第七章第六节 空间向量及其运算（理）

1 第七章第七章 第六节第六节 空间向量及其运算 理 空间向量及其运算 理 题组一空间向量的线性运算 1 如图所示 已知四面体 ABCD E F G H 分别为 AB BC CD AC 的中点 则 AB BC CD 化简 1 2 的结果为 A BF B EH C HG D FG 解析 AB BC CD AC CD AD 2HG HG 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 C 2 如图 在底面 ABCD 为平行四边形的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 M 是 AC 与 BD 的交点 若AB a 11 A D b 11 A A c 则下列向 量中与 1 B M 相等的向量是 A a b c B a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 C a b c D a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 解析 由题意 根据向量运算的几何运算法则 1 B M 1 B B BM c BD 1 2 c AD AB a b c 1 2 1 2 1 2 答案 A 题组二空间中的共线 共面问题 3 A 1 0 1 B 4 4 6 C 2 2 3 D 10 14 17 这四个 点是否共面 共面或不共面 解析 AB 3 4 5 AC 1 2 2 AD 9 14 16 设AD xAB yAC 2 即 9 14 16 3x y 4x 2y 5x 2y Error Error 从而 A B C D 四点共面 答案 共面 4 如图在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 E F G 分别是 A1D1 D1D D1C1的中点 求证 平面 EFG 平面 AB1C 证明 设AB a AD b 1 AA c 则EG 1 ED 1 D G a b AC a b 2EG 1 2 EG AC EF 1 ED 1 D F b c b c 1 2 1 2 1 2 1 B C 11 B C 1 C C b c 2EF EF 1 B C 又 EG 与 EF 相交 AC 与 B1C 相交 平面 EFG 平面 AB1C 题组三空间向量数量积及应用 5 如图所示 已知空间四边形的每条边和对角线长都等于 a 点 E F G 分别为 AB AD DC 的中点 则 a2等于 A 2BA BC B 2AD BD C 2FG CA D 2EF CB 解析 AD BD 2AD BD 2a2 cos a2 3 3 答案 B 6 2010 长沙模拟 二面角 l 为 60 A B 是棱 l 上的两点 AC BD 分别在半平面 内 AC l BD l 且 AB AC BD 2a 则 CD 的长为 A 2a B a C a D a 53 解析 AC l BD l AC BD 60 且AC BA 0 AB BD 0 CD CA AB BD 3 CD 2 CAABBD 2a a2 a2 2a 2 2a 2acos120 答案 A 7 如图 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1 且 两夹角为 60 1 求 AC1的长 2 求 BD1与 AC 夹角的余弦值 解 设AB a AD b 1 AA c 则两两夹角为 60 且模均为 1 1 1 AC AC 1 CC AB AD 1 AA a b c 1 AC 2 a b c 2 a 2 b 2 c 2 2a b 2b c 2a c 3 6 1 1 6 1 2 1 AC 即 AC1的长为 66 2 1 BD BD 1 DD AD AB 1 AA b a c 1 BD AC b a c a b a b a2 a c b2 a b b c 1 1 BD AC b a c 22 a b 23 cos 1 BD AC 1 1 BD AC BDAC A A A A 1 2 3 6 6 BD1与 AC 夹角的余弦值为 6 6 题组四空间向量及其运算的综合 8 已知向量 a 1 3 2 b 2 1 1 O 为原点 点 A 3 1 4 B 2 2 2 1 求 2a b 2 在直线 AB 上 是否存在一点 E 使得OE b 解 1 2a b 2 6 4 2 1 1 0 5 5 故 2a b 5 02 5 2 522 2 假设存在一点 E 满足题意 即AE t AB t 0 4 OE OA AE OA t AB 3 1 4 t 1 1 2 3 t 1 t 4 2t 若OE b 则OE b 0 所以 2 3 t 1 t 4 2t 0 解得 t 9 5 因此存在点 E 使得OE b 此时点 E 的坐标为 6 5 14 5 2 5 9 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD ADC 90 3AD DC 3 AB 2 E 是 DC 上的点 且满足 DE 1 连结 AE 将 DAE 沿 AE 折起到 D1AE 的位置 使得 D1AB 60 设 AC 与 BE 的交点为 O 1 试用基向量AB AE 1 AD 表示向量 1 OD 2 求异面直线 OD1与 AE 所成角的余弦值 3 判断平面 D1AE 与平面 ABCE 是否垂直 并说明理由 解 1 AB CE AB CE 2 四边形 ABCE 是平行四边形 O 为 BE 的中点 1 OD 1 AD AO 1 AD AB AE 1 2 1 AD AB AE 1 2 1 2 2 设异面直线 OD1与 AE 所成的角为 则 cos cos 1 OD AE 1 1 OD AE ODAE A A A A 1 OD AE 1 AD AB AE AE 1 2 1 2 1 AD AE AB AE AE 2 1 2 1 2 1 cos45 2 cos45 2 2 1 22 1 22 1 5 1 OD 2 1 1 2 ADAE 6 2 cos 1 1 OD AE ODAE A A A A 1 6 2 2 3 3 故异面直线 OD1与 AE 所成角的余弦值为 3 3 3 平面 D1AE 平面 ABCE 证明如下 取 AE 的中点 M 则 1 D M AM 1 AD AE 1 AD 1 2 1 D M AE AE 1 AD AE 1 2 AE 2 1 AD AE 1 2 2 1 cos45 0 1 222 1 D M AE D1M AE 1 D M AB AE