选派一人参加数学竞赛 你认为选派哪位学生参加合适 请说明理由 若将频率视为概率 对甲同学在今后的 3 次数学竞赛成绩进行预测 记这 3 次成绩中 高于 80 分的次数为 求 的分布列及数学期望E 17 解 93 95 81 82 80887879 85 8 x x 甲 解得4x 3 分 派甲参赛比较合适 理由如下 85x 甲 9092958080838575 85 8 x 乙 2 s35 5 甲 2 s41 乙 xx 乙甲 22 ss 乙甲 甲的成绩较稳定 派甲参赛比较合适 7 分 记 甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分 为事件A 则 63 84 P A 随机变量 的可能取值为 0 1 2 3 且 4 3 3 B k3 k k 3 31 PkC 44 k0 1 2 3 所以变量 的分布列为 0123 P 1 64 9 64 27 64 27 64 1927279 E0123 646464644 或 39 EnP3 44 12 分 18 本小题满分本小题满分 14 分 分 在如图所示的几何体中 ABC 为正三角形 AE和CD都垂直于 平面ABC 且2AEAB 1CD F为BE的中点 I 求证 DFABC平面 II 求证 平面DBE 平面ABE III 求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值 18 解 I 取 AB 中点 G 连线 FG CG 1 2 1 2 FBEGFAE GFAEAEABC CDABC CDAECDAEGFCD GFCD 为中点又平面平面 且 四边形 CDFG 为平行四边形 DF CG 又 DF 平面 ABC CG 平面 ABC 甲乙 98 8421 53 5 0035 025 7 8 9 x DF 平面 ABC 4 分 II 解 取 AB 中点 G 由证法 1 可知 四边形 CDFG 为平行四边形 CG DF 又 AE 平面 ABC AE 平面 ABE 平面 ABE 平面 ABC 交线为 AB 又 ABC 为正三角形 G 为 AB 中点 CG AB CG 平面 ABE 又 CG DF DF 平面 ABE 又 DF 平面 DBE 平面DBE 平面ABE 8 分 III 解法一 取 AC 中点 M 连结 BM DM ABC 为正三角形 M 为 AC 中点 BM AC 又 AE 平面 ABC AE 平面 ACDE 平面 ACDE 平面 ABC BM 平面 ACDE BDM 为所求的线面角 2 3 2 1 5 ABCABBM CDABC BCABCCDBC Rt BCDBCCDBD 为正三角形且 又平面平面 在中 310 sin cos 5 5 BDMBDM 直线 BD 和平面 ACDE 所成角的余弦值 10 5 14 分 解法二 由 I II 可知 CG AB CG GF GF AB 分别以 GB GC GF 为轴建立空中直角坐标系 则由已知 相关点的坐标为 1 0 0 1 0 0 0 0 3 0 1 3 1 0 3 0 1 0 1 1 3 30 0 0 0 3 3 0 3 ABCD ACCDBDAEDCnx y z xz AC nCD n y zn 设平面的法向量 由得 令可得平面AED 的一个法向量 则 6310 sin cos 5 5 2 35 BD n BDn 直线 BD 和平面 ACDE 所成角的余弦值 10 5 14 分 19 本小题满分本小题满分 14 分 分 已知椭圆 22 22 10 yx Cab ab 的离心率为 6 3 过右顶点 A的直线l与椭圆C相交于 A B两点 且 1 3 B 求椭圆C和直线l的方程 记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域 含边界 为D 若曲 线 222 2440 xmxyym 与D有公共点 试求实数m的最小值 19 解 由离心率 6 3 e 得 22 6 3 ab a 即 22 3ab 又点 13 B 在椭圆 22 22 1 yx C ab 上 即 22 22 3 1 1 ab 解 得 22 124ab 故所求椭圆方程为 22 1 124 yx 4 分 由 2 0 13 AB 得直线 l 的方程为2yx 6 分 2 曲线 222 2440 xmxyym 即圆 22 2 8xmy 其圆心坐标为 2 G m 半径2 2r 表示圆心在直 线2y 上 半径为2 2的动圆 由于要求实数 m 的最小值 由图可知 只须考虑0m 的情形 设GA与直线 l 相切于点 T 则由 22 2 2 2 m 得4m 10 分 当4m 时 过点 42 G 与直线 l 垂直的直线 l 的方程为60 xy 解方程组 60 20 xy xy 得 24 T 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1 2 所以切点TD 由图可知当GA过点 B 时 m 取得最小值 即 22 1 32 8m 解得 min 71m 14 分 20 本小题满分本小题满分 14 分 分 已知函数 1 2f x x 数列 n a满足 1 nn af a 2 nnN 若 1 3 5 a 数列 n b满足 1 1 n n b a 求证 数列 n b是等差数列 若 1 3 5 a 数列 n a中是否存在最大项与最小项 若存在 求出最大项与最小项 若不存在 说明理由 若 1 12a 试证明 1 12 nn aa 20 解 1 2f x x 则 1 1 2 n n a a n 2 n N 1 1 1 11 1 11 21 n n nn n a b aa a 1 1 1 1 n n b a 1 1 11 1 1 2 11 n nn nn a bbnnN aa 数列 n b是等差数列 4 分 由 知 数列 n b是等差数列 首项 1 1 15 12 b a 公差为 1 则其通项公式 57 1 1 22 n bnn 由 1 1 n n b a 得 11 11 7 2 n n a b n 故 2 1 27 n a n 考查函数 2 1 27 g x x 则 2 4 0 27 g x x 则函数 2 1 27 g x x 在区间 7 2 7 2 上为减函数 当 7 2 x 时 2 11 27 g x x 且在 7 2 上递减 故当3n 时 n a取最小值 3 1a 当 7 2 x 时 2 11 27 g x x 且在 7 2 上递减 故当4n 时 n a取最大值 4 3a 故存在 8 分 先用数学归纳法证明12 n a 再证明 1nn aa 当 n 1 时 1 12a 成立 假设 n k 时命题成立 即12 k a 则当