2011高考数学 精华题选30套（2）

用心 爱心 专心1 20112011 高考数学精华高考数学精华 3030 套 套 2 2 1 杭州二模 杭州二模 21 本小题满分 14 分 设双曲线 1 a 0 b 0 的右顶点为 2 2 2 2 b y a x A P 是双曲线上异于顶点的一个动点 从 A 引双曲 线的两条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点 1 证明 无论 P 点在什么位置 总有 2 OP O 为坐标原点 OQ OR 2 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实 虚轴围成的矩形面积 求双曲线离心率的取值范围 解 1 设 OP y k x 又条件可设 AR y x a a b 解得 同理可得 OR bak ab bak kab OQ bak ab bak kab 4 分 OQ OR bak ab bak ab bak kab bak kab bka k1 ba 222 222 设 m n 则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 OP m2 n2 222 22 kab ba 222 222 kab bak 2 m2 n2 OP 222 22 kab ba 222 222 kab bak 222 222 kab k1 ba 点 P 在双曲线上 b2 a2k2 0 无论 P 点在什么位置 总有 2 4 分 OP OQ OR 2 由条件得 4ab 2 分 222 222 kab k1 ba 即 k2 0 4b a 得 e 2 分 2 2 a4ab abb4 4 17 22 本小题满分 12 分 已知常数 a 0 n 为正整数 f n x x n x a n x 0 是关于 x 的函数 1 判定函数 f n x 的单调性 并证明你的结论 用心 爱心 专心2 2 对任意 n a 证明 f n 1 n 1 0 x 0 fn x a 0 时 fn x xn x a n是关于 x 的减函数 当 n a 时 有 n 1 n n 1 a n n n n a n 2 分 又 f n 1 x n 1 xn x a n f n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 a n n f n 1 n 1 u v 4 5 所以 p x 不满足题设条件 2 分三种情况讨论 10 若 u v 1 0 则 g u g v 1 u 1 v u v 满足题设条件 20 若 u v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v v u 满足题设条件 30 若 u 1 0 v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v u v v u v u u v 满足题设条件 40 若 u 0 1 v 1 0 同理可证满足题设条件 综合上述得 g x 满足条件 22 本小题满分 14 分 已知点 P t y 在函数 f x 1x x x 1 的图象上 且有 t2 c2at 4c2 0 c 0 1 求证 ac 4 2 求证 在 1 上 f x 单调递增 3 仅理科做仅理科做 求证 f a f c 1 证 1 t R t 1 c2a 2 16c2 c4a2 16c2 0 c 0 c2a2 16 ac 4 用心 爱心 专心3 2 由 f x 1 1x 1 法 1 设 1 x1 x2 则 f x2 f x1 1 1x 1 2 1 1x 1 1 1x 1x xx 12 21 1 x1 x2 x1 x2 0 x2 1 0 f x2 f x1 0 即 f x2 0 得 x 1 2 1x 1 x 1 时 f x 单调递增 3 仅理科做仅理科做 f x 在 x 1 时单调递增 c 0 a 4 f c f a 4 1 a 4 a 4 4 a 4 f a f c 1 1 a a 4 a 4 4 a a 4 a 4 即 f a f c 1 3 南通二模 南通二模 19 本小题满分 15 分 设定义在 R 上的函数 其中 432 01234 f xa xa xa xa xa R i 0 1 2 3 4 当 i a x 1 时 f x 取得极大值 并且函数 y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 2 3 1 求 f x 的表达式 2 试在函数 f x 的图象上求两点 使这两点为切点的切线互相垂直 且切点的横 坐标都在区间上 2 2 3 若 求证 212 1 3 N 23 nn nn nn xyn 4 3 nn f xf y 解 1 5 分 3 1 3 f xxx 2 或 10 分 2 0 0 2 3 2 0 0 2 3 3 用导数求最值 可证得 15 分 4 1 1 3 nn f xf yff 用心 爱心 专心4 20 本小题满分 13 分 设 M 是椭圆上的一点 P Q T 分别为 M 关于 y 轴 原点 x 轴的对 22 1 124 xy C 称点 N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点 且 MN MQ QN 与 PT 的交点为 E 当 M 沿椭圆 C 运动时 求动点 E 的轨迹方程 解 设点的坐标 112211 0 M x yN xyx yE x y 则 1 分 111111 Px yQxyT xy 3 分 22 11 22 22 1 1 124 1 2 124 xy xy 由 1 2 可得 6 分 1 3 MNQN kk 又 MN MQ 所以 1 1 1 MNMQMN x kkk y 1 1 3 QN y k x 直线 QN 的方程为 又直