小学数学常用的十一种解题思路

小学数学常用的十一种解题思路 一 直接思路一 直接思路 本文选自 本文选自 小学数学解题方法 思路 技巧汇编小学数学解题方法 思路 技巧汇编 点击点击 直接思路直接思路 是解题中的常规思路 它一般是通过分析 综合 归纳等方法 直接找是解题中的常规思路 它一般是通过分析 综合 归纳等方法 直接找 到解题的途径 到解题的途径 顺向综合思路顺向综合思路 从已知条件出发 根据数量关系先选择两个已知数量 提出可以从已知条件出发 根据数量关系先选择两个已知数量 提出可以 解决的问题 然后把所求出的数量作为新的已知条件 与其他的已知条件搭配 再提出可以解决的问题 然后把所求出的数量作为新的已知条件 与其他的已知条件搭配 再提出可以 解决的问题 这样逐步推导 直到求出所要求的解为止 这就是顺向综合思路 运用这种思解决的问题 这样逐步推导 直到求出所要求的解为止 这就是顺向综合思路 运用这种思 路解题的方法叫路解题的方法叫 综合法综合法 例例 1 兄弟俩骑车出外郊游 弟弟先出发 速度为每分钟兄弟俩骑车出外郊游 弟弟先出发 速度为每分钟 200 米 弟弟出发米 弟弟出发 5 分钟分钟 后 哥哥带一条狗出发 以每分钟后 哥哥带一条狗出发 以每分钟 250 米的速度追赶弟弟 而狗以每分钟米的速度追赶弟弟 而狗以每分钟 300 米的速度向米的速度向 弟弟追去 追上弟弟后 立即返回 见到哥哥后又立即向弟弟追去 直到哥哥追上弟弟 这弟弟追去 追上弟弟后 立即返回 见到哥哥后又立即向弟弟追去 直到哥哥追上弟弟 这 时狗跑了多少千米 时狗跑了多少千米 分析 按顺向综合思路探索 分析 按顺向综合思路探索 1 根据弟弟速度为每分钟 根据弟弟速度为每分钟 200 米 出发米 出发 5 分钟的条件 可以求什么 分钟的条件 可以求什么 可以求出弟弟走了多少米 也就是哥哥追赶弟弟的距离 可以求出弟弟走了多少米 也就是哥哥追赶弟弟的距离 2 根据弟弟速度为每分钟 根据弟弟速度为每分钟 200 米 哥哥速度为每分钟米 哥哥速度为每分钟 250 米 可以求什么 米 可以求什么 可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米 可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米 3 通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 1000 米 每分钟可追上的距离米 每分钟可追上的距离 为为 50 米 根据这两个条件 可以求什么 米 根据这两个条件 可以求什么 可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间 可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间 4 狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑 看起来很复杂 仔细想一想 狗跑的时 狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑 看起来很复杂 仔细想一想 狗跑的时 间与谁用的时间是一样的 间与谁用的时间是一样的 狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的 狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的 5 已知狗以每分钟 已知狗以每分钟 300 米的速度 在哥哥与弟弟之间来回奔跑 直到哥哥追上米的速度 在哥哥与弟弟之间来回奔跑 直到哥哥追上 弟弟为止 和哥哥追上弟弟所需的时间 可以求什么 弟弟为止 和哥哥追上弟弟所需的时间 可以求什么 可以求出这时狗总共跑了多少距离 可以求出这时狗总共跑了多少距离 这个分析思路可以用下图 图这个分析思路可以用下图 图 2 1 表示 表示 例例 2 下面图形 图下面图形 图 2 2 中有多少条线段 中有多少条线段 分析 仍可用综合思路考虑 分析 仍可用综合思路考虑 我们知道 直线上两点间的一段叫做线段 如果我们把上面任意相邻两点间的线段我们知道 直线上两点间的一段叫做线段 如果我们把上面任意相邻两点间的线段 叫做基本线段 那么就可以这样来计数 叫做基本线段 那么就可以这样来计数 1 左端点是 左端点是 A 的线段有哪些 的线段有哪些 有有 AB AC AD AE AF AG 共共 6 条 条 2 左端点是 左端点是 B 的线段有哪些 的线段有哪些 有有 BC BD BE BF BG 共共 5 条 条 3 左端点是 左端点是 C 的线段有哪些 的线段有哪些 有有 CD CE CF CG 共共 4 条 条 4 左端点是 左端点是 D 的线段有哪些 的线段有哪些 有有 DE DF DG 共共 3 条 条 5 左端点是 左端点是 E 的线段有哪些 的线段有哪些 有有 EF EG 共共 2 条 条 6 左端点是 左端点是 F 的线段有哪些 的线段有哪些 有有 FG 共共 1 条 条 然后把这些线段加起来就是所要求的线段 然后把这些线段加起来就是所要求的线段 二 逆向分析思路二 逆向分析思路 从题目的问题入手 根据数量关系 找出解这个问题所需要的两个条件 然后把其中的从题目的问题入手 根据数量关系 找出解这个问题所需要的两个条件 然后把其中的 一个 或两个 未知的条件作为要解决的问题 再找出解这一个 或两个 问题所需的条件 一个 或两个 未知的条件作为要解决的问题 再找出解这一个 或两个 问题所需的条件 这样逐步逆推 直到所找的条件在题里都是已知的为止 这就是逆向分析思路 运用这种思这样逐步逆推 直到所找的条件在题里都是已知的为止 这就是逆向分析思路 运用这种思 路解题的方法叫分析法 路解题的方法叫分析法 例例 1 两只船分别从上游的两只船分别从上游的 A 地和下游的地和下游的 B 地同时相向而行 水的流速为每分钟地同时相向而行 水的流速为每分钟 30 米 两船在静水中的速度都是每分钟米 两船在静水中的速度都是每分钟 600 米 有一天 两船又分别从米 有一天 两船又分别从 A B 两地同时相向而两地同时相向而 行 但这次水流速度为平时的行 但这次水流速度为平时的 2 倍 所以两船相遇的地点比平时相遇点相差倍 所以两船相遇的地点比平时相遇点相差 60 米 求米 求 A B 两地间的距离 两地间的距离 分析 用分析思路考虑 分析 用分析思路考虑 1 要求 要求 A B 两地间的距离 根据题意需要什么条件 两地间的距离 根据题意需要什么条件 需要知道两船的速度和与两船相遇的时间 需要知道两船的速度和与两船相遇的时间 2 要求两船的速度和 必要什么条件 要求两船的速度和 必要什么条件 两船分别的速度各是多少 题中已告之在静水中两船都是每分钟两船分别的速度各是多少 题中已告之在静水中两船都是每分钟 600 米 那么不米 那么不 论其水速是否改变 其速度和均为 论其水速是否改变 其速度和均为 600 600 米 这是因为顺水船速为 船速 米 这是因为顺水船速为 船速 水速 逆水速 逆 水船速为 船速水船速为 船速 水速 故顺水船速与逆水船速的和为 船速水速 故顺水船速与逆水船速的和为 船速 水速水速 船速船速 水速水速 2 个船速个船速 实为船在静水中的速度 实为船在静水中的速度 3 要求相遇的时间 根据题意要什么条件 要求相遇的时间 根据题意要什么条件 两次相遇的时间因为距离相同 速度和相同 所以应该是相等的 这就是说 尽管两次相遇的时间因为距离相同 速度和相同 所以应该是相等的 这就是说 尽管 水流的速度第二次比第一次每分钟增加了水流的速度第二次比第一次每分钟增加了 30 米 仍不会改变相遇时间 只是改变了相遇地米 仍不会改变相遇时间 只是改变了相遇地 点 偏离原相遇点点 偏离原相遇点 60 米 由此可知两船相遇的时间为米 由此可知两船相遇的时间为 60 30 2 小时 小时 此分析思路可以用下图 图此分析思路可以用下图 图 2 3 表示 表示 例例 2 五环图由内径为五环图由内径为 4 外径为 外径为 5 的五个圆环组成 其中两两相交的小曲边四边的五个圆环组成 其中两两相交的小曲边四边 形 阴影部分 的面积都相等 如图形 阴影部分 的面积都相等 如图 2 4 已知五个圆环盖住的总面积是 已知五个圆环盖住的总面积是 122 5 求每个 求每个 小曲边四边形的面积 圆周率小曲边四边形的面积 圆周率 取取 3 14 分析 仍用逆向分析思路探索 分析 仍用逆向分析思路探索 1 要求每个小曲边四边形的面积 根据题意必须知道什么条件 要求每个小曲边四边形的面积 根据题意必须知道什么条件 曲边四边形的面积 没有公式可求 但若知道曲边四边形的面积 没有公式可求 但若知道 8 个小曲边四边形的总面积 则只要个小曲边四边形的总面积 则只要 用用 8 个曲边四边形总面积除以个曲边四边形总面积除以 8 就可以得到每个小曲边四边形的面积了 就可以得到每个小曲边四边形的面积了 2 要求 要求 8 个小曲边四边形的总面积 根据题意需要什么条件 个小曲边四边形的总面积 根据题意需要什么条件 8 个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分 因此只要把五个圆环个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分 因此只要把五个圆环 的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了 的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了 3 要求五个圆环的总面积 根据题意需要什么条件 要求五个圆环的总面积 根据题意需要什么条件 求出一个圆环的面积 然后乘以求出一个圆环的面积 然后乘以 5 就是五个圆环的总面积 就是五个圆环的总面积 4 要求每个圆环的面积 需要什么条件 要求每个圆环的面积 需要什么条件 已知圆环的内径 已知圆环的内径 4 和外径 和外径 5 然后按圆环面积公式求就是了 然后按圆环面积公式求就是了 圆环面积公式为 圆环面积公式为 S 圆环圆环 R2 r2 R r R r 其思路可用下图 图其思路可用下图 图 2 5 表示 表示 三 一步倒推思路三 一步倒推思路 顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系 不可分割的 在解题时 两种思路常常协同顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系 不可分割的 在解题时 两种思路常常协同 运用 一般根据问题先逆推第一步 再根据应用题的条件顺推 使双方在中间接通 我们把运用 一般根据问题先逆推第一步 再根据应用题的条件顺推 使双方在中间接通 我们把 这种思路叫这种思路叫 一步倒推思路一步倒推思路 这种思路简明实用 这种思路简明实用 例例 1 一只桶装满一只桶装满 10 千克水 另外有可装千克水 另外有可装 3 千克和千克和 7 千克水的两只空桶 利用这三千克水的两只空桶 利用这三 只桶 怎样才能把只桶 怎样才能把 10 千克水分为千克水分为 5 千克的两份 千克的两份 分析 用一步倒推思路考虑 分析 用一步倒推思路考虑 1 逆推第一步 把 逆推第一步 把 10 千克水平分为千克水平分为 5 千克的两份 根据题意 关键是要找到千克的两份 根据题意 关键是要找到 什么条件 什么条件 因为有一只可装因为有一只可装 3 千克水的桶 只要在另一只桶里剩千克水的桶 只要在另一只桶里剩 2 千克水 利用千克水 利用 3 2 5 就 就 可以把水分成可以把水分成 5 千克一桶 所以关键是要先倒出一个千克一桶 所以关键是要先倒出一个 2 千克水 千克水 2 按条件顺推 第一次 按条件顺推 第一次 10 千克水倒入千克水倒入 7 千克桶 千克桶 10 千克水桶剩千克水桶剩 3 千克水 千克水 7 千克水倒入千克水倒入 3 千克桶 千克桶 7 千克水桶剩千克水桶剩 4 千克水 千克水 3 千克水桶里有水千克水桶里有水 3 千克 第二次 千克 第二次 3 千千 克桶的水倒入克桶的水倒入 10 千克水桶 这时千克水桶 这时 10 千克水桶里有水千克水桶里有水 6 千克 把千克 把 7 千克桶里的千克桶里的 4 千克水倒千克水倒 入入 3 千克水桶里 这时千克水桶里 这时 7 千克水桶里剩水千克水桶里剩水 1 千克 千克 3 千克水桶里有水千克水桶里有水 3 千克 第三次 千克 第三次 3 千千 克桶里的水倒入克桶里的水倒入 10 千克桶里 这时千克桶里 这时 10 千克桶里有水千克桶里有水 9 千克 千克 7 千克桶里的千克桶里的 1 千克水倒入千克水倒入 3 千克桶里 这时千克桶里 这时 7 千克桶里无水 千克桶里无水 3 千克桶里有水千克桶里有水 1 千克 第四次 千克 第四次 10 千克桶里的千克桶里的 9 千克千克 水倒入水倒入 7 千克桶里 千克桶里 10 千克水桶里剩下千克水桶里剩下 2 千克水 千克水 7 千克桶里的水倒入千克桶里的水倒入 3 千克桶里 原有千克桶里 原有 1 千克水 只倒出千克水 只倒出 2 千克水 千克水 7 千克桶里剩水千克桶里剩水 5 千克 千克 3 千克桶里有水千克桶里有水 3 千克 然后把千克 然后把 3 千克桶里的千克桶里的 3 千克水倒千克水倒 10 千克桶里 因为原有千克桶里 因为原有 2 千克水 这时也正好是千克水 这时也正好是 5 千克水了 千克水了 其思路可用下图 图其思路可用下图 图 2 6 和图和图 2 7 表示 表示 问题 问题 例例 2 今有长度分别为今有长度分别为 1 2 3 9 厘米的线段各一条 可用多少种不同的方法 厘米的线段各一条 可用多少种不同的方法 从中选用若干条线段组成正方形 从中选用若干条线段组成正方形 分析 仍可用一步倒推思路来考虑 分析 仍可用一步倒推思路来考虑 1 逆推第一步 要求能用多少种不同方法 从中选用若干条线段组成正方形必 逆推第一步 要求能用多少种不同方法 从中选用若干条线段组成正方形必 须的条件是什么 须的条件是什么 根据题意 必须知道两个条件 一是确定正方形边长的长度范围 二是每一种边长根据题意 必须知道两个条件 一是确定正方形边长的长度范围 二是每一种边长 有几种组成方法 有几种组成方法 2 从条件顺推 从条件顺推 因为九条线段的长度各不相同 所以用这些线段组成的正方形至少要因为九条线段的长度各不相同 所以用这些线段组成的正方形至少要 7 条 最多条 最多 用了用了 9 条 这样就可以求出正方形边长的长度范围为 条 这样就可以求出正方形边长的长度范围为 1 2 当边长为当边长为 7 厘米时 各边分别由厘米时 各边分别由 1 6 2 5 3 4 及及 7 组成 只有一种组成方法 组成 只有一种组成方法 当边长为当边长为 8 厘米时 各边分别由厘米时 各边分别由 1 7 2 6 3 5 及及 8 组成 也只有一种组成方组成 也只有一种组成方 法 法 当边长为当边长为 9 厘米时 各边分别由厘米时 各边分别由 1 8 2 7 3 6 及及 9 1 8 2 7 4 5 及及 9 2 7 3 6 4 5 及及 9 1 8 3 6 4 5 及及 9 1 8 2 7 3 6 及及 4 5 共共 5 种组种组 成方法 成方法 当边长为当边长为 10 厘米时 各边分别由厘米时 各边分别由 1 9 2 8 3 7 及及 4 6 组成 也只有一种组成 也只有一种 组成方法 组成方法 当边长为当边长为 11 厘米时 各边分别由厘米时 各边分别由 2 9 3 8 4 7 及及 5 6 组成 也只有一种组成 也只有一种 组成方法 组成方法 将上述各种组成法相加 就是所求问题了 将上述各种组成法相加 就是所求问题了 此题的思路图如下 图此题的思路图如下 图 2 8 问题 问题 四 还原思路四 还原思路 从叙述事情的最后结果出发利用已知条件 一步步倒着推理 直到解决问题 这种解题从叙述事情的最后结果出发利用已知条件 一步步倒着推理 直到解决问题 这种解题 思路叫还原思路 解这类问题 从最后结果往回算 原来加的用减 原来减的用加 原来乘思路叫还原思路 解这类问题 从最后结果往回算 原来加的用减 原来减的用加 原来乘 的用除 原来除的用乘 运用还原思路解题的方法叫的用除 原来除的用乘 运用还原思路解题的方法叫 还原法还原法 例例 1 一个数加上一个数加上 2 减去 减去 3 乘以 乘以 4 除以 除以 5 等于等于 12 你猜这个数是多少 你猜这个数是多少 分析 用还原思路考虑 分析 用还原思路考虑 从运算结果从运算结果 12 逐步逆推 这个数没除以逐步逆推 这个数没除以 5 时应等于多少 没乘以时应等于多少 没乘以 4 时应等于多少 时应等于多少 不减去不减去 3 时应等于多少 不加上时应等于多少 不加上 2 时又是多少 这里分别利用了加与减 乘与除之间的逆运时又是多少 这里分别利用了加与减 乘与除之间的逆运 算关系 一步步倒推还原 直找到答案 算关系 一步步倒推还原 直找到答案 其思路图如下 图其思路图如下 图 2 9 条件 条件 例例 2 李白街上走 提壶去打酒 遇店加一倍 见花喝一斗 三遇店和花 喝光壶李白街上走 提壶去打酒 遇店加一倍 见花喝一斗 三遇店和花 喝光壶 中酒 试问酒壶中 原有多少酒 中酒 试问酒壶中 原有多少酒 分析 用还原思路探索 分析 用还原思路探索 李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题 题意是 李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题 题意是 李白提壶上街买酒 喝酒 每次遇到酒店 便将壶中的酒量增添李白提壶上街买酒 喝酒 每次遇到酒店 便将壶中的酒量增添 1 倍 而每次见到香花 便倍 而每次见到香花 便 饮酒作诗 喝酒饮酒作诗 喝酒 1 斗 这样他遇店 见花经过斗 这样他遇店 见花经过 3 次 便把所有的酒全喝光了 问 李白的酒次 便把所有的酒全喝光了 问 李白的酒 壶中原有酒多少 壶中原有酒多少 下面我们运用还原思路 从下面我们运用还原思路 从 三遇店和花 喝光壶中酒三遇店和花 喝光壶中酒 开始推算 开始推算 见花前见花前 有有 1 斗酒 斗酒 第三次 见花后第三次 见花后 壶中酒全喝光 壶中酒全喝光 第三次 遇店前第三次 遇店前 壶中有酒半斗 壶中有酒半斗 第一次 见花前第一次 见花前 壶中有酒为第二次遇店前的再加壶中有酒为第二次遇店前的再加 1 斗 斗 遇店前遇店前 壶中有酒为第一次见花前的一半 壶中有酒为第一次见花前的一半 其思路图如下其思路图如下 五 假设思路五 假设思路 在自然科学领域内 一些重要的定理 法则 公式等 常常是在在自然科学领域内 一些重要的定理 法则 公式等 常常是在 首先提出假设 猜想 首先提出假设 猜想 然后再进行检验 证实然后再进行检验 证实 的过程中建立起来的 数学解题中 也离不开假设思路 尤其是在的过程中建立起来的 数学解题中 也离不开假设思路 尤其是在 解比较复杂的题目时 如能用解比较复杂的题目时 如能用 假设假设 的办法去思考 往往比其他思路简捷 方便 我们把先的办法去思考 往往比其他思路简捷 方便 我们把先 提出假设 猜想 再进行检验 证实的解题思路 叫假设思路 提出假设 猜想 再进行检验 证实的解题思路 叫假设思路 例例 1 中山百货商店 委托运输队包运中山百货商店 委托运输队包运 1000 只花瓶 议定每只花瓶运费只花瓶 议定每只花瓶运费 0 4 元 如元 如 果损坏一只 不但不给运费 而且还要赔偿损失果损坏一只 不但不给运费 而且还要赔偿损失 5 1 元 结果运输队获得运费元 结果运输队获得运费 382 5 元 问 元 问 损坏了花瓶多少只 损坏了花瓶多少只 分析 用假设思路考虑 分析 用假设思路考虑 1 假设在运输过程中没有损坏一个花瓶 那么所得的运费应该是多少 假设在运输过程中没有损坏一个花瓶 那么所得的运费应该是多少 0 4 1000 400 元 元 2 而实际只有 而实际只有 383 5 元 这当中的差额 说明损坏了花瓶 而损坏一只花瓶 元 这当中的差额 说明损坏了花瓶 而损坏一只花瓶 不但不给运费 而且还要赔偿损失不但不给运费 而且还要赔偿损失 5 1 元 这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额元 这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额 应该是多少元 应该是多少元 0 4 5 1 5 5 元 元 3 总差额中含有一个 总差额中含有一个 5 5 元 就损坏了一只花瓶 含有几个元 就损坏了一只花瓶 含有几个 5 5 元 就是损坏元 就是损坏 了几只花瓶 由此便可求得本题的答案 了几只花瓶 由此便可求得本题的答案 例例 2 有有 100 名学生在车站准备乘车去离车站名学生在车站准备乘车去离车站 600 米的烈士纪念馆搞活动 等最后米的烈士纪念馆搞活动 等最后 一人到达纪念馆一人到达纪念馆 45 分钟以后 再去离纪念馆分钟以后 再去离纪念馆 900 米的公园搞活动 现在有中巴和大巴各一米的公园搞活动 现在有中巴和大巴各一 辆 它们的速度分别是每分钟辆 它们的速度分别是每分钟 300 米和米和 150 米 而中巴和大巴分别可乘坐米 而中巴和大巴分别可乘坐 10 人和人和 25 人 人 问最后一批学生到达公园最少需要多少时间 问最后一批学生到达公园最少需要多少时间 分析 用假设思路思索 分析 用假设思路思索 假设从车站直接经烈士纪念馆到公园 则路程为 假设从车站直接经烈士纪念馆到公园 则路程为 600 900 米 把在最后 米 把在最后 1 人人 到达纪念馆后停留到达纪念馆后停留 45 分钟 假设为在公园停留分钟 假设为在公园停留 45 分钟 则问题将大大简化 分钟 则问题将大大简化 1 从车站经烈士纪念馆到达公园 中巴 大巴往返一次各要多少时间 从车站经烈士纪念馆到达公园 中巴 大巴往返一次各要多少时间 中巴 中巴 600 900 300 2 10 分钟 分钟 大巴 大巴 600 900 150 2 20 分钟 分钟 2 中巴和大巴在 中巴和大巴在 20 分钟内共可运多少人 分钟内共可运多少人 中巴每次可坐中巴每次可坐 10 人 往返一次要人 往返一次要 10 分钟 故分钟 故 20 分钟可运分钟可运 20 人 人 大巴每次可坐大巴每次可坐 25 人 往返一次要人 往返一次要 20 分钟 故分钟 故 20 分钟可运分钟可运 25 人 人 所以在所以在 20 分钟内中巴 大巴共运分钟内中巴 大巴共运 45 人 人 3 中巴和大巴 中巴和大巴 20 分钟可运分钟可运 45 人 那么人 那么 40 分钟就可运分钟就可运 45 2 90 人 人 100 人运走人运走 90 人还剩下人还剩下 10 人 还需中巴再花人 还需中巴再花 10 分钟运一次就够了 分钟运一次就够了 4 最后可求出最后一批学生到达公园的时间 把运 最后可求出最后一批学生到达公园的时间 把运 90 人所需的时间 运人所需的时间 运 10 人所需人所需 的时间 和在纪念馆停留的时间相加即可 的时间 和在纪念馆停留的时间相加即可 六 消去思路六 消去思路 对于要求两个或两个以上未知数的数学题 我们可以想办法将其中一个未知数进行转化 对于要求两个或两个以上未知数的数学题 我们可以想办法将其中一个未知数进行转化 进而消去一个未知数 使数量关系化繁为简 这种思路叫消去思路 运用消去思路解题的方进而消去一个未知数 使数量关系化繁为简 这种思路叫消去思路 运用消去思路解题的方 法叫消去法 二元一次方程组的解法 就是沿着这条思路考虑的 法叫消去法 二元一次方程组的解法 就是沿着这条思路考虑的 例例 1 师徒两人合做一批零件 徒弟做了师徒两人合做一批零件 徒弟做了 6 小时 师傅做了小时 师傅做了 8 小时 一共做了小时 一共做了 312 个零件 徒弟个零件 徒弟 5 小时的工作量等于师傅小时的工作量等于师傅 2 小时的工作量 师徒每小时各做多少个零件 小时的工作量 师徒每小时各做多少个零件 分析 用消去思路考虑 分析 用消去思路考虑 这里有师 徒每小时各做多少个零件两个未知量 如果以徒弟每小时工作量为这里有师 徒每小时各做多少个零件两个未知量 如果以徒弟每小时工作量为 1 份 份 把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替 那么师傅把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替 那么师傅 8 小时的工作量相当于这样的几份呢 很小时的工作量相当于这样的几份呢 很 明显 师傅明显 师傅 2 小时的工作量相当于徒弟小时的工作量相当于徒弟 5 小时的工作量 那么小时的工作量 那么 8 小时里有几个小时里有几个 2 小时就是小时就是 几个几个 5 小时工作量 这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量 题目里就消去了师傅工作小时工作量 这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量 题目里就消去了师傅工作 量这个未知数 然后再看量这个未知数 然后再看 312 个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量 就是徒弟个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量 就是徒弟 应做多少个 求出了徒弟的工作量 根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系 也就能应做多少个 求出了徒弟的工作量 根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系 也就能 求出师傅的工作量了 求出师傅的工作量了 例例 2 小明买小明买 2 本练习本 本练习本 2 枝铅笔 枝铅笔 2 块橡皮 共用块橡皮 共用 0 36 元 小军买元 小军买 4 本练习本 本练习本 3 枝铅笔 枝铅笔 2 块橡皮 共用去块橡皮 共用去 0 60 元 小庆买元 小庆买 5 本练习本 本练习本 4 枝铅笔 枝铅笔 2 块橡皮 共用去块橡皮 共用去 0 75 元 问练习本 铅笔 橡皮的单价各是多少钱 元 问练习本 铅笔 橡皮的单价各是多少钱 分析 用消去法思考 分析 用消去法思考 这里有三个未知数 即练习本 铅笔 橡皮的单价各是多少钱 我们要同时求出三这里有三个未知数 即练习本 铅笔 橡皮的单价各是多少钱 我们要同时求出三 个未知数是有困难的 应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数 只留下一个未知数就好个未知数是有困难的 应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数 只留下一个未知数就好 了 了 如何消去一个未知数或两个未知数 一般能直接消去的就直接消去 不能直接消去 如何消去一个未知数或两个未知数 一般能直接消去的就直接消去 不能直接消去 就通过扩大或缩小若干倍 使它们之间有两个相同的数量 再用加减法即可消去 本题把小就通过扩大或缩小若干倍 使它们之间有两个相同的数量 再用加减法即可消去 本题把小 明小军 小庆所购买的物品排列如下 明小军 小庆所购买的物品排列如下 小明小明 2 本本 2 枝枝 2 块块 0 36 元元 小军小军 4 本本 3 枝枝 2 块块 0 60 元元 小庆小庆 5 本本 4 枝枝 2 块块 0 75 元元 现在把小明的各数分别除以现在把小明的各数分别除以 2 可得到 可得到 1 本练习本 本练习本 1 枝铅笔 枝铅笔 1 块橡皮共块橡皮共 0 18 元 元 接着用小庆的各数减去小军的各数 得接着用小庆的各数减去小军的各数 得 1 本练习本 本练习本 1 枝铅笔为枝铅笔为 0 15 元 元 再把小明各数除以再把小明各数除以 2 所得的各数减去上数 就消去了练习本 铅笔两个未知数 得所得的各数减去上数 就消去了练习本 铅笔两个未知数 得 到到 1 块橡皮块橡皮 0 03 元 采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价 元 采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价 七 转化思路七 转化思路 解题时 如果用一般方法暂时解答不出来 就可以变换一种方式去思考 或改变思考的解题时 如果用一般方法暂时解答不出来 就可以变换一种方式去思考 或改变思考的 角度 或转化为另外一种问题 这就是转化思路 运用转化思路解题就叫转化法 角度 或转化为另外一种问题 这就是转化思路 运用转化思路解题就叫转化法 各养兔多少只 各养兔多少只 分析 用转化思路思索 分析 用转化思路思索 题中数量关系比较复杂 两个分率的标准量不同 为了简化数量关系 题中数量关系比较复杂 两个分率的标准量不同 为了简化数量关系 只呢 这时两人养的总只数该是多少只呢 假设后的数量关系 两人养的总只数应是 只呢 这时两人养的总只数该是多少只呢 假设后的数量关系 两人养的总只数应是 100 16 3 52 只 只 分析 用转化思路分析 分析 用转化思路分析 本题求和 题中每个分数的分子都是本题求和 题中每个分数的分子都是 1 分母是几个连续自然数的和 好像不能把 分母是几个连续自然数的和 好像不能把 每个分数分成两个分数相减 然后相加抵消一些数 但是只要我们按等差数列求和公式 求每个分数分成两个分数相减 然后相加抵消一些数 但是只要我们按等差数列求和公式 求 出分母就会发现 可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式 出分母就会发现 可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式 然后再相加 抵消中间的各个分数即可 然后再相加 抵消中间的各个分数即可 八 类比思路八 类比思路 类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题 例如从等差数列求和公式想到梯形面积类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题 例如从等差数列求和公式想到梯形面积 公式 从矩形面积公式想到长方体体积公式等等 类比是一个重要的思想方法 也是解题的公式 从矩形面积公式想到长方体体积公式等等 类比是一个重要的思想方法 也是解题的 一种重要思路 一种重要思路 例例 1 有一个挂钟 每小时敲一次钟 几点钟就敲几下 钟敲有一个挂钟 每小时敲一次钟 几点钟就敲几下 钟敲 6 下 下 5 秒钟敲完 秒钟敲完 钟敲钟敲 12 下 几秒敲完 下 几秒敲完 分析 用类比思路探讨 分析 用类比思路探讨 有人会盲目地由倍数关系下结沦 误认为有人会盲目地由倍数关系下结沦 误认为 10 秒钟敲完 那就完全错了 其实此题秒钟敲完 那就完全错了 其实此题 只要运用类比思路 与植树问题联系起来想一想就通了 一条线路植树分成几段 株距 只要运用类比思路 与植树问题联系起来想一想就通了 一条线路植树分成几段 株距 如果不包括两个端点 共需植 如果不包括两个端点 共需植 n 1 棵树 如果包括两个端点 共需植树 棵树 如果包括两个端点 共需植树 n 1 棵 把 棵 把 钟点指数看作是一棵棵的树 把敲的时间看作棵距 此题就迎刃而解了 钟点指数看作是一棵棵的树 把敲的时间看作棵距 此题就迎刃而解了 例例 2 从时针指向从时针指向 4 点开始 再经过多少分钟 时针正好与分钟重合 点开始 再经过多少分钟 时针正好与分钟重合 分析 用类比思路讨论 分析 用类比思路讨论 本题可以与行程问题进行类比 如图本题可以与行程问题进行类比 如图 2 11 如果用时针 如果用时针 1 小时所走的一格作为路小时所走的一格作为路 程单位 那么本题可以重新叙述为 已知分针与时针相距程单位 那么本题可以重新叙述为 已知分针与时针相距 4 格 分格 分 如果分针与时针同时同向出发 问 分针过多少分钟可追上时针 这样就与行程问题中如果分针与时针同时同向出发 问 分针过多少分钟可追上时针 这样就与行程问题中 的追及问题相似了 的追及问题相似了 4 为距离差 速度差为 重合的时间 就是追上的时间 为距离差 速度差为 重合的时间 就是追上的时间 九 分类思路九 分类思路 把一个复杂的问题 依照某种规律 分解成若干个较简单的问题 从而使问题得到解决 把一个复杂的问题 依照某种规律 分解成若干个较简单的问题 从而使问题得到解决 这就是分类思路 这种思路在解决数图形个数问题中经常用到 这就是分类思路 这种思路在解决数图形个数问题中经常用到 例例 1 如图如图 2 12 共有多少个三角形 共有多少个三角形 分析 用分类思路考虑 分析 用分类思路考虑 这样的图直接去数有多少个三角形 要做到能不重复 又不遗漏 是比较困难的 这样的图直接去数有多少个三角形 要做到能不重复 又不遗漏 是比较困难的 怎么办 可以把图中所有三角形按大小分成几类 然后分类去数 再相加就是总数了 本题怎么办 可以把图中所有三角形按大小分成几类 然后分类去数 再相加就是总数了 本题 根据条件 可以分为五类 如图根据条件 可以分为五类 如图 2 13 例例 2 如图如图 2 14 象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方 象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方 将将 处 这小处 这小 卒有多少种不同的走法 卒有多少种不同的走法 分析 运用分类思路分析 分析 运用分类思路分析 小卒过河后 首先到达小卒过河后 首先到达 A 点 因此 题目实际上是问 从点 因此 题目实际上是问 从 A 点出发 沿最短路径点出发 沿最短路径 有多少种走法可以到达有多少种走法可以到达 将将 处 所谓最短 是指不走回头路 处 所谓最短 是指不走回头路 因为因为 将将 直接相通的是直接相通的是 P 点和点和 K 点 所以要求从点 所以要求从 A 点到点到 将将 处有多少种走法 就处有多少种走法 就 必须是求出从必须是求出从 A 到到 P 和从和从 A 到到 K 各有多少种走法 各有多少种走法 分类 一种走法 分类 一种走法 A 到到 B C D E F G 都是各有一种走法 都是各有一种走法 二种走法 从二种走法 从 A 到到 H 有两种走法 有两种走法 三种走法 从三种走法 从 A 到到 M 及从及从 A 到到 I 各有三种走法 各有三种走法 其他各类的走法 因为从其他各类的走法 因为从 A 到到 M 到 到 I 各有各有 3 种走法 所以从种走法 所以从 A 到到 N 就有就有 3 3 6 种走法了 因为从种走法了 因为从 A 到到 I 有有 3 种走法 从种走法 从 A 到到 D 有有 1 种走法 所以从种走法 所以从 A 到到 J 就有就有 3 1 4 种走法了 种走法了 P 与与 N J 相邻 而相邻 而 A 到到 N 有有 6 种走法 种走法 A 到到 J 有有 4 种走法 所以从种走法 所以从 A 到到 P 就有就有 6 4 10 种走法了 同理种走法了 同理 K 与与 J E 相邻 而相邻 而 A 到到 J 有有 4 种走法 到种走法 到 E 有有 1 种走种走 法 所以法 所以 A 到到 K 就有就有 4 1 5 种走法 种走法 再求从再求从 A 到到 将将 处共有多少种走法就非常容易了 处共有多少种走法就非常容易了 十 等量代换思路十 等量代换思路 有些题的数量关系十分隐蔽 如果用一般的分析推理 难于找出数量之间的内在联系 有些题的数量关系十分隐蔽 如果用一般的分析推理 难于找出数量之间的内在联系 求出要求的数量 那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系 使未知条件转化为已知求出要求的数量 那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系 使未知条件转化为已知 条件 使隐蔽的数量关系明朗化 促使问题迎刃而解 这种思路叫等量代换思路 条件 使隐蔽的数量关系明朗化 促使问题迎刃而解 这种思路叫等量代换思路 例例 1 如图如图 2 15 的正方形边长是的正方形边长是 6 厘米 甲三角形是正方形中的一部分 乙三角形厘米 甲三角形是正方形中的一部分 乙三角形 的面积比甲三角形大的面积比甲三角形大 6 平方厘米 求平方厘米 求 CE 长多少厘米 长多少厘米 分析 用等量代换思路思考 分析 用等量代换思路思考 按一般思路 要求按一般思路 要求 CE 的长 必须知道乙三角形的面积和高 而这两个条件都不知的长 必须知道乙三角形的面积和高 而这两个条件都不知 道 似乎无法入手 用等量代换思路 我们可以求出三角形道 似乎无法入手 用等量代换思路 我们可以求出三角形 ABE 的面积 从而求出的面积 从而求出 CE 的的 长 怎样求这个三角形的面积呢 设梯形为丙 长 怎样求这个三角形的面积呢 设梯形为丙 已知已知 乙乙 甲甲 6 丙丙 甲甲 6 6 36 用甲用甲 6 代换乙 可得丙代换乙 可得丙 乙乙 丙丙 甲甲 6 36 6 42 即三角形即三角形 ABE 的面积等于的面积等于 42 平方厘米 这样 再来求平方厘米 这样 再来求 CE 的长就简单了 的长就简单了 例例 2 有三堆棋子 每堆棋子数一样多 并且都只有黑白两色棋子 第一有三堆棋子 每堆棋子数一样多 并且都只有黑白两色棋子 第一 这三堆棋子集中一起 问白子占全部棋子的几分之几 这三堆棋子集中一起 问白子占全部棋子的几分之几 分析 用等量代换的思路来探讨 分析 用等量代换的思路来探讨 这道题数量关系比较复杂 如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下 这道题数量关系比较复杂 如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下 那么这个问题就简单多了 出现了下面这个等式 那么这个问题就简单多了 出现了下面这个等式 第一堆 全