2011高考数学萃取精华试题（10）新人教A版

用心 爱心 专心 1 20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1010 1 南通 扬州 泰州三市一模 17 本小题满分 15 分 设等比数列 n a的首项为 a1 公比为 q 且 q 0 q 1 1 若 a1 qm m Z 且 m 1 求证 数列 n a中任意不同的两项之积仍为数列 n a 中的项 2 若数列 n a中任意不同的两项之积仍为数列 n a中的项 求证 存在整数 m 且 m 1 使得 a1 qm 证明 1 设 rt a a 为等比数列 n a中不同的两项 由 1 m aq 得 11 1 1 111 rtr t m rt aaa qa qaq 2 分 又3rt 且1m 所以11rmt 所以 rt a a 是数列 n a的第1rmt 项 6分 2 等比数列 n a中任意不同两项之积仍为数列 n a中的项 令 stl aaa l t sts N 由 1 1 s s aaq 1 1 t t aaq 1 1 l l aaq 得 1 1 s aq 1 1 t a q 1 1 l aq 1 1 l s t aq 令整数1mlst 则 1 m aq 9分 下证整数1m 若设整数1m 则2m 令km 由题设 取 1 k a a 使 1 kr aaar N 即 11 111 kr aaqaq 所以 11mmr qqq 即 11r qq 12分 所以 q 0 q 1 11r 0r 与 r N矛盾 所以1m 15 分 18 本小题满分 15 分 平面直角坐标系 xOy 中 已知 M 经过点 F1 0 c F2 0 c A 3 c 0 三点 用心 爱心 专心 2 其中 c 0 1 求 M 的标准方程 用含c的式子表示 2 已知椭圆 22 22 1 0 yx ab ab 其中 222 abc 的左 右顶点分别为 D B M 与 x 轴的两个交点分别为 A C 且 A 点在 B 点右侧 C 点在 D 点右侧 求椭圆离心率的取值范围 若 A B M O C D O 为坐标原点 依次均匀分布在 x 轴上 问直线 MF1与 直线 DF2的交点是否在一条定直线上 若是 请求出这条定直线的方程 若不是 请说明理由 18 解 1 设 M 的方程为0 22 FEyDxyx 则由题设 得 2 2 2 0 0 330 cEcF cEcF cDcF 解得 2 2 3 3 0 Dc E Fc 3 分 M 的方程为0 3 32 222 ccxyx M 的标准方程为 222 3 4 3 3 cycx 5 分 2 M 与x轴的两个交点 3 0 Ac 0 3 3 cC 又 0 bB 0 bD 由题设 3 3 3 cb cb 即 3 3 3 cb cb 所以 222 222 3 1 3 cac cac 7 分 解得 2 3 2 1 a c 即 2 3 2 1 e 所以椭圆离心率的取值范围为 2 3 2 1 10 分 3 由 1 得 0 3 3 cM 由题设 得ccbbc 3 3 3 3 3 2 3 3 bc 2 3 0 3 Dc 直线 MF1的方程为1 3 3 xy c c 直线 DF2的方程为1 2 3 3 xy c c 13 分 用心 爱心 专心 3 由 得直线 MF1与直线 DF2的交点 3 3 34 ccQ 易知 4 33 OQ k为定值 直线 MF1与直线 DF2的交点 Q 在定直线xy 4 33 上 15 分 19 本小题满分 16 分 如图所示的自动通风设施 该设施的下部 ABCD 是等腰梯形 其中 AB 1 米 高 0 5 米 CD 2a a 1 2 米 上部 CmD 是个半圆 固定点 E 为 CD 的中点 EMN 是由电脑控 制其形状变化的三角通风窗 阴影部分均不通风 MN 是可以沿设施边框上下滑动且始 终保持和 CD 平行的伸缩横杆 1 设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米 试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S 平方米 表 示成关于 x 的函数 Sf x 2 当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时 三角通风窗 EMN 的通风面积最大 并求出 这个最大面积 19 解 1 一 1 0 2 x 时 由平面几何知识 得 2 1 12 1x a MN 2 21 1MNax Sf x 2 1 21 1 4 axax 3 分 二 2 1 2 1 ax时 22 111 2 222 Sf xaxx 22 11 22 axx 2 22 11 21 1 0 42 1111 2222 axaxx Sf x axxxa 5 分 2 一 1 0 2 x 时 Sf x 4 1 1 12 2 xaxa 1 2 a 11 0 2 21 22 21 aa aa 11 2 21 2 a a 1 1 2 a 当0 x时 4 1 0 max fxf 1 a 当 12 2 1 a a x时 12 4 12 2 1 2 max a a a a fxf 7 分 C AB MN D E mm AB CD E MN 第 19 题 用心 爱心 专心 4 二 2 1 2 1 ax时 22 111 2 222 Sf xaxx 22 11 22 axx 222 2222 11 111 22 2222 xax xaxa 等号成立 222 11 22 xax 111 21 222 xaa 1 21 2 xa 当时 2 2 max a xf 10 分 A 1 1 2 a 时 2 1122 24222 a aa 12 22 a 时 当0 x 4 1 0 max fxf 2 1 2 a 时 当 1 21 2 xa 2 2 max a xf 12 分 B 1 a时 0 12 4 34 12 42 1 2 2 2 a a a a a a 当 1 21 2 xa 时 2 2 max a xf 14 分 综上 12 22 a 时 当0 x时 4 1 0 max fxf 即 MN 与 AB 之间的距 离为 0 米时 三角通风窗 EMN 的通风面积最大 最大面积为 4 1 平方米 2 2 a时 当 1 21 2 xa 时 2 2 max a xf 即MN与AB之间的距离为 1 21 2 xa 米时 三角通风窗 EMN 的通风面积最大 最大面积为 2 2 1 a平方米 16 分 20 本小题满分 16 分 设函数 f x 1 4 x4 bx2 cx d 当 x t1时 f x 有极小值 1 若 b 6 时 函数 f x 有极大值 求实数 c 的取值范围 2 在 1 的条件下 若存在实数 c 使函数 f x 在闭区间 m 2 m 2 上单调 递增 求实数 m 的取值范围 3 若函数 f x 只有一个极值点 且存在 t2 t1 t1 1 使 f t2 0 证明 函数 g x f x 1 2 x2 t1x 在区间 t1 t2 内最多有一个零点 20 解 1 因为 f x 1 4 x4 bx2 cx d 所以 h x f x 用心 爱心 专心 5 x3 12x c 2 分 由题设 方程 h x 0 有三个互异的实根 考察函数 h x x3 12x c 则 h x 0 得 x 2 x 2 2 2 2 2 2 h x 0 0 h x 增 c 16 极大值 减 c 16 极小值 增 所以 160 160 c c 故 16 c 16 即 x 2 2 x 4 0 在区间 m 2 m 2 上恒成立 7 分 所以 m 2 m 2 是不等式 解集的子集 所以 24 22 m m 或 m 2 2 即 2 m4 9 分 3 由题设 可得存在 R 使 f x x3 2bx c x t1 x2 x 且 x2 x 0 恒成立 11 分 又 f t2 0 且在 x t2两侧同号 所以 f x x t1 x t2 2 13 分 另一方面 g x x3 2b 1 x t1 c x3 2bx c x t1 x t1 x t2 2 1 因为 t1 x t2 且 t2 t1 1 所以 1 t1 t2 x t2 0 所以 0 x t2 2 1 所以 x t2 2 10 所以 g x 0 所以 g x 在 t1 t2 内单调减 从而 g x 在 t1 t2 内最多有一个零点 16 分 2 江西师大附中二模江西师大附中二模 20 本小题满分 12 分 已知aR 函数 ln1 a f xx x ln1 x g xxex 其中e为自然对数的底数 1 判断函数 f x在区间 0 e上的单调性 2 是否存在实数 0 0 xe 使曲线 yg x 在点 0 xx 处的切线与 y 轴垂直 若存在 用心 爱心 专心 6 求出 0 x 的值 若不存在 请说明理由 20 1 解 ln1 a f xx x 22 1 axa fx xxx 令 0fx 得xa 若a 0 则 0fx f x在区间 0 e上单调递增 若0ae 当 0 xa 时 0fx 函数 f x在区间 0 a上单调递减 当 xa e 时 0fx 函数 f x在区间 a e上单调递增 若ae 则 0fx 函数 f x在区间 0 e上单调递减 6分 2 解 ln1 x g xxex 0 xe ln1ln11 xx g xxexe 1 ln11ln11 x xx e xexe xx 由 1 可知 当1a 时 1 ln1f xx x 此时 f x在区间 0 e上的最小值为ln10 即 1 ln10 x x 当 0 0 xe 0 0 x e 0 0 1 ln10 x x 0 00 0 1 ln11 10 x g xxe x 曲线 yg x 在点 0 xx 处的切线与y轴垂直等价于方程 0 0g x 有实数解 而 0 0gx 即方程 0 0g x 无实数解 故不存在 0 0 xe 使曲线 yg x 在点 0 xx 处的切线与y轴垂直 12分 21 本小题满分12分 已知线段2 3CD CD的中点为O 动点A满足2ACADa a为正常数 1 建立适当的直角坐标系 求动点A所在的曲线方程 2 若2a 动点B满足4BCBD 且OAOB 试求AOB 面积的最大值和最小 值 21 1 以O为圆心 CD所在直线为轴建立平面直角坐标系 若22 3ACADa 即03a 动点A所在的曲线不存在 若22 3ACADa 即3a 动点A所在的曲线方程为0 33 yx 若22 3ACADa 即3a 动点A所在的曲线方程为 22 22 1 3 xy aa 4 分 用心 爱心 专心 7 2 当2a 时 其曲线方程为椭圆 2 2 1 4 x y 由条件知 A B两点均在椭圆 2 2 1 4 x y 上 且OAOB 设 11 A x y 22 B xy OA的斜率为k 0 k 则OA的方程为ykx OB的方程为 1 yx k 解方程组 2 2 1 4 ykx x y 得 2 1 2 4 14 x k 2 2 1 2 4 14 k y k 同理可求得 2 2 2 2 4 4 k x k 2 2 2 4 4 y k AOB 面积 2 12 2 11 11 2 Skxx k 22 22 1 2 14 4 k kk 8 分 令 2 1 1 kt t 则 2 2 2 1 22 99 499 4 t S tt tt 令 2 2 991125 49 1 24 g tt ttt 所以 25 4 4 g t 即 4 1 5 S 当0k 时 可求得1S 故 4 1 5 S 故S的最小值为 4 5 最大值为 1 12 分 2 另解 令 1122 cos sin sin cos A rrBrr 则 2222 11 2222 22 1 cossin1 4 1 sincos1 4 rr rr 解得 2 1 222 2 2 222 44 cos4sin1 3sin 44 sin4cos1 3cos r r 所以 22 12 222 1664 49sincos169sin 2 r r 而 2 sin 20 1 因此 1 2 14 1 25 Srr 即最大值是 1 最小值是 4 5 22 本小题满分 12 分 函数 01 1 x f xx x 的反函数为 1 fx 数列 n a和 n b满足 1 1 2 a 1 1 nn afa 函数 1 yfx 的图象在点 1 nfnnN 处的切线在 y 轴上的截距为 n b 1 求数列 n a 的通项公式 2 若数列 2 n nn b aa 的项中仅 5 2 55 b aa 最小 求 的取值范围 3 令函数 2 1 2 1 1 x g xfxf x x 01x 数列 n x满足 1 1 2 x 01 n x 且 1 nn xg x 其中nN 证明 222 23112 12231 nn nn xxxxxx x xx xx x 21 8 用心 爱心 专心 8 22 解 1 令 1 x y x 解得 1 y x y 由01 x 解得0 y 函数 f x的反函数 1 0 1 x fxx x 则 1 1 1 n nn n a afa a 得 1 11 1 nn aa 1 n a 是以 2 为首项 1 为公差的等差数列 故 1 1 n a n 4 分 2 1 0 1 x fxx x 1 2 1 1 fx x 1 yfx 在点 1 n fn 处的切线方程为 2 1 1 1 n yxn nn 令0 x得 2 2 1 n n b n 2 22 2 1 24 n nn b nnn aa 仅当5n 时取得最小值 4 55 5 2 的取值范围为 9 11 8 分 3 22 1 222 11 0 1 11111 xxxxx g xfxf xx xxxxx 所以 1 2 1 1 1 n nnnn n x xxxx x 又因01 n x 则 1 nn xx 显然 12 1 1 2 nn xxx 10 分 1 2 1