山东省德州市乐陵一中高中数学 课程整合《数列求和》（第1课时）学案 新人教A版必修5

1 第二章第二章 数列数列 课程整合课程整合 1 1 数列求和数列求和 共两课时 学习目标 1 掌握数列求和的方法 2 能根据和式的特征选用相应的方法求和 要点精讲 1 公式法 等差 等比数列求和公式 公式 2 1 n k k 12 1 6 1 321 2222 nnnn 等 3 1 n k k 2 333 1 2 1 21 nnn 2 错位相减法 若是等差数列 是等比数列 则求数列的前项和 n a n b nn a bn n S 常用错位相减法 3 裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只 剩有限项 4 分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 5 并项求和法 特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式 6 倒序相加法 类似于等差数列前项和公式的推导方法 n 范例分析 例 1 求和 22 1 1 1 1 n n Sqqqqqq 例 2 1 已知数列满足 求 n a 1 1 1 n a n nnn n S 2 已知数列的通项公式 求 n a 2 1 2 n a nn n S 3 已知数列的通项公式 求 n a 2 4 21 21 n n a nn n S 4 求和 111 1 12123123 n S n 2 例 3 1 求和 1 22 33 4 1 n Sn n 2 求和 n S1 3579 1 21 n n 3 已知函数对一切 xR 1 1f xfx 求和 1221 0 1 nn Sffffff nnnn 例 4 在等差数列中 首项 数列满足 且 n a 1 1a n b 1 2 n a n b 1 2 3 1 64 bb b 1 求数列的通项公式 n a 2 求证 1 122 2 nn aba ba b 规律总结 1 在例 1 中 把和式看成是某个数列的前项和 把每一项按通项形式分开 然 n an n S 后分组求和 2 常用结论 111 11 nn n nnn 1 lg 1 lg 1 lgnn n 1 11 1 1 nnnn 2 11 2 1 2 1 nnnn 3 1111 nnnn a add aad 1111 pq pqqp pq 1111 1 2 2 1 1 2 n nnn nnn 2 用错位相减法求和时最好列出前 3 项和末 3 项 3 对和式中通项作结构分析 确定选用哪个方法 基础训练 一 选择题 1 已知数列的前 n 项和 n a 1 1 59 13 1721143 n n Sn 则等于 152231 SSS A 13 B C 46 D 7676 2 数列 则它的前项和 1 4 2 5 3 6 3 n n n n S A B 1 1 2 3 n nn 1 1 3 3 n nn C D 1 1 4 3 n nn 1 1 5 3 n nn 3 和式 221 1 12 122 1222 n A B C D 1 22 n n 1 21 n n 22 n n 21 n n 4 已知 则 4 42 x x f x 1299100 101101101101 ffff A B C D 1005150 550 5 和式 1111 147 32 2482n n A B C D 34 4 2n n 4 3 2n n 34 4 2n n 21 n n 二 填空题 6 求和 111 1 44 7 32 31 nn 7 设 则 n S 222222 1234 21 2 nn n S 8 已知 则 2222 123 n an 21 n n n b a 123n bbbb 三 解答题 4 9 已知点列在直线上 为直线 与轴的交点 等差数列 nnn baP l21yx 1 P ly 的公差为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n a 1 Nn 1 求 的通项公式 n a n b 2 设 求 1 1 2 n n Cn n PP 231nn CCCC 10 已知函数满足对于任意的实数 都有 且 xfyx yfxfyxf 2 1 1 f 1 求的值 3 2ff 2 求证数列为等比数列 f n 3 设 求证 1 n anf n Nn 12 3 n aaa 能力提高 11 有限数列 为其前项和 定义为 的 凯 12 n Aa aa n Sn 12n SSS n A 森和 如有项的数列的 凯森和 为 则有 项的数列99 1299 a aa 1000100 的 凯森和 为 1299 1 a aa A B C D 1001999991990 12 1 已知数列的通项公式 求数列的前项的和 n a 21 22 n n n n a n 为奇数 为偶数 n a2n 2n S 5 2 已知数列的通项公式 求数列的前项的和 n a 1 2 21 21 n n nn a n an n S 课程整合 1 数列求和 18 答案 例 1 通过分析通项找规律 设 是数列的前项和 2 1 n n aqqq n S n an 当时 1q 2 1 n n aqqqn 1 123 2 n n n Sn 当时 1q 111 111 n n n q aq qqq 2 11111 1 1111111 n n n qq Sqqqn qqqqqqq 例 2 1 1 1 n nn a n n 11 1nn 111 1 111 n S nn 2 2 11 2 1 11 22 2 22 n nn a nnn nnn 1 1111 2 1212 n S nn 3 2 41 1111 1 21 21 2 2121 n n a nnnn 2 1122 1 2212121 n nnn Snn nnn 4 设为数列的前项和 则 n S n an 1222 12 1 1 n a nn nnn 22222222 2 1223111 n n S nnnn 例 3 1 设 则是数列的前项和 因为 1 n an n n S n an 2 n ann 所以 2222 123 123 n Snn 1 21 1 1 2 623 n nnn nn nn 2 当为偶数时 n n S1 3579 1 21 2 2 n n nn 6 当为奇数时 n n S 1 1 3579 1 21 1 2 2 n n nn 3 1221 0 1 nn Sffffff nnnn 1221 1 0 nn Sffffff nnnn 两式相加 得 21Sn 1 2 n S 例 4 1 123 6aaa n an 2 令 则 1 122nnn Saba ba b 231 11111 2 3 1 22222 nn n Snn 2341 111111 2 3 1 222222 nn n Snn 两式相减 2341 1111111 2222222 nn n Sn 1 11 1 1 22 nn n A 2 n S 基础训练 1 B 提示 152231 29446176SSS 2 D 提示 2 3 3n nnn 2222 123 3 123 n Snn 1 21 3 1 1 5 623 n nnn nn nn 3 A 提示 和式的通项为 21 122221 nn 4 D 提示 对一切 用倒序相加法xR 1 1f xfx 5 设 23 1111 147 32 2222 n n Sn 则 2341 111111 147 35 32 222222 n nn Snn 由 得 23411 111111111 3 32 23 32 222222222 n n nnn Snn 7 34 4 2 n n n S 6 提示 31 n n 1 3 111 32 31 3231nnnn 7 提示 2 2nn n S 2 12 34 212 2nnnn 8 提示 6 1 n n 1 21 6 n n nn a 21611 6 1 1 n n n b an nnn 123 6 1 n n bbbb n 9 解 1 在直线 nnn baP 12 12 nn abxyl上 为直线 与轴的交点 1 P ly 1 0 1 P0 1 a 又数列的公差为 1 n a 1 Nnnan 12 Nnnbn 2 1 0 1nnn bapP 2222 1 1 1 22 5 1 nnn PPabnnn 1 11111 2 15 1 5 n n Cn n PPnnn n 所以 23 11111111 1 1 223155 n CCC nnn 10 1 2 1 2 1 1 1 4 fff 1 3 12 1 2 8 ffff 2 取 则 1 xynN 11f nf n f 所以 所以数列为等比数列 公比为 首项为 1 1 1 2 f n f f n f n 1 2 1 2 3 数列的通项为 f n 1 2 n f n 1 1 1 2 n n anf nn 设 则 12nn Saaa 2321 111111 23 4 1 1 222222 nnn n Snnn 23411 1111111 2 3 4 1 1 2222222 nnn n Snnn 8 由 得 23411 1111111 1 1 1 2222222 nnn n Sn 1 3113 1 2222 nn n 即 所以 13 22 n S 3 n S 所以 12 3 n aaa 能力提高 11 C 提示 1299 1000 99 SSS 1