山西省2013届高考数学一轮复习单元测试 圆锥曲线与方程

用心 爱心 专心1 山西省山西省 20132013 届高考数学一轮单元复习测试 圆锥曲线与方程届高考数学一轮单元复习测试 圆锥曲线与方程 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 直线 2x y 3 0 关于直线x y 2 0 对称的直线方程是 A x 2y 3 0B x 2y 3 0 C x 2y 1 0D x 2y 1 0 答案 A 2 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且 BFx 轴 直线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 答案 D 3 设椭圆 22 22 1 0 0 xy mn mn 的右焦点与抛物线 2 8yx 的焦点相同 离心率为 1 2 则此椭圆的方程为 A 22 1 1216 xy B 22 1 1612 xy C 22 1 4864 xy D 22 1 6448 xy 答案 B 4 若双曲线 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右焦点分别为 1 F 2 F 线段 21F F被抛物线 2 1 2 xy b 的焦点分成3 2的两段 则此双曲线的离心率为 A 9 8 B 6 37 37 C 5 3 3 D 5 21 21 答案 D 5 已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1 0 点P位于该双曲线上 线段 5 PF1 的中点坐标为 0 2 则双曲线的方程为 A y2 1 B x2 1 x2 4 y2 4 C 1 D 1 x2 2 y2 3 x2 3 y2 2 答案 B 6 已知点 P 是抛物线 2 8yx 上一点 设 P 到此抛物线准线的距离是 1 d 到直线 100 xy 的距离是 2 d 则 12 dd 的最小值是 A 3B 2 3C 6 2D 3 用心 爱心 专心2 答案 C 7 已知定点A 1 0 和定直线l x 1 在l上有两动点E F且满足 另有动点P 满足 O为坐标原点 则动点P的轨迹方程为 A y2 4xB y2 4x x 0 C y2 4xD y2 4x x 0 答案 B 8 直线L经过双曲线 2 22 1 x ab 2 y a 0 b 0 右焦点F与其一条渐近线垂直且垂足为A 与另一条渐近线交于B点 AF 1 2FB 则双曲线的离心率为 A 3 4 B 2 3 3 C 3 D 2 答案 B 9 抛物线y x2 上的点到直线 4x 3y 8 0 距离的最小值是 A B 4 3 7 5 C D 3 8 5 答案 A 10 已知椭圆C1 1 a b 0 与双曲线C2 x2 1 有公共的焦点 C2 的一条 x2 a2 y2 b2 y2 4 渐近线与以C1 的长轴为直径的圆相交于A B两点 若C1 恰好将线段AB三等分 则 A a2 B a2 13 13 2 C b2 D b2 2 1 2 答案 C 11 已知点P x y 在直线x 2y 3 上移动 当 2x 4y取得最小值时 过点P x y 引圆 2 2 的切线 则此切线段的长度为 x 1 2 y 1 4 1 2 A B 6 2 3 2 C D 1 2 3 2 答案 A 12 长为 3 的线段AB的端点A B分别在x轴 y轴上移动 AC 2CB 则点C的轨迹 是 A 线段B 圆 C 椭圆D 双曲线 答案 C 用心 爱心 专心3 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 已知双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 3 32 焦距为 2c 且 2a2 3c 双 曲线 上一点P满足为左右焦点 2121 2FFPFPF 则 21 PFPF 答案 4 14 设F1 F2分别为椭圆 y2 1 的左 右焦点 点A B在椭圆上 若 1 F A 5 2 F B x2 3 则点A的坐标是 答案 0 1 15 已知点 2 3 在双曲线C 1 a 0 b 0 上 C的焦距为 4 则它的离心率为 x2 a2 y2 b2 答案 2 16 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左顶点与抛物线y2 2px p 0 的焦点的距离为 4 x2 a2 y2 b2 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲线的焦距为 答案 2 5 用心 爱心 专心4 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知向量1m 0 x 1n 1 1 2m x 0 2n y2 1 其中x y是实 数 又设向量m 1m 22n n 2m 21n 且m n 点 P x y 的轨迹为曲 线 C 求曲线 C 的方程 设直线1 kxyl与曲线C交于M N两点 当 MN 3 24 时 求直线l的方程 答案 I 由已知 m 22 0 2 2 2 2 xyyx n 0 2 2 2 2 xx mn 2 2 2 2 2 0yxx 即所求曲线的方程是 1 2 2 2 y x 由 04 21 1 1 2 22 2 2 kxxky kxy y x 得消去 解得x1 0 x2 21 2 21 4 xx k k 分别为M N的横坐标 由 2 3 4 21 4 1 1 2 2 21 2 k k kxxkMN 1 k解得 所以直线l的方程x y 1 0 或x y 1 0 18 给定椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 称圆心在原点O 半径为 22 ba 的圆是 椭圆C的 准圆 若椭圆C的一个焦点为 0 2 F 其短轴上的一个端点到F的距 离为3 求椭圆C的方程和其 准圆 方程 点P是椭圆C的 准圆 上的一个动点 过动点P作直线 21 l l使得 21 l l与椭圆C都 只有一个交点 且 21 l l分别交其 准圆 于点NM 1 当P为 准圆 与y轴正半轴的交点时 求 21 l l的方程 2 求证 MN为定值 用心 爱心 专心5 答案 1 3 2 bac 椭圆方程为1 3 2 2 y x 准圆方程为4 22 yx 1 因为准圆4 22 yx与y轴正半轴的交点为 2 0 P 设过点 2 0 P且与椭圆有一个公共点的直线为2 kxy 所以由 1 3 2 2 2 y x kxy 消去y 得0912 31 22 kxxk 因为椭圆与2 kxy只有一个公共点 所以0 31 94144 22 kk 解得1 k 所以 21 l l方程为2 2 xyxy 2 当 21 l l中有一条无斜率时 不妨设 1 l无斜率 因为 1 l与椭圆只有一个公共点 则其方程为3 x 当 1 l方程为3 x时 此时 1 l与准圆交于点 1 3 1 3 此时经过点 1 3 或 1 3 且与椭圆只有一个公共点的直线是1 y 或1 y 即 2 l为1 y 或1 y 显然直线 21 l l垂直 同理可证 1 l方程为3 x时 直线 21 l l垂直 当 21 l l都有斜率时 设点 00 yxP 其中4 2 0 2 0 yx 设经过点 00 yxP与椭圆只有一个公共点的直线为 00 yxxty 则 1 3 2 2 00 y x txytxy 消去y 得03 3 6 31 2 0000 22 txyxtxytxt 由0 化简整理得 012 3 2 000 2 2 0 ytyxtx 因为4 2 0 2 0 yx 所以有0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 设 21 l l的斜率分别为 21 t t 因为 21 l l与椭圆只有一个公共点 用心 爱心 专心6 所以 21 t t满足上述方程0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 所以1 21 tt 即 21 l l垂直 综合 知 因为 21 l l经过点 00 yxP 又分别交其准圆于点NM 且 21 l l垂直 所 以线段MN为准圆4 22 yx的直径 所以MN 4 19 己知椭圆 C 旳离心率 e 左 右焦点分别为 点 点尽在线段 PF1的中垂线 i 1 求椭圆 C 的方程 2 设直线与椭圆 C 交于 M N 两点 直线 的倾斜角分别为 且 求证 直线 过定点 并求该定点的坐标 答案 由已知 得 22 0 F MF N kk 12 12 0 11 kxmkxm xx 化简 得 2kx1x2 m k x1 x2 2m 0 2 22 224 220 2121 mkm mk km kk A 整理得 m 2k 直线 MN 的方程为 y k x 2 因此直线 MN 过定点 该定点的坐标为 2 0 20 如图 ADB 为半圆 AB 为半圆直径 O 为半圆圆心 且 OD AB Q 为线段 OD 的中点 用心 爱心 专心7 已知 AB 4 曲线 C 过 Q 点 动点 P 在曲线 C 上运动且保持 PA PB 的值不变 I 建 立适当的平面直角坐标系 求曲线 C 的方程 II 过点 B 的直线l与曲线 C 交于 M N 两点 与 OD 所在直线交于 E 点 MBEM 1 NBEN 2 证明 21 为定值 答案 以AB OD所在直线分别为x轴 y轴 O为原点 建立平面直角坐标系 动点P在曲线C上运动 且保持 PA PB 的值不变 且点Q在曲线C上 PA PB QA QB 25212 22 AB 4 曲线C是为以原点为中心 A B为焦点的椭圆 设其长半轴为a 短半轴为b 半焦距为c 则 2a 25 a 5 c 2 b 1 4 分 曲线C的方程为 5 2 x y2 1 法 1 设 M N E点的坐标分别为 11220 0 M x yN xyEy 易知B点的坐标为 2 0 且点B在椭圆C内 故过点B的直线l必与椭圆C相交 1 EMMB 110111 2 x yyxy 1 1 1 1 2 x 1 0 1 1 y y 将M点坐标代入到椭圆方程中得 1 1 1 2 5 1 2 1 02 1 1 y 去分母整理 得05510 2 01 2 1 y 同理 由 2 ENNB 可得 05510 2 02 2 2 y 1 2 是方程05510 2 0 2 yxx的两个根 11 分 10 21 法 2 设 M N E点的坐标分别为 11220 0 M x yN xyEy 易知B点的坐标为 2 0 且点B在椭圆C内 故过点B的直线l必与椭圆C相交 显然直线 l 的斜率存在 设直线l 的斜率为 k 则直线 l 的方程是 2 xky 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中 消去 y 并整理得 052020 51 2222 kxkxk 用心 爱心 专心8 2 2 21 51 20 k k xx 2 2 21 51 520 k k xx 又 1 EMMB 则 110111 2 x yyxy 1 1 1 2x x 同理 由 2 ENNB 2 2 2 2x x 10 24 2 2 22 2121 2121 2 2 1 1 21 xxxx xxxx x x x x 21 如图 直角三角形ABC的顶点坐标A 2 0 直角顶点B 0 2 顶点C在x轴 2 上 点P为线段OA的中点 1 求BC边所在直线方程 2 M为直角三角形ABC外接圆的圆心 求圆M的方程 3 若动圆N过点P且与圆M相切 求动圆N的圆心N的轨迹方程 答案 1 kAB AB BC kCB 2 2 2 BC边所在直线方程为y x 2 2 22 2 在BC边所在直线方程中 令y 0 得C 4 0 圆心M 1 0 又 AM 3 外接圆的方程为 x 1 2 y2 9 3 P 1 0 M 1 0 圆N过点P 1 0 PN是该圆的半径 又 动圆N与圆M内切 MN 3 PN 即 MN PN 3 点N的轨迹是以M P为焦点 长轴长为 3 的椭圆 a c 1 b 3 2a2 c2 5 4 轨迹方程为 1 x2 9 4 y2 5 4 22 已知椭圆 1 C的方程为 1 4 2 2 y x 双曲线 2 C的左 右焦点分别是 1 C的左 右顶点 而 2 C的左 右顶点分别是 1 C的左 右焦点 1 求双曲线 2 C的方程 用心 爱心 专心9 2 若直