小学奥数染色与操作问题教师版

一 染色问题 这里的染色问题不是要求如何染色 然后问有多少种染色方法的那类题目 它指的是一种解题方法 染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法 通过将问题中的对象适当染色 我们可以更形象地 观察分析出其中所蕴含的关系 再经过一定的逻辑推理 便能得出问题的答案 这类问题不需要太多的数 学知识 但技巧性 逻辑性较强 要注意学会几种典型的染色问题 二 操作问题 实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力 激发学生探索数学规律的兴趣 并通过寻找最佳策略过程 培养学生的创造性思维能力 这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因 模块一 染色问题 例例 1 六年级一班全班有六年级一班全班有 3535 名同学 共分成名同学 共分成 5 5 排 每排排 每排 7 7 人 坐在教室里 每个座位的前后左右四人 坐在教室里 每个座位的前后左右四 个位置都叫做它的邻座 如果要让这个位置都叫做它的邻座 如果要让这 3535 名同学各人都恰好坐到他的邻座上去 能办到吗名同学各人都恰好坐到他的邻座上去 能办到吗 为什为什 么 么 解析解析 划一个 5 7 的方格表 其中每一个方格表示一个座位 将方格黑白相间地染上颜色 这样黑色 座位与白色座位都成了邻座 因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格 所有 黑格的坐到白格 而实际图中有 17 个黑格 18 个白格 个数不等 故不能办到 巩固巩固 右图是某一湖泊的平面图 图中所有曲线都是湖岸右图是某一湖泊的平面图 图中所有曲线都是湖岸 1 1 如果如果 P P 点在岸上 那么点在岸上 那么 A A 点是在岸上还是在水中 点是在岸上还是在水中 2 2 某人过此湖泊 他下水时脱鞋 上岸时穿鞋某人过此湖泊 他下水时脱鞋 上岸时穿鞋 如果他从如果他从 A A 点出发走到某点点出发走到某点 B B 他穿鞋与脱鞋的总次数是 他穿鞋与脱鞋的总次数是 奇数 那么奇数 那么 B B 点是在岸上还是在水中 为什么 点是在岸上还是在水中 为什么 解析解析 1 已知 P 点在陆地上 如果在图上用阴影表示陆地 就可以看出 A 点在水中 2 从水中经过一次陆地到水中 脱鞋与穿鞋的次数的和为 2 由于 A 点在水中 所以不管怎 么走 走在水中时 脱鞋 穿鞋的次数的和总是偶数 既然题中说 脱鞋的次数与穿鞋的次数的 和是个奇数 那么 B 点必定在岸上 巩固巩固 某班有某班有 4545 名同学按名同学按 9 9 行行 5 5 列坐好 老师想让每位同学都坐到他的邻座列坐好 老师想让每位同学都坐到他的邻座 前后左右前后左右 上去 问这能上去 问这能 否办到否办到 第十一讲 染色与操作问第十一讲 染色与操作问 题题 解析解析 将 5 9 长方形自然染色 发现黑格的邻座都是白格 白格的邻座都是黑格 因此每位同学都坐 到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格 所有黑格的坐到白格 而实际图中有 23 个黑格 22 个 白格 个数不等 故不能办到 例例 2 右图是某一套房子的平面图 共右图是某一套房子的平面图 共 1212 个房间 每相邻两房间都有门相通 请问 你能从某个房个房间 每相邻两房间都有门相通 请问 你能从某个房 间出发 不重复地走完每个房间吗间出发 不重复地走完每个房间吗 解析解析 如图所示 将房间黑白相间染色 发现只有 5 个白格 7 个黑格 因为每次只能由黑到白或由白 到黑 路线必然黑白相问 显然应该从多的白格开始 但路线上 1 白 1 黑 1 白 1 黑 直到 5 白 5 黑后还余 2 黑 不可能从黑格到黑格 故无法实现不重复走遍 巩固巩固 有一次车展共有一次车展共 6 6 366 6 36 个展室 如右图 每个展室与相邻的展室都有门相通 入口和出口如图个展室 如右图 每个展室与相邻的展室都有门相通 入口和出口如图 所示 参观者能否从入口进去 不重复地参观完每个展室再从出口出来所示 参观者能否从入口进去 不重复地参观完每个展室再从出口出来 解析解析 如右下图 对每个展室黑白相间染色 同样每次只能黑格到白格或白格到黑格 入口和出口处 都是白格 故路线黑白相间 首尾都是白格 于是应该白格比黑格多 1 个 而实际上白格 黑 格都是 18 个 故不可能做到不重复走遍每个展室 例例 3 在一个正方形的果园里 种有在一个正方形的果园里 种有 6363 棵果树 加上右下角的一间小屋 整齐地排列成八行八列 棵果树 加上右下角的一间小屋 整齐地排列成八行八列 如图 如图 1 1 守园人从小屋出发经过每一棵树 不重复也不遗漏守园人从小屋出发经过每一棵树 不重复也不遗漏 不许斜走不许斜走 最后又回到小屋 最后又回到小屋 行吗 如果有行吗 如果有 8080 棵果树 如图 棵果树 如图 2 2 连小屋排成九行九列呢 连小屋排成九行九列呢 解析解析 下图 1 中可以回到小屋 守园人只能黑白相间地走 走到的第奇数棵树是白的 第偶数棵树是 黑的 走到第 63 棵树应是白的 在小屋相邻的树都标注白色 所以可以回到小屋 图 2 不行 从小屋出发 当走到 80 棵树应是黑色 而黑树与小木屋不相邻 无法直接回到小木屋 例例 4 右图是半张中国象棋盘 棋盘上已放有一只马右图是半张中国象棋盘 棋盘上已放有一只马 众所周知 马是走众所周知 马是走 日日 字的字的 请问 这只马请问 这只马 能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点 然后回到出发点 能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点 然后回到出发点 解析解析 马走 日 字 在中国象棋盘上走有什么规律呢 为方便研究规律 如下图所示 先在棋盘各 交点处相间标上 和 图中共有 22 个 和 23 个 因为马走 日 字 每步只能从 跳到 或由 跳到 所以马从某点跳到同色的点 指 或 要跳偶数步 跳到不同色的点 要跳奇数步 现在马在 点 要跳回这一点 应跳偶数步 可是棋盘上共有 23 22 45 个 点 不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点 如果马的出发点不是在 点上而是在 点上 那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的 每个点 最后回到出发点上呢 按照上面的分析 显然也是不可能的 但是如果放弃 回到出 发点 的要求 那么情况就不一样了 从某点出发 跳遍半张棋盘上除起点以外的其它 44 点 要跳 44 步 44 是偶数 所以起点和终点应是同色的点 指 或 因为 44 步跳过的点 与 点 各 22 个 所以起点必是 终点也是 也就说是 当不要求回到出发点时 只要从 出 发 就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点 例例 5 右图是由右图是由 1414 个大小相同的方格组成的图形个大小相同的方格组成的图形 试问能不能剪裁成试问能不能剪裁成 7 7 个由相邻两方格组成的长方个由相邻两方格组成的长方 形 形 解析解析 将这 14 个小方格黑白相间染色 见右下图 有 8 个黑格 6 个白格 相邻两个方格必然是一黑 一白 如果能剪裁成 7 个小长方形 那么 14 个格应当是黑 白各 7 个 与实际情况不符 所以 不能剪裁成 7 个由相邻两个方格组成的长方形 巩固巩固 右图是由右图是由 4040 个小正方形组成的图形 能否将它剪裁成个小正方形组成的图形 能否将它剪裁成 2020 个相同的长方形 个相同的长方形 解析解析 将 40 个小正方形想剪裁成 20 个相同的长方形 就是将图形分割成 20 个 1 2 的长方形 将其 黑白相间染色后 发现有 21 黑 19 白 黑白格数不等 而 1 2 的小矩形一次覆盖黑白格各一 个 巩固巩固 下面的三个图形都是从下面的三个图形都是从 4 44 4 的正方形纸片上剪去两个的正方形纸片上剪去两个 1 11 1 的小方格后得到的的小方格后得到的 问 能否把它问 能否把它 们分别剪成们分别剪成 1 21 2 的七个小矩形的七个小矩形 解析解析 如右上图 1 能 黑白格数相等 2 3 不能 黑白格数不等 而 1 2 的小矩形一次覆 盖黑白格各一个 例例 6 用用 11 个个和和 5 个个能否盖住能否盖住 8 8 的大正方形的大正方形 解析解析 如右图 对 8 8 正方形黑白相问染色后 发现必然盖住 2 白 2 黑 5 个则盖住 10 白 10 黑 则盖住了 3 白 1 黑或 3 黑 1 白 从奇偶性考虑 都是奇数 而这种形状共 11 个 奇数个奇数相加仍为奇数 故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数 加另一种形状的 10 白 10 黑 两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格 但实际染色后共 32 个白格 32 个黑格 故不可能 按题目要求盖住 注 本题中每个盖 3 白 1 黑或 3 黑 1 白 11 个这种形状盖住的不一定 是 33 白 11 黑或 33 黑 11 白 因为可能一部分盖 3 白 1 黑 另一部分盖 3 黑 1 白 这是一个容易 犯错的地方 巩固巩固 能否用能否用 9 个个所示的卡片拼成一个所示的卡片拼成一个 6 6 的棋盘 的棋盘 解析解析 不能 将 6 6 的棋盘黑白相间染色 见右图 有 18 个黑格 每张卡片盖住的黑格数不是 1 就 是 3 9 张卡片盖住的黑格数之和是奇数 不可能盖住 18 个黑格 巩固巩固 9 个个 1 4 的长方形不能拼成一个的长方形不能拼成一个 6 6 的正方形 请你说明理由 的正方形 请你说明理由 解析解析 本题若用传统的自然染色法 不能说明问题 我们对 6 6 正方形用四种颜色染色 因为要用 1 4 来覆盖 为了方便起见 这里用 1 2 3 4 分别代表四种颜色 也为了使每个 1 4 长方 形在任何位置盖住的都一样 我们采用沿对角线染色 如右图 这样 可以发现无论将 1 4 长 方形放于何处 盖住的必然是 1 2 3 4 各一个 要不重叠地拼出 6 6 需 9 个 1 4 长方形 则必然盖住 1 2 3 4 各 9 个 但实际上图中一共是 9 个 l 10 个 2 9 个 3 8 个 4 因而不 可能用 9 个 1 4 长方形拼出 6 6 正方形 巩固巩固 用若干个用若干个 2 22 2 和和 3 33 3 的小正方形不能拼成一个的小正方形不能拼成一个 11 1111 11 的大正方形 请你说明理由 的大正方形 请你说明理由 解析解析 如右图所示 将 2 2 或 3 3 的小正方形沿格线摆在右图的任何位置 必定盖住偶数个阴影方 格 而阴影方格共有 77 个 是奇数 所以只用 2 2 和 3 3 的小正方形 不可能拼成 11 11 的大正方形 例例 7 对于表 对于表 1 1 每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数 能否经过若干次后 各次减去或 每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数 能否经过若干次后 各次减去或 加上的数可以不同 加上的数可以不同 变为表 变为表 2 2 为什么 为什么 解析解析 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数 所以表中九个数码的总和经过变化后 等于原 来的总和加上或减去那个数的 2 倍 因此总和的奇偶性没有改变 原来九个数的总和为 1 2 9 45 是奇数 经过若干次变化后 总和仍应是奇数 与右上表九个数的总和是 4 矛盾 所以不可能变成右上表 模块二 操作问题模块二 操作问题 例例 8 右图是一个圆盘 中心轴固定在黑板上右图是一个圆盘 中心轴固定在黑板上 开始时 圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着开始时 圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着 0 0 然然 后转动圆盘 每次可以转动后转动圆盘 每次可以转动 90 90 的任意整数倍 圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位的任意整数倍 圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位 置 将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上置 将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上 问 经过若干次后 黑板上的四个数是否可能问 经过若干次后 黑板上的四个数是否可能 都是都是 999999 解析解析 不可能 因为每次加上的数之和是 1 2 3 4 10 所以黑板上的四个数之和永远是 10 的整数倍 999 4 3996 不是 10 的倍数 所以黑板上的四个数不可都是 999 例例 9 有有 7 7 个苹果要平均分给个苹果要平均分给 1212 个小朋友 园长要求每个苹果最多分成个小朋友 园长要求每个苹果最多分成 5 5 份 应该怎样分 份 应该怎样分 解析解析 显然每人应该分 12 7 12 4 12 3 3 1 4 1 于是 拿 4 个苹果 每个苹果 3 等分 拿 3 个苹果 每个苹果 4 等分 例例 10 有一位老人 他有三个儿子和十七匹马有一位老人 他有三个儿子和十七匹马 他在临终前对他的儿子们说 他在临终前对他的儿子们说 我已经写好了遗嘱 我已经写好了遗嘱 我把马留给你们 你们一定要按我的要求去分我把马留给你们 你们一定要按我的要求去分 老人去世后 三兄弟看到了遗嘱老人去世后 三兄弟看到了遗嘱 遗嘱上写着 遗嘱上写着 我把十七匹马全都留给我的三个儿子我把十七匹马全都留给我的三个儿子 长子得长子得 次子得 次子得 给幼子 给幼子 不许流血 不许杀马不许流血 不许杀马 你你 1 2 1 3 1 9 们必须遵从父亲的遗愿 们必须遵从父亲的遗愿 请你帮助他们分分马吧 请你帮助他们分分马吧 解析解析 这三个兄弟迷惑不解 尽管他们在学校里学习成绩都不错 可是他们还是不会用 17 除以 2 用 17 除以 3 用 17 除以 9 又不让马流血 于是他们就去请教当地一位公认的智者 这位智者看了 遗嘱以后说 我借给你们一匹马 去按你们父亲的遗愿分吧 老人原有 17 匹马 加上智者 借给的一匹 一共 18 匹 于是三兄弟按照 18 匹马的 和 分别得到了九匹 六匹和两匹 1 2 1 3 1 9 9 6 2 17 匹 还剩下一匹 是智者借给的那匹 还给智者 巩固巩固 甲 乙 丙 丁分甲 乙 丙 丁分 29 头羊头羊 甲 乙 丙 丁分别得甲 乙 丙 丁分别得 应如何分 应如何分 1 1 11 2 5 6 10 解析解析 借一头羊 甲 乙 丙 丁依次分得 15 6 5 3 头羊 再将借得 1 头羊还回去 例例 11 8 个金币中 有一个比真金币轻的假金币 你能用天平称两次就找出来吗 天平无砝码 个金币中 有一个比真金币轻的假金币 你能用天平称两次就找出来吗 天平无砝码 解析解析 讲解此题前 教师可先问学生 3 个金币 有 1 个假的比较轻 你称 1 次能把它找出来么 将 8 个金币分成 3 3 2 3 组 把 3 和 3 进行称量 如果重量相同 称剩下的 2 个金币即可找 到假币 如果重量不同 将比较重的 3 个金币拿出 用天平称量 2 个 剩下 1 个 天平不平衡 易得答案 若此时天平平衡则剩下的那个是假的 巩固巩固 9 个金币中 有一个比真金币轻的假金币 你能用天平称两次就找出来吗 天平无砝码 个金币中 有一个比真金币轻的假金币 你能用天平称两次就找出来吗 天平无砝码 解析解析 第一次在左右两托盘各放置 3 个 一 如果不平衡 那么较轻的一侧的 3 个中有一个是假 的 从中任取两个分别放在两托盘内 如果不平衡 较低的一侧的那个是假的 如果平衡 剩下的一个是假的 二 如果平衡 剩下的三个中必有一个为假的 从中任取两个分别放在两 托盘内 如果不平衡 较低的一侧的那个是假的 如果平衡 剩下的那个是假的 这类称 量找假币的问题 一定要会分类 并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态 轻 重 平 所以分成 3 堆是很常见的分法 例例 12 据说有一天 韩信骑马走在路上 看见两个人正在路边为分油发愁据说有一天 韩信骑马走在路上 看见两个人正在路边为分油发愁 这两个人有一只容量这两个人有一只容量 10 斤斤 的篓子 里面装满了油 还有一只空的罐和一只空的葫芦 罐可装的篓子 里面装满了油 还有一只空的罐和一只空的葫芦 罐可装 7 斤油 葫芦可装斤油 葫芦可装 3 斤油斤油 要要 把这把这 10 斤油平分 每人斤油平分 每人 5 斤斤 但是谁也没有带秤 只能拿手头的三个容器倒来倒去但是谁也没有带秤 只能拿手头的三个容器倒来倒去 应该怎样应该怎样 分呢 分呢 解析解析 韩信给两人说了一句话 葫芦归篓 篓归罐 两人按此分油 果然把油分成了两半 具体做 法如下表 韩信的话指明了倒油的方向 始终按从篓向罐中倒 从罐向葫芦中倒 从葫芦向篓中倒的方向 操作 按照相反的方向倒 即 葫芦归罐 罐归篓 怎样 我们试试 看来也行 只是多倒了一次 要注意的是 保持一定的方向很重要 如果在倒油的过程中 出现 从甲倒向乙 又从乙倒回甲 这两步不一定挨着 那么这两步相互抵消 肯定可以简化掉 所 以最佳的倒油方法是始终按一个方向倒 巩固巩固 大桶能装大桶能装 5 千克油 小桶能装千克油 小桶能装 4 千克油 你能用这两只桶量出千克油 你能用这两只桶量出 6 千克油吗千克油吗 怎么量 怎么量 解析解析 先将 5 千克的桶倒满油 再用大桶将小桶倒满 大桶中还有 5 4 1 千克 油 然后将小桶倒空 将大桶中 1 千克倒到小桶中 最后注满大桶 连小桶中共是 5 1 6 千克 这道题要学会借助于 大桶小桶容积的差量出想获得的中间量 1 千克 巩固巩固 有一个小朋友叫小满 他学会了韩信分油的方法 心里很是得意有一个小朋友叫小满 他学会了韩信分油的方法 心里很是得意 一天 他遇到了两位农妇一天 他遇到了两位农妇 两两 位农妇有两个各装满了位农妇有两个各装满了 10 升奶的罐子 还有一个升奶的罐子 还有一个 5 升和一个升和一个 4 升的小桶 她们请求小满就用这升的小桶 她们请求小满就用这 些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入 2 升奶升奶 小满按照韩信分油的方法 略加变通 就将奶小满按照韩信分油的方法 略加变通 就将奶 分好了 你说说具体的做法 分好了 你说说具体的做法 解析解析 答案如表所示 例例 13 有大 中 小有大 中 小 3 个瓶子 最多分别可以装入水个瓶子 最多分别可以装入水 1000 克 克 700 克和克和 300 克克 现在大瓶中装满水 现在大瓶中装满水 希望通过水在希望通过水在 3 个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出 100 克水的刻度线 问最少要倒几次水克水的刻度线 问最少要倒几次水 解析解析 通过对三个数字的分析 我们发现 700 300 300 100 是计算步数最少的得到 100 的方法 而由 于我们每计算一步就相当于倒一次水 所以倒水最少的方案应该是 1 大瓶往中瓶中倒满水 2 中瓶往小瓶中倒满水 这时中瓶中还剩下 400 克水 3 小瓶中水倒回大瓶 4 中瓶再往小瓶中倒满水 这时中瓶中只剩下 100 克水 标记 5 小瓶中水倒回大瓶 6 中瓶中 100 水倒入小瓶 标记 所以最少要倒 6 次水 本题关键是 小瓶中的水每次都要倒掉 不然无法再往小瓶中倒水的 例例 14 老师在黑板上画了老师在黑板上画了 9 9 个点 要求同学们用一笔画出一条通过这个点 要求同学们用一笔画出一条通过这 9 9 个点的折线个点的折线 只许拐三个弯儿只许拐三个弯儿 你能办到吗 你能办到吗 解析解析 大家开始尝试多次之后可能会得出 不可能 的结论 但是大家不要忽略一点 题中并没要求 所有折线只能限定在这 9 个点的范围之内 我们把折线的范围冲破本题 9 个点所限定的正方形 那么问题就容易解决了 如上右图 例例 15 你有四个装药丸的罐子 每个药丸都有一定的重量 被污染的药丸是没被污染的重量 你有四个装药丸的罐子 每个药丸都有一定的重量 被污染的药丸是没被污染的重量 1 1 只称只称 量一次 如何判断哪个罐子的药被污染了 量一次 如何判断哪个罐子的药被污染了 解析解析 第一瓶拿一个药丸 第二瓶拿两个药丸 第三瓶拿三个 第四瓶拿四个 称一下比标准的 10 个 药丸重多少 重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染 例例 16 如右图所示 将如右图所示 将 1 1 1212 顺次排成一圈顺次排成一圈 如果报出一个数如果报出一个数 a a 在 在 1 1 1212 之间 之间 那么就从数 那么就从数 a a 的位的位 置顺时针走置顺时针走 a a 个数的位置个数的位置 例如例如 a 3a 3 就从 就从 3 3 的位置顺时针走的位置顺时针走 3 3 个数的位置到达个数的位置到达 6 6 的位置 的位置 a 11a 11 就从 就从 1111 的位置顺时针走的位置顺时针走 1111 个数的位置到达个数的位置到达 1010 的位置的位置 问 问 a a 是多少时 可以走到是多少时 可以走到 7 7 的的 位置 位置 解析解析 不存在 当 1 a 6 时 从 a 的位置顺时针走 a 个数的位置 应到达 2a 的位置 当 7 a 12 时 从 a 的位置顺时针走 a 个数的位置 应到达 2a 12 的位置 由上面的分析知 不论 a 是什么数 结果总是走到偶数的位置 不会走到 7 的位置 例例 17 对于任意一个自然数对于任意一个自然数 n n 当 当 n n 为奇数时 加上为奇数时 加上 121121 当 当 n n 为偶数时 除以为偶数时 除以 2 2 这算一次操作现 这算一次操作现 在对在对 231231 连续进行这种操作 在操作过程中是否可能出现连续进行这种操作 在操作过程中是否可能出现 100100 为什么 为什么 解析解析 同学们碰到这种题 可能会 具体操作 一下 得到 这个过程还可以继续下去 虽然一直没有得到 100 但也不能肯定得不到 100 当然 连续操作下去会发现 数字一旦重复出现后 这一过程就进入循环 这时就可以肯定不会出现 100 因为这一过程很长 所以这 不是好方法 因为 231 和 121 都是 11 的倍数 2 不是 11 的倍数 所以在操作过程中产生的数也应当是 11 的倍数 100 不是 11 的倍数 所以不可能出现 操作问题不要一味地去 操作 而要找到解决问题的窍门 课后练习课后练习 练习练习 1 1 一只电动老鼠从左下图的一只电动老鼠从左下图的 A A 点出发 沿格线奔跑 并且每到一个格点不是向左转就是向右转 点出发 沿格线奔跑 并且每到一个格点不是向左转就是向右转 当这只电动老鼠又回到当这只电动老鼠又回到 A A 点时 甲说它共转了点时 甲说它共转了 8181 次弯 乙说它共转了次弯 乙说它共转了 8282 次弯 如果甲 乙二次弯 如果甲 乙二 人有一人说对了 那么谁正确 人有一人说对了 那么谁正确 解析解析 甲 如右下图所示 将格点黑白相间染色 因为老鼠遇到格点必须转弯 所以经过多少格点就转 了多少次弯 如左下图所示 老鼠从黑点出发 到达任何一个黑点都转了奇数次弯 所以甲正 确 练习练习 2 2 如图 如图 1 对相邻的两格内的数同时加上 对相邻的两格内的数同时加上 1 或同时减去或同时减去 1 叫做一次操作叫做一次操作 经过若干次操作后由经过若干次操作后由 1 变成图变成图 2 则图 则图 2 中中 A 处的数是多少 处的数是多少 解析解析 按图中要求操作 图 3 中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变 所以 A 1 1 1 1 1 0 0 0 0 5 练习练习 3 3 一个大桶装了一个大桶装了 1212 升水 另外有恰好能装升水 另