广东省佛山市2013届高考数学质量检测试题（二） 理（佛山二模）（含解析）新人教A版

1 20132013 年广东省江门 佛山市高考数学二模试卷 理科 年广东省江门 佛山市高考数学二模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 5 分 2013 江门二模 已知 M x 2 x 4 x Z N x 1 x 3 则 M N A 1 3 B 2 1 C 0 1 2 D 2 1 0 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 由列举法写出集合 M 然后直接取符合集合 N 的元素构成集合即可 解答 解 由 M x 2 x 4 x Z 2 1 0 1 2 3 4 N x 1 x 3 所以 M N 0 1 2 故选 C 点评 本题考查了交集及其运算 是基础的会考题型 2 5 分 2013 江门二模 已知复数 z 的实部为 1 且 z 2 则复数 z 的虚部是 A B C D 考点 复数求模 专题 计算题 分析 设复数 z 的虚部是为 b 根据已知复数 z 的实部为 1 且 z 2 可得 1 b2 4 由此 解得 b 的值 即为所求 解答 解 设复数 z 的虚部是为 b 已知复数 z 的实部为 1 且 z 2 故有 1 b2 4 解得 b 故选 D 点评 本题主要考查复数的基本概念 求复数的模 属于基础题 3 5 分 2013 江门二模 已知数列 an 是等差数列 若 a3 a11 24 a4 3 则 an 的公差 是 A1B3C5D6 2 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 法一 利用等差数列的性质把已知条件转化可得 a7 12 利用公式求 解 法二 把已知条件用等差数列的首项 a1 公差 d 表示 联立解 d 解答 解 法一 因为数列 an 是等差数列 a3 a11 24 a4 3 利用等差数列的性质可得 2a7 24 所以 a7 12 法二 设等差数列的公差为 d a3 a11 24 a4 3 解得 a1 6 d 3 故选 B 点评 本题法一 主要考查等差数列的性质 若 m n p q 则 am an ap aq 灵活运用该性 质可以简化基本运算 法二 主要是运用等差数列的通项公式 利用等差数列的基本量 a1 d 表示 an 及 基本运算 4 5 分 2013 江门二模 为了解一片经济林的生长情况 随机测量了其中 100 株树木 的底部周长 单位 cm 根据所得数据画出样本的频率分布直方图 那么在这 100 株树木 中 底部周长小于 110cm 的株数是 A 30B 60C 70D 80 考点 频率分布直方图 3 专题 计算题 分析 由图分析 易得底部周长小于 110cm 段的频率 根据频率与频数的关系可得频数 解答 解 由图可知 则底部周长小于 110cm 段的频率为 0 01 0 02 0 04 10 0 7 则频数为 100 0 7 70 人 故选 C 点评 本题考查读图的能力 读图时要全面细致 同时 解题方法要灵活多样 切忌死记 硬背 要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题 5 5 分 2013 江门二模 函数 f x sin x 1 1 则 A f x 为偶函数 且在 0 1 上单调递减B f x 为偶函数 且在 0 1 上单调递增 C f x 为奇函数 且在 1 0 上单调递 增 D f x 为奇函数 且在 1 0 上单调递 减 考点 复合三角函数的单调性 正弦函数的奇偶性 专题 三角函数的图像与性质 分析 利用诱导公式化简函数 f x 的解析式为 cos x 故函数为偶函数 再由当 x 0 1 时 可得函数 y cos x 是减函数 从而得出结论 解答 解 函数 f x sin cos x 故函数为偶函数 故排除 C D 当 x 0 1 时 x 0 函数 y cos x 是减函数 故选 A 点评 本题主要考查诱导公式 余弦函数的奇偶性和单调性 属于中档题 6 5 分 2013 江门二模 下列命题中假命题是 A 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 B 垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 C 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 D 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行 那么这两个平面 相互平行 考点 命题的真假判断与应用 专题 阅读型 4 分析 对 A 选项 利用线面平行的判定与性质判断即可 根据垂直于同一直线的二直线位置关系不确定来判断 B 是否正确 利用面面垂直的判定定理判断 C 是否正确 利用面面平行的判定定理判断 D 是否正确 解答 解 如图 a a b a b 同理 a c b c b 又 b l b l a l 故 A 选项正确 垂直于同一直线的两条直线 位置关系是相交 平行或异面 B 为假命题 根据面面垂直的判定定理 C 正确 根据面面平行的判定定理 D 正确 故选 B 点评 本题借助考查命题的真假判断 考查线线 线面 面面平行 垂直关系 7 5 分 2011 湖北 直线 2x y 10 0 与不等式组表示的平面区域的公共 点有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无数个 考点 二元一次不等式 组 与平面区域 专题 作图题 数形结合 分析 画出不等式组表示的平面区域 画出直线 2x y 10 0 由图判断出直线与平面区域 的公共点 解答 解 画出不等式组表示的平面区域如下 作出直线 2x y 10 0 由图得到 2x y 10 0 与可行域只有一个公共点 5 0 故选 B 点评 本题考查画不等式组表示的平面区域 考查数形结合数学数学方法 5 8 5 分 2013 江门二模 将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动 某时刻 P 与坐标 原点重合 如图 设顶点 P x y 的轨迹方程是 y f x 关于函数 y f x 的有下列 说法 f x 的值域为 0 2 f x 是周期函数 f 1 9 f f 2013 其中正确的说法个数为 A 0B 1C 2D 3 考点 命题的真假判断与应用 专题 函数的性质及应用 分析 先根据题意画出顶点 P x y 的轨迹 如图所示 轨迹是一段一段的圆弧组成的图 形 从图形中可以看出 关于函数 y f x 的说法的正确性 解答 解 根据题意画出顶点 P x y 的轨迹 如图所示 轨迹是一段一段的圆弧组成的 图形 从图形中可以看出 关于函数 y f x 的有下列说法 f x 的值域为 0 2 正确 f x 不是周期函数 不正确 由于 f 1 9 f 3 9 f 2013 f 3 而 f 3 f f 3 9 f 2013 f f 1 9 故 不正确 6 表示函数 f x 在区间 0 6 上与 x 轴所围成的图形的面积 其大小为两个正三角形和三段扇形的面积和 其值为 2 2 故 错误 故选 B 点评 本小题主要考查命题的真假判断与应用 函数单调性的应用 函数奇偶性的应用等 基础知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 属于中档 题 二 填空题 本大共二 填空题 本大共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3535 分 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 5 分 2013 江门二模 命题 x0 R 0 的否定是 x R 0 考点 特称命题 命题的否定 专题 规律型 分析 根据命题 x0 R 0 是特称命题 其否定为全称命题 将 存在 改为 任意 改为 即可得答案 解答 解 命题 x0 R 0 是特称命题 命题的否定为 x R 0 故答案为 x R 0 点评 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词 或者对于 的否定用 了 这里就有注意量词的否定形式 如 都是 的否定是 不都是 而不是 都不是 特称命题的否定是全称命题 存在 对应 任意 属基础题 10 5 分 2013 太原一模 已知向量 满足 向 量 与 的夹角为 考点 数量积表示两个向量的夹角 专题 平面向量及应用 分析 由题意可得 0 再利用两个向量的数量积的定义求得 7 cos 的值 即可求得向量 与 的夹角 解答 解 由题意可得 0 即 1 1 cos 0 解得 cos 再由 0 可得 故答案为 点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义 根据三角函数的值求角 属于中档题 11 5 分 2013 江门二模 1 2x n的展开式中 x3的系数等于 x2的系数的 4 倍 则 n 等于 8 考点 二项式定理的应用 专题 计算题 分析 设 1 2x n的展开式的通项公式为 Tr 1 利用 1 2x n的展开式中 x3的系数等于 x2的系数的 4 倍 得到 n 的关系式 解之即可 解答 解 设 1 2x n的展开式的通项公式为 Tr 1 则 Tr 1 2x r 2r xr 令 r 3 得展开式中 x3的系数为 8 令 r 2 得展开式中 x2的系数为 4 依题意 8 4 4 即 2 解得 n 8 故答案为 8 点评 本题考查二项式定理的应用 着重考查展开式的通项公式 考查理解与运算能力 属于中档题 12 5 分 2013 江门二模 已知圆 C 经过点 A 0 3 和 B 3 2 且圆心 C 在直线 y x 上 则圆 C 的方程为 x 1 2 y 1 2 1 考点 圆的标准方程 专题 直线与圆 8 分析 设圆心坐标为 C a a 则由题意可得 半径 r 解得 a 的值 即可求得圆 C 的方程 解答 解 设圆心坐标为 C a a 则由题意可得 半径 r 解得 a 1 故圆 C 的方程为 x 1 2 y 1 2 1 故答案为 x 1 2 y 1 2 1 点评 本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程 属于中档题 13 5 分 2013 江门二模 将集合 2s 2t 0 s t 且 s t Z 中的元素按上小下大 左 小右大的顺序排成如图的三角形数表 将数表中位于第 i 行第 j 列的数记为 bij i j 0 则 b65 80 考点 等差数列与等比数列的综合 数列的函数特性 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 经观察 t 1 时 为第一行 t 2 时 为第二行 t 3 时 为第三行 每行从左向 右 s 从 0 开始依次增加 1 从而可求得答案 解答 解 依题意 t 1 时 为第一行 s 0 第一行一个数 t 2 时 为第二行 s 0 1 第二行有两个数 t 3 时 为第三行 s 0 1 2 第三行有三个数 当 t 6 时 为第六行 从左向右数第五个数为 s 4 t 6 b65 24 26 16 64 80 故答案为 80 点评 本题考查等差数列与等比数列的综合 依题意 找出三角形数表的行列规律是关键 也是难点 考查分析与观察能力 属于难题 14 5 分 2013 江门二模 坐标系与参数方程 在极坐标系中 设曲线 C1 2sin 与 C2 2cos 的交点分别为 A B 则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 sin cos 1 考点 简单曲线的极坐标方程 专题 直线与圆 9 分析 由 2sin 得 2 2 sin 根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线 C1的直 角坐标方程 同理求得曲线 C2的直角坐标方程 线段 AB 的垂直平分线经过两圆的圆 心 将圆的方程化为标准方程 求得圆心坐标 即可得到线段 AB 的垂直平分线方程 最后再化成极坐标方程即可 解答 解 由 2sin 得 2 2 sin 即曲线 C1的直角坐标方程为 x2 y2 2y 0 由 2cos 得曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y2 2x 0 线段 AB 的垂直平分线经过两圆的圆心 圆 x2 y2 2x 0 可化为 x 1 2 y2 1 圆 x2 y2 2y 0 可化为 x2 y 1 2 1 两圆的圆心分别为 1 0 0 1 线段 AB 的垂直平分线方程为 x y 1 极坐标方程为 sin cos 1 故答案为 sin cos 1 点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法 考查两圆公共弦的垂直平分 线的方程 属于基础题 15 5 分 2013 江门二模 几何证明选讲 如图 圆 O 的直径 AB 9 直线 CE 与圆 O 相 切于点 C AD CE 于 D 若 AD 1 设 ABC 则 sin 考点 与圆有关的比例线段 专题 直线与圆 分析 利用圆的性质 切线的性质 三角形相似的判定与性质 三角函数的定义即可得 出 解答 解 直线 CE 与圆 O 相切于点 C ACD ABC AB 是 O 的直径 ACB 90 ADC ACB 90 ACD ABC AC2 AB AD 9 1 9 解得 AC 3 故答案为 点评 熟练掌握圆的性质 切线的性质 三角形相似的判定与性质 三角函数的定义是解 题的关键 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 10 16 12 分 2013 江门二模 在平面直角坐标系 xOy 中 以 Ox 为始边 角 的终边与 单位圆 O 的交点 B 在第一象限 已知 A 1 3 1 若 OA OB 求 tan 的值 2 若 B 点横坐标为 求 S AOB 考点 同角三角函数间的基本关系 三角形的面积公式 任意角的三角函数的定义 专题 计算题 三角函数的求值 平面向量及应用 分析 1 根据三角函数的定义 设 B cos sin 其中 根据 OA OB 利用向量的数量积为零列式 可得 cos 3sin 再由同角三角函数的商 数关系可求出 tana 的值 2 根据题意 求出 B 的坐标为 从而得到向量 的数量积 然后 运用夹角公式算出 cos AOB 再用同角三角函数的平方关系算出 sin AOB 最后根据 1 运用正弦定理的面积公式 即可得到 S AOB的 值 解答 解 点 B 在单位圆上 且在第一象限 设 B cos sin 1 OA OB 0 即 cos 3sin 0 可得 cos 3sin 所以 tan 2 B 点横坐标为 cos 可得 sin 舍负 因此 B 的坐标为 A 1 3 可得 cos AOB 由此可得 sin AOB 因此 S AOB sin AOB 1 点评 本题给出单位圆与角 在第一象限的交点为 A 求 的正切值 并求三角形 AOB 的 11 面积 着重考查了三角函数的定义 同角三角函数基本关系和向量数量积公式 夹 角公式等知识 属于基础题 17 12 分 2013 江门二模 市民李生居住在甲地 工作在乙地 他的小孩就读的小学 在丙地 三地之间的道路情况如图所示 假设工作日不走其它道路 只在图示的道路中往 返 每次在路口选择道路是随机的 同一条道路去程与回程是否堵车相互独立 假设李生 早上需要先开车送小孩去丙地小学 再返回经甲地赶去乙地上班 假设道路 A B D 上下 班时间往返出现拥堵的概率都是 道路 C E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 只 要遇到拥堵上学和上班的都会迟到 1 求李生小孩按时到校的概率 2 李生是否有七成把握能够按时上班 3 设 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数 求 的均值 考点 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 专题 概率与统计 分析 1 先求出从甲到丙遇到拥堵的概率 利用对立事件的概率计算公式即可得到李生 小孩能够按时到校的概率 2 由 1 的结论可得 甲到丙没有遇到拥堵的概率是 同样丙到甲没有遇到 拥堵的概率也是 先求出 甲到乙遇到拥堵的概率 由对立事件的概率即可得到 甲到乙没有遇到拥堵的概率 利用独立事件的概率计算公式即可得到李生上班途中 均没有遇到拥堵的概率 即可判断出答案 3 利用 1 2 的结论和独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式 即可得出 再利用分布列和数学期望即可得出 解答 解 1 因为道路 D E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是和 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是 所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 0 15 0 85 2 甲到丙没有遇到拥堵的概率是 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 甲到乙遇到拥堵的概率是 12 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 所以李生没 有七成把握能够按时上班 3 依题意 可以取 0 1 2 P 0 P 1 P 2 012 P 分布列是 E 点评 正确理解题意和熟练掌握独立事件 对立事件 互斥事件的概率计算公式和分布列 数学期望的计算公式是解题的关键 18 14 分 2013 江门二模 如图甲 设正方形 ABCD 的边长为 3 点 E F 分别在 AB CD 上 并且满足 AE 2EB CF 2FD 如图乙 将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1EFD1的位 置 使点 A1在平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上 1 证明 A1E 平面 CD1F 2 求平面 BEFC 与平面 A1EFD1所成二面角的余弦值 考 点 二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 专 题 空间位置关系与距离 空间角 分 析 1 利用线面平行的判定定理即可证明 2 如图所示 利用图甲 乙 求出 EF A1E A1G 作 GT BE 交 EF 于点 T 则 TG GC 以点 G 为原点 分别以 GC GT GA1所在直线为 x y z 轴 建立如图丙所 示的空间直角坐标系 利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角 解 答 1 证明 在图甲中 易知 AE DF 从而在图乙中有 A1E D1F A1E 平面 CD1F D1F 平面 CD1F A1E 平面 CD1F 13 2 解 如图 在图乙中作 GH EF 垂足为 H 连接 A1H 由于 A1G 平面 EBCF 则 A1G EF EF 平面 A1GH 则 EF A1H 图甲中有 EF AH 又 GH EF 则 A G H 三点共线 设 CF 的中点为 M 则 MF 1 可证 ABG EMF BG MF 1 则 AG 又由 ABG AHE 得 于是 HG AG AH 在 Rt A1GH 中 作 GT BE 交 EF 于点 T 则 TG GC 以点 G 为原点 分别以 GC GT GA1所在直线为 x y z 轴 建立如图丙所示的空间 直角坐标系 则 G 0 0 0 E 1 1 0 F 2 2 0 则 是平面 BEFC 的一个法向量 设是平面 A1EFD1的一个法向量 则 不妨取 y 1 则 x 3 z 设平面 BEFC 与平面 A1EFD1所成二面角为 可以看出 为锐角 所以 平面 BEFC 与平面 A1EFD1所成二面角的余弦值为 点 评 熟练掌握线面平行的判定定理 三角形的相似与全等的判定定理和性质定理 通过建 立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角的方法等知识与方法是解题的关键 14 19 14 分 2013 江门二模 在平面直角坐标系内 动圆 C 过定点 F 1 0 且与定直 线 x 1 相切 1 求动圆圆心 C 的轨迹 C2的方程 2 中心在 O 的椭圆 C1的一个焦点为 F 直线 l 过点 M 4 0 若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在曲线 C2上 且直线 l 与椭圆 C1有公共点 求椭圆 C1的长轴长取得最小值时 的椭圆方程 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 抛物线的标准方程 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 根据抛物线的定义 动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1 0 为焦点 x 1 为准线 的抛物线 结合抛物线的基本概念即可求出 C 的轨迹 C2的方程 2 设 P m n 直线 l 方程为 y k x 4 根据 OP 被 l 垂直平分建立关于 k m n 的方程组 解之可得 m 且 n 将 P 的坐标关于 k 的形式代入 抛物线方程 解之得 k2 1 从而得到直线 l 的方程 然后根据直线 l 与椭圆 C1有公 共点 两方程联解并运用根的判别式解出 a2 b2 16 结合 b2 a2 1 可得 a 的最小值 为 由此即可得到椭圆 C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程 解答 解 1 由题意 可得 圆心 C 到定点 F 1 0 的距离与到定直线 x 1 的距离相等 由抛物线定义知 C 的轨迹 C2是以 F 1 0 为焦点 直线 x 1 为准线的抛物线 动圆圆心 C 的轨迹 C2的方程为 y2 4x 2 设 P m n 直线 l 方程为 y k x 4 则 OP 中点为 O P 两点关于直线 y k x 4 对称 即 解之得 将其代入抛物线方程 得 2 4 解之得 k2 1 设椭圆 C1的方程为 联列 消去 y 得 a2 b2 x2 8a2x 16a2 a2b2 0 15 由 8a2 2 4 a2 b2 16a2 a2b2 0 得 a2 b2 16 注意到 b2 a2 1 即 2a2 17 可得 a 即 2a 因此 椭圆 C1长轴长的最小值为 此时椭圆的方程为 点评 本题给出动点 P 满足的条件 求 P 的轨迹方程并依此求椭圆 C1的长轴长取得最小值 时的椭圆方程 着重考查了抛物线 椭圆的标准方程与简单几何性质 一元二次方 程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点 属于中档题 20 14 分 2013 江门二模 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻 导致浓硫酸泄漏 对河水造成了污染 为减少对环境的影响 环保部门迅速反应 及时向污染河道投入固体碱 1 个单位的固体碱在水中逐渐溶化 水中的碱浓度 f x 与 时间 x 小时 的关系可近似地表示 为 f x 只有当污染河道水中碱的浓度不低于 时 才能对污染产生有效的抑制作用 1 如果只投放 1 个单位的固体碱 则能够维持有效的抑制作用的时间有多长 2 第一次投放 1 单位固体碱后 当污染河道水中的碱浓度减少到 时 马上再投放 1 个 单位的固体碱 设第二次投放后水中碱浓度为 g x 求 g x 的函数式及水中碱浓度的 最大值 此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加 考点 函数模型的选择与应用 专题 应用题 分析 1 利用分段函数解析式 分别列出不等式 解之 即可求得 x 的范围 从而可得 能够维持有效抑制作用的时间 2 确定第二次投放后水中碱浓度 g x 的解析式 再分段利用导数或基本不等式 研究其单调性 即可求得最大值 16 解答 解 1 由题意知或 解得 1 x 3 或 3 x 4 即 1 x 4 能够维持有效的抑制作用的时间 4 1 3 小时 2 由 1 知 x 4 时第二次投入 1 单位固体碱 显然 g x 的定义域为 4 x 10 当 4 x 6 时 第一次投放 1 单位固体碱还有残留 故 g x 1 2 当 6 x 10 时 第一次投放 1 单位固体碱已无残留 故 当 6 x 7 时 g x 2 当 7 x 10 时 g x 1 所以 g x 当 4 x 6 时 g x 当且仅当时取 即 x 1 3 函数值与自变量值各 1 分 当 6 x 10 时 第一次投放 1 单位固体碱已无残留 当 6 x 7 时 g x 所以 g x 为增函数 当 7 x 10 时 g x 为减函数 故 g x max g 7 又 所以当 x 1 3时 水中碱浓度的最大值为 答 第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时 第一次投 放 1 3小时后 水中碱浓度的达到最大值为 点评 本题考查分段函数 不等式 函数的单调性 考查利用基本不等式求函数的最值 确定函数的解析式是关键 17 21 14 分 2013 江门二模 设函数 记 f0 x 的导函数 f 0 x f1 x f1 x 的导函数 f 1 x f2 x f2 x 的导函数 f 2 x f3 x fn 1 x 的导函数 f n 1 x fn x n 1 2 1 求 f3 0 2 用 n 表示 fn 0 3 设 Sn f2 0 f3 0 fn 1 0 是否存在 n N 使 Sn最大 证明你的结论 考点 数列与函数的综合 导数的运算 数列的函数特性 数列的求和 专题 等差数列与等比数列 分析 1 由函数 利用导数的性质 能