2011年高考数学 排列、组合和二项式定理单元测试卷

1 排列 组合和二项式定理单元测试卷排列 组合和二项式定理单元测试卷 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 不同的五种商品在货架上排成一排 其中甲 乙两种必须排在一起 丙 丁不能排 在一起 则不同的排法共有 A 12 种 B 20 种 C 24 种 D 48 种 答案 C 解析 甲 乙捆绑后与第 5 种商品排列有 A 种 产生的三个空排丙 丁 有 A 种 2 22 3 再排甲 乙有 A 种 共有 A A A 24 种 故选 C 2 22 2 2 3 2 2 2 直角坐标 xOy 平面上 平行直线 x n n 0 1 2 5 与平行直线 y n n 0 1 2 5 组成的图形中 矩形共有 A 25 个 B 36 个 C 100 个 D 225 个 答案 D 解析 从构成矩形的四条边入手 可以从 6 条竖着的直线中任取两条 共有 C 种选法 2 6 再从 6 条横着的直线中任取两条直线 共有 C 种选法 所以可构成矩形 C C 225 个 2 62 62 6 故选 D 3 二项式 a 2b n中的第二项系数是 8 则它的第三项的二项式系数为 A 24 B 18 C 16 D 6 答案 D 解析 由通项公式知 T2 T1 1 C an 1 2b 1 2C an 1b 依题意 1 n1 n 2C 8 n 4 C C 6 1 n2 n2 4 4 2009 珠海模拟 已知 x 1 15 a0 a1x a2x2 a15x15 则 a0 a1 a2 a7等 于 A 215 B 214 C 28 D 27 答案 B 解析 a0 a1 a2 a15 C C C C 215 a0 a1 a2 a7 215 214 故 0 151 152 151515 1 2 选 B 5 2009 南宁市质检 在 2008 北京奥运会期间 某志愿者小组有 12 名大学生 其中男 生 8 名 女生 4 名 从中抽取 3 名学生组成礼宾接待小组 则选到的 3 名学生中既有男生又 有女生的不同选法共有 A 108 种 B 160 种 C 164 种 D 216 种 答案 B 解析 从 12 名学生中随机抽取 1 名男生和 2 名女生的选法数 C C 从 12 名学生中随 1 8 2 4 机抽取 2 名男生和 1 名女生的选法数 C C 所以选到的 3 名学生中既有男生又有女生的不 2 8 1 4 同选法共有 C C C C 160 种 1 8 2 42 8 1 4 6 2009 珠海模拟 在 1 x3 1 x 10的展开式中 x5的系数为 A 297 B 207 C 252 D 45 答案 B 解析 1 x 10 C 110 x0 Cx1 Cx2 Cx3 Cx4 Cx5 1 10 x 45x2 252x5 0 101 102 103 104 105 10 1 x3 1 x 10的展开式中 x5的系数为 252 45 207 故选 B 2 7 1 6 1 10的展开式中的常数项为 3 x 1 4 x A 1 B 46 C 4245 D 4246 答案 D 解析 1 6的通项公式为 C x 1 10的通项公式为 Cx 由 3 xr 6 r 3 1 4 xk 10 k 4 r 3 k 4 0 得Error Error Error Error Error Error 共三项 所以常数项为 C C C C C C 4246 故选 0 60 103 64 106 68 10 D 8 2009 太原市测试 有 4 个标号为 1 2 3 4 的红球和 4 个标号为 1 2 3 4 的白球 从这 8 个球中任取 4 个球排成一排 若取出的 4 个球的数字之和为 10 则不同的排法种数是 A 384 B 396 C 432 D 480 答案 C 解析 若取出的球的标号为 1 2 3 4 则共有 C C C C A 384 种不同的排法 若取出 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 的球的标号为 1 1 4 4 则共有 A 24 种不同的排法 若取出的球的标号为 2 2 3 3 则共有 4 4 A 24 种不同的排法 由此可得取出的 4 个球数字之和为 10 的不同排法种数是 4 4 384 24 24 432 故应选 C 9 甲 乙 丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作 每天一 人值班 每人值班两天 如果甲同学不值周一的班 乙同学不值周六的班 则可以排出不同 的值班表有 A 36 种 B 42 种 C 50 种 D 72 种 答案 B 解析 1 当甲值周六时 再为甲选一天有 C 种 为乙选两天有 C 种 则共有 1 42 4 C C 24 种 2 当甲不值周六时 为甲选两天 有 C 种 为乙选两天有 C 种 则共有 1 4 2 42 42 3 C C 18 种 所以共有 24 18 42 种 故选 B 2 4 2 3 10 若 1 x n 1的展开式中含 xn 1的系数为 an 则 的值为 1 a1 1 a2 1 an A B n n 1 2n n 1 C D n n 1 2 n n 3 2 答案 B 解析 由题意可得 an C12 C n 1n 12n 1 n 1 n 2 2 1 an 2 n n 1 1 n 1 n 1 1 a1 1 a2 1 an 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 2 故选 B 1 1 n 1 2n n 1 11 2009 昆明市质检 某龙舟队有 9 名队员 其中 3 人只会划左舷 4 人只会划右舷 2 人既会划左舷又会划右舷 现要选派划左舷的 3 人 右舷的 3 人共 6 人去参加比赛 则不 同的选派方法共有 3 A 56 种 B 68 种 C 74 种 D 92 种 答案 D 解析 本题是计数问题 根据特殊 或受限 元素进行分类 如本题属于 多面手 问题 根据划左舷中有多面手人数的多少进行分类 划左舷中没有 多面手 的选派方法有 C 种 3 6 有一个 多面手 的选派方法有 C C C 种 有两个 多面手 的选派方法有 C C 种 即 1 2 2 33 51 33 4 共有 20 60 12 92 种 故选 D 12 圆周上有 12 个不同的点 过其中任意两点作弦 这些弦在圆内的交点个数最多有 A A B A A 4 122 122 12 C C C D C 2 122 124 12 答案 D 解析 圆周上任意四个点连线的交点都在圆内 此四点的选法有 C 则由这四点确定 4 12 的圆内的交点个数为 1 所以这 12 个点所确定的弦在圆内交点的个数最多为 C 故选 D 4 12 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在 x 9的展开式中 x3的系数为 用数字作答 1 2x 答案 21 2 解析 Tk 1 C x9 k k C x9 k kx k k 9 1 2xk 9 1 2 C x9 2k k k 9 1 2 令 9 2k 3 得 k 3 T4 C x3 3 84 x3 x3 3 9 1 2 1 8 21 2 x3的系数为 21 2 14 已知 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 8 a0 a1x a8x8 则 a1 a2 a3 a8 答案 502 解析 令 x 1 得 a0 a1 a2 a8 2 22 23 28 2 1 28 1 2 29 2 510 令 x 0 得 a0 8 a1 a2 a8 502 15 2008 陕西理 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段 传递活动分别由 6 名火炬手完 成 如果第一棒火炬手只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒火炬手只能从甲 乙两人中 产生 则不同的传递方案共有 种 用数字作答 答案 96 解析 先安排最后一棒 A 再安排第一棒 A 最后安排中间四棒 A 不同的传 1 21 24 4 递方案有 A A A 96 种 1 2 1 2 4 4 16 8的展开式中 x2的系数是 70 则实数 a 的值为 ax 1 x 答案 1 解析 Tk 1 C ax 8 k k k 8 1 x C a8 kx8 k 1 k k 8 k 2 4 令 8 k 2 得 k 4 k 2 C a4 1 4 70 a4 1 a 1 4 8 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 在一块 10 垄并排的田地中 选 2 垄分别种植 A B 两种作物 每种作物种植一垄 为有利于作物生长 要求 A B 两种作物的间隔不小于 6 垄 则不同的 种植方法共有多少种 解法一 图示法 如图 1 用并排一行的 10 个小矩形表示 10 垄田地 小矩形内加 表示选中 具体画出有 6 种选取方法 再对每种选取方式分别种植 A B 两种作物 有 A 种种植方法 2 2 故共有 6A 12 种种植方法 2 2 1 2 解法二 图象法 设并排 10 垄田地依次编号为 1 2 3 10 所选的垄田地为 a b 根据题设条件 得Error Error 问题的解化为不等式组的整数解的个数 如图 2 所示 满足不等式组的解为坐标平面 aOb 内标有 号的整点 数整点个数有 12 个 故符合题意的选垄方法有 12 种 18 本小题满分 12 分 已知在 n的展开式中 第 6 项为常数项 3 x 1 23x 1 求 n 2 求含 x2的项的系数 3 求展开式中所有的有理项 解 1 通项公式为 Tr 1 C x rx r n n r 3 1 2 r 3 C rx r n 1 2 n 2r 3 因为第 6 项为常数项 所以 r 5 时 有 0 即 n 10 n 2r 3 2 令 2 得 r n 6 2 n 2r 3 1 2 5 所求的系数为 C 2 2 10 1 2 45 4 3 根据通项公式 由题意得Error Error 令 k k Z 则 10 2r 3k 即 r 5 k 10 2r 3 3 2 r Z k 应为偶数 k 可取 2 0 2 即 r 可取 2 5 8 所以第 3 项 第 6 项与第 9 项为有理项 它们分别为 T3 x2 T6 T9 x 2 45 4 63 8 45 256 19 本小题满分 12 分 球台上有 4 个黄球 6 个红球 击黄球入袋记 2 分 击红球入袋 记 1 分 欲将此十球中的 4 球击入袋中 但总分不低于 5 分 则击球方法有几种 解 设击入黄球 x 个 红球 y 个符合要求 则有Error Error x y N 由题意 得 1 x 4 Error Error Error Error Error Error Error Error 相应每组解 x y 击球方法数分别为 C C C C C C 1 4 3 62 4 2 63 4 C C 共有不同击球方法数为 C C C C C C C C 195 1 64 4 0 61 4 3 62 4 2 63 4 1 64 4 0 6 20 本小题满分 12 分 1 求证 2 n N n n 1 2 求证 1 x n 1 x n 2n 其中 x 1 n 2 n N 证明 1 要证 2 n N 只需证 n 1 2n即可 2n 1 1 n n 1 n C C C C C 1 n 2 n N 当 n 1 时等号成立 0 n1 nn n0 n1 n n n 1 2 1 x n 1 x n 2 1 C x2 C x4 C x2k x 1 0 x2k 1 2 n4 n2k n 1 x n 1 x n 2 1 C C C 2 2n 1 2n 成立 2 n4 n2k n 21 本小题满分 12 分 已知 a2 1 n展开式中的各项系数之和等于 x2 5的展开式 16 5 1 x 的常数项 而 a2 1 n的展开式的系数最大的项等于 54 求 a 的值 解 由 x2 5 得 16 5 1 x Tr 1 C x2 5 r r 5 r C x 令 Tr 1为常数项 则 20 5r 0 r 5 16 5 1 x 16 5r 5 20 5r 2 所以 r 4 常数项 T5 C 16 4 5 16 5 又 a2 1 n展开式中的各项系数之和等于 2n 由此得到 2n 16 n 4 所以 a2 1 4展开式中系数最大项是中间项 T3 C a4 54 所以 a 2 43 22 本小题满分 12 分 4 个男同学和 3 个女同学站成一排 1 若 3 个女同学必须排在一起 则有多少种不同的排法 2 若任何两个女同学彼此不相邻 则有多少种不同的排法 3 若其中甲 乙两同学之间必须恰有 3 人 则有多少种不同的排法 4 若甲 乙两人相邻 但都不与丙相邻 则有多少种不同的排法 5 若女同学从左到右按高矮顺序排 则有多少种不同的排法 3 个女生身高互不相等 解 1 3 个女同学是特殊元素 我们先把她们排好 共有 A 种排法 由于 3 个女同学 3 3 必须排在一起 我们可视排好的女同学为一整体 再与男同学排队 这时是 5 个元素的全排 列 应用 A 种排法 由乘法原理 有 A A 720 种不同排法 5 53 3 5 5 2 先将男生排好 共有 A 种排法 再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空当中插入 3 4 4 个女生 有 A 种方法 故符合条件的排法共有 A A 1440 种 3 54 4 3 5 3 甲 乙 2 人先排好 有 A 种排法 再从余下的 5 人中选 3 人排在甲 乙 2 人中间 2 2 有 A 种排法 这时把已排好的 5 人视为一个整体 与最后剩下的 2 人再