北师大版九年级(下册)数学期末试卷

学习参考 北师大版九年级下册数学期末试卷北师大版九年级下册数学期末试卷 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 小题 1 下列式子错误的是 A cos40 sin50 B tan15 tan75 1C sin225 cos225 1D sin60 2sin30 2 一个公共房门前的台阶高出地面 1 2 米 台阶拆除后 换成供轮椅行走的斜坡 数据如 图所示 则下列关系或说法正确的是 A 斜坡 AB 的坡度是 10 B 斜坡 AB 的坡度是 tan10 B C AC 1 2tan10 米D AB 米 3 已知 在 Rt ABC 中 C 90 AB AC 1 那么 A 的正切 tanA 等于 A B 2C D 4 函数 y k x k 与 y kx2 y k 0 在同一坐标系上的图象正确的是 A B C D 5 若抛物线 y x2 2x 3 不动 将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位 再沿铅直方向向上平移三个单位 则原抛物线图象的解析式应变为 A y x 2 2 3B y x 2 2 5C y x2 1D y x2 4 6 若二次函数 y ax2 2ax c 的图象经过点 1 0 则方程 ax2 2ax c 0 的解为 A x1 3 x2 1B x1 1 x2 3C x1 1 x2 3 D x1 3 x2 1 7 如图所示 O 的半径为 13 弦 AB 的长度是 24 ON AB 垂足为 N 则 ON A 5B 7C 9D 11 8 如图 线段 AB 是 O 的直径 弦 CD AB CAB 40 则 ABD 与 AOD 分别等于 学习参考 A 40 80 B 50 100 C 50 80 D 40 100 9 已知 O 的半径 OD 垂直于弦 AB 交 AB 于点 C 连接 AO 并延长交 O 于点 E 若 AB 8 CD 2 则 BCE 的面积为 A 12B 15C 16D 18 10 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 下列结论 b 0 c 0 a c b b2 4ac 0 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 二 填空题 共二 填空题 共 1010 小题 小题 11 在 ABC 中 C 90 AB 13 BC 5 则 sinA 的值是 12 在将 Rt ABC 中 A 90 C B 1 2 则 sinB 13 已知 cos 则的值等于 14 已知抛物线 y ax2 3x c a 0 经过点 2 4 则 4a c 1 15 若二次函数 y 2x2 4x 1 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 两点 则 的值为 16 已知 M N 两点关于 y 轴对称 且点 M 在双曲线上 点 N 在直线 y x 3 上 设 点 M 坐标为 a b 则 y abx2 a b x 的顶点坐标为 17 若 O 的直径为 2 OP 2 则点 P 与 O 的位置关系是 点 P 在 O 18 如图 O 的直径 CD 20cm AB 是 O 的弦 AB CD 垂足为 M 若 OM 6cm 则 AB 的 长为 cm 学习参考 19 已知 AB BC 是 O 的两条弦 AB AC AOB 120 则 CAB 的度数是 20 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 且 P 2a b 3b 2c Q 2a b 3b 2c 则 P Q 的大小关系是 三 解答题 共三 解答题 共 1010 小题 小题 21 计算 22 如图 ABC 中 ACB 90 sinA BC 8 D 是 AB 中点 过点 B 作直线 CD 的垂 线 垂足为点 E 1 求线段 CD 的长 2 求 cos ABE 的值 23 已知 ABC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D BC 于 E 连接 ED 若 ED EC 1 求证 AB AC 2 若 AB 4 BC 2 求 CD 的长 24 如图 AB 为 O 的直径 点 E 在 O 上 C 为的中点 过点 C 作直线 CD AE 于 D 连接 AC BC 1 试判断直线 CD 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 AD 2 AC 求 AB 的长 学习参考 25 如图 AB 是 O 的弦 点 C 为半径 OA 的中点 过点 C 作 CD OA 交弦 AB 于点 E 连接 BD 且 DE DB 1 判断 BD 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 CD 15 BE 10 tanA 求 O 的直径 26 某片果园有果树 80 棵 现准备多种一些果树提高果园产量 但是如果多种树 那么树 之间的距离和每棵树所受光照就会减少 单棵树的产量随之降低 若该果园每棵果树产果 y 千克 增种果树 x 棵 它们之间的函数关系如图所示 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 在投入成本最低的情况下 增种果树多少棵时 果园可以收获果实 6750 千克 3 当增种果树多少棵时 果园的总产量 w 千克 最大 最大产量是多少 学习参考 27 为了增强学生体质 学校鼓励学生多参加体育锻炼 小胖同学马上行动 每天围绕小 区进行晨跑锻炼 该小区外围道路近似为如图所示四边形 ABCD 已知四边形 ABED 是正方 形 DCE 45 AB 100 米 小胖同学某天绕该道路晨跑 5 圈 时间约为 20 分钟 求小 胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米 分 结果保留整数 1 41 28 据调查 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一 所以规定以下情境中的速度不得 超过 15m s 在一条笔直公路 BD 的上方 A 处有一探测仪 如平面几何图 AD 24m D 90 第一次探测到一辆轿车从 B 点匀速向 D 点行驶 测得 ABD 31 2 秒后到达 C 点 测得 ACD 50 tan31 0 6 tan50 1 2 结果精确到 1m 1 求 B C 的距离 2 通过计算 判断此轿车是否超速 29 如图 抛物线 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交 于点 C 0 3 顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 求此抛物线顶点 D 的坐标和对称轴 3 探究对称轴上是否存在一点 P 使得以点 P D A 为顶点的三角形是等腰三角形 若 存在 请求出所有符合条件的 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 学习参考 30 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 A 在 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 顶点为 D 1 请直接写出点 A C D 的坐标 2 如图 1 在 x 轴上找一点 E 使得 CDE 的周长最小 求点 E 的坐标 3 如图 2 F 为直线 AC 上的动点 在抛物线上是否存在点 P 使得 AFP 为等腰直角 三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 学习参考 北师大版九年级下册数学期末试卷北师大版九年级下册数学期末试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 小题 1 2016 永州 下列式子错误的是 A cos40 sin50 B tan15 tan75 1 C sin225 cos225 1D sin60 2sin30 分析 根据正弦和余弦的性质以及正切 余切的性质即可作出判断 解答 解 A sin40 sin 90 50 cos50 式子正确 B tan15 tan75 tan15 cot15 1 式子正确 C sin225 cos225 1 正确 D sin60 sin30 则 sin60 2sin30 错误 故选 D 点评 本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系 以及同角之间的正切和余切之 间的关系 理解性质是关键 2 2016 巴中 一个公共房门前的台阶高出地面 1 2 米 台阶拆除后 换成供轮椅行走的 斜坡 数据如图所示 则下列关系或说法正确的是 A 斜坡 AB 的坡度是 10 B 斜坡 AB 的坡度是 tan10 C AC 1 2tan10 米D AB 米 分析 根据坡度是坡角的正切值 可得答案 解答 解 斜坡 AB 的坡度是 tan10 故 B 正确 故选 B 点评 本题考查了坡度坡角 利用坡度是坡角的正切值是解题关键 3 2016 钦州校级自主招生 已知 在 Rt ABC 中 C 90 AB AC 1 那么 A 的正切 tanA 等于 A B 2C D 分析 根据勾股定理求出 BC 根据正切的定义计算即可 解答 解 C 90 AB AC 1 BC 2 则 tanA 2 学习参考 故选 B 点评 本题考查的是锐角三角函数的定义 掌握锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做 A 的正切是解题的关键 4 2016 赤峰 函数 y k x k 与 y kx2 y k 0 在同一坐标系上的图象正确的 是 A B C D 分析 将一次函数解析式展开 可得出该函数图象与 y 轴交于负半轴 分析四个选项可 知 只有 C 选项符合 由此即可得出结论 解答 解 一次函数 y k x k kx k2 k 0 k2 0 一次函数与 y 轴的交点在 y 轴负半轴 A 一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴正半轴 A 不正确 B 一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴正半轴 B 不正确 C 一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴负半轴 C 可以 D 一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴正半轴 D 不正确 故选 C 点评 本题考查了一次函数的图象 解题的关键是分析一次函数图象与 y 轴的交点 本 题属于基础题 难度不大 解决该题时 由一次函数与 y 轴的交点即可排除了 A B D 三 个选项 因此只需分析一次函数图象即可得出结论 5 2016 眉山 若抛物线 y x2 2x 3 不动 将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平 移一个单位 再沿铅直方向向上平移三个单位 则原抛物线图象的解析式应变为 A y x 2 2 3B y x 2 2 5C y x2 1D y x2 4 分析 思想判定出抛物线的平移规律 根据左加右减 上加下减的规律即可解决问题 解答 解 将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位 再沿铅直方向向上 平移三个单位 这个相当于把抛物线向左平移有关单位 再向下平移 3 个单位 y x 1 2 2 原抛物线图象的解析式应变为 y x 1 1 2 2 3 x2 1 故答案为 C 点评 本题考查二次函数图象的平移 解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移 是反方向的 记住左加右减 上加下减的规律 属于中考常考题型 6 2016 宿迁 若二次函数 y ax2 2ax c 的图象经过点 1 0 则方程 ax2 2ax c 0 的解为 A x1 3 x2 1B x1 1 x2 3C x1 1 x2 3 D x1 3 x2 1 分析 直接利用抛物线与 x 轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案 解答 解 二次函数 y ax2 2ax c 的图象经过点 1 0 学习参考 方程 ax2 2ax c 0 一定有一个解为 x 1 抛物线的对称轴为 直线 x 1 二次函数 y ax2 2ax c 的图象与 x 轴的另一个交点为 3 0 方程 ax2 2ax c 0 的解为 x1 1 x2 3 故选 C 点评 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点 正确应用二次函数对称性是解题关键 7 2016 黄石 如图所示 O 的半径为 13 弦 AB 的长度是 24 ON AB 垂足为 N 则 ON A 5B 7C 9D 11 分析 根据 O 的半径为 13 弦 AB 的长度是 24 ON AB 可以求得 AN 的长 从而可以 求得 ON 的长 解答 解 由题意可得 OA 13 ONA 90 AB 24 AN 12 ON 故选 A 点评 本题考查垂径定理 解题的关键是明确垂径定理的内容 利用垂径定理解答问 题 8 2016 巴彦淖尔 如图 线段 AB 是 O 的直径 弦 CD AB CAB 40 则 ABD 与 AOD 分别等于 A 40 80 B 50 100 C 50 80 D 40 100 分析 求出 AEC 90 根据三角形内角和定理求出 C 50 根据圆周角定理即可求 出 ABD 根据 OB OD 得出 ABD ODB 50 根据三角形外角性质求出即可 解答 解 CD AB AEC 90 CAB 40 C 50 ABD C 50 OB OD ABD ODB 50 学习参考 AOD ABD ODB 100 故选 B 点评 本题考查了圆周角定理 垂径定理的应用 能熟记圆周角定理的内容是解此题的 关键 9 2016 丹阳市校级一模 已知 O 的半径 OD 垂直于弦 AB 交 AB 于点 C 连接 AO 并延 长交 O 于点 E 若 AB 8 CD 2 则 BCE 的面积为 A 12B 15C 16D 18 分析 设 OC x 根据垂径定理可得出 AC 4 利用勾股定理可得出关于 x 的一元二次方程 解方程求出 x 的值 进而得出 OC 的长度 再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积 公式即可得出结论 解答 解 依照题意画出图形 如图所示 设 OC x 则 OA OD x 2 OD AB 于 C 在 Rt OAC 中 OC2 AC2 OA2 即 x2 42 x 2 2 解得 x 3 即 OC 3 OC 为 ABE 的中位线 BE 2OC 6 AE 是 O 的直径 B 90 故选 A 点评 本题考查了垂径定理 三角形的中位线以及三角形的面积 解题的关键是求出 BE 的长度 本题属于基础题 难度不大 解决该题型题目时 根据勾股定理找出方程是关 键 10 2016 常德 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 下列结论 b 0 c 0 a c b b2 4ac 0 其中正确的个数是 学习参考 A 1B 2C 3D 4 分析 由二次函数的开口方向 对称轴 0 x 1 以及二次函数与 y 的交点在 x 轴的上 方 与 x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可 解答 解 二次函数的开口向下 与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴 a 0 c 0 故 正确 0 1 b 0 故 错误 当 x 1 时 y a b c 0 a c b 故 正确 二次函数与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 故 正确 正确的有 3 个 故选 C 点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系 要熟练掌握 解答此题的关键是 要明确 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴 右 简称 左同右异 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 二 填空题 共二 填空题 共 1010 小题 小题 11 2016 永春县模拟 在 ABC 中 C 90 AB 13 BC 5 则 sinA 的值是 分析 利用锐角三角函数的定义求解 sinA 为 A 的对边比斜边 求出即可 解答 解 在 ABC 中 C 90 AB 13 BC 5 sinA 故答案为 点评 此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用 在直角三角形中 锐角的正弦为对 边比斜边 余弦为邻边比斜边 正切为对边比邻边 12 2016 株洲模拟 在将 Rt ABC 中 A 90 C B 1 2 则 sinB 分析 根据题意和三角形内角和定理求出 B 的度数 根据正弦的定义解答即可 解答 解 A 90 C B 90 又 C B 1 2 B 60 sinB 学习参考 故答案为 点评 本题考查的是锐角三角函数的定义 三角形内角和定理的应用 掌握三角形内角 和等于 180 熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 13 2016 雅安校级模拟 已知 cos 则的值等于 0 分析 先利用 tan 得到原式 然后把 cos 代入计算即可 解答 解 tan cos 0 故答案为 0 点评 本题考查了同角三角函数的关系 平方关系 sin2A cos2A 1 正余弦与正切之间 的关系 积的关系 一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比 即 tanA 或 sinA tanA cosA 14 2016 牡丹江 已知抛物线 y ax2 3x c a 0 经过点 2 4 则 4a c 1 3 分析 将点 2 4 代入 y ax2 3x c a 0 即可求得 4a c 的值 进一步求得 4a c 1 的值 解答 解 把点 2 4 代入 y ax2 3x c 得 4a 6 c 4 4a c 2 4a c 1 3 故答案为 3 点评 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征 点在函数上 将点代入解析式即可 学习参考 15 2016 泸州 若二次函数 y 2x2 4x 1 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 两 点 则 的值为 4 分析 设 y 0 则对应一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐标 利用根与系数的 关系即可求出 的值 解答 解 设 y 0 则 2x2 4x 1 0 一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐标 即 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 4 故答案为 4 点评 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系 掌握二次函数与 x 轴的交点的横坐 标就是对应的一元二次方程的根是解题关键 16 2016 邯郸校级自主招生 已知 M N 两点关于 y 轴对称 且点 M 在双曲线上 点 N 在直线 y x 3 上 设点 M 坐标为 a b 则 y abx2 a b x 的顶点坐标为 分析 根据反比例函数和一次函数的性质解题 解答 解 M N 两点关于 y 轴对称 M 坐标为 a b N 为 a b 分别代入相应的函数中得 b a 3 b ab a b 2 a b 2 4ab 11 a b y x2 x 顶点坐标为 即 故答案为 点评 主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标 对称轴的方法 解题关键是先求 出 ab a b 的值 整体代入求出函数的解析式 17 2016 秋 南京期中 若 O 的直径为 2 OP 2 则点 P 与 O 的位置关系是 点 P 在 O 外 分析 由条件可求得圆的半径为 1 由条件可知点 P 到圆心的距离大于半径 可判定点 P 在圆外 解答 解 学习参考 O 的直径为 2 O 的半径为 1 OP 2 1 点 P 在 O 外 故答案为 外 点评 本题主要考查点与圆的位置关系 利用点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系判 定点与圆的位置关系是解题的关键 18 2016 绥化 如图 O 的直径 CD 20cm AB 是 O 的弦 AB CD 垂足为 M 若 OM 6cm 则 AB 的长为 16 cm 分析 连接 OA 根据垂径定理求出 AB 2AM 已知 OA OM 根据勾股定理求出 AM 即可 解答 解 连接 OA O 的直径 CD 20cm OA 10cm 在 Rt OAM 中 由勾股定理得 AM 8cm 由垂径定理得 AB 2AM 16cm 故答案为 16 点评 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用 关键是构造直角三角形 19 2016 香坊区模拟 已知 AB BC 是 O 的两条弦 AB AC AOB 120 则 CAB 的度数是 15 或 75 分析 若点 C 在优弧 AB 上 根据 AB AC 设 AC 2x AB x 作 OD AB 作 OE AC 由 AOB 120 OA OB 得 OAD 30 在 Rt OAD 中可得 OA x 在 Rt OAE 中由 cos OAE 可得 OAE 度数 继而根据 CAB OAB OAE 可得 CAB 度数 当点 C 在劣弧 AB 上时 与 1 同理可得 OAB 30 OAE 45 根据 CAB OAE OAD 可得此时 CAB 的度数 即可得答案 学习参考 解答 解 如图 1 若点 C 在优弧 AB 上 AB AC 设 AC 2x 则 AB x 过点 O 作 OD AB 于点 D 作 OE AC 于点 E AD AB x AE AC x AOB 120 OA OB OAD 30 在 Rt OAD 中 OA x 在 Rt OAE 中 cos OAE OAE 45 CAB OAB OAE 75 如图 2 当点 C 在劣弧 AB 上时 由 知 OAB 30 OAE 45 CAB OAE OAD 15 故答案为 15 或 75 点评 本题主要考查垂径定理及三角函数的应用 熟练掌握垂径定理是解题的关键 学习参考 20 2016 内江 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 且 P 2a b 3b 2c Q 2a b 3b 2c 则 P Q 的大小关系是 P Q 分析 由函数图象可以得出 a 0 b 0 c 0 当 x 1 时 y a b c 0 x 1 时 y a b c 0 由对称轴得出 2a b 0 通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简 就可以求出 P Q 的值 解答 解 抛物线的开口向下 a 0 0 b 0 2a b 0 1 b 2a 0 x 1 时 y a b c 0 b b c 0 3b 2c 0 抛物线与 y 轴的正半轴相交 c 0 3b 2c 0 p 3b 2c Q b 2a 3b 2c 2a 2b 2c Q P 2a 2b 2c 3b 2c 2a 5b 4b 0 P Q 故答案为 P Q 点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系 去绝对值 二次函数的性质 熟记二 次函数的性质是解题的关键 三 解答题 共三 解答题 共 1010 小题 小题 21 2016 金华校级模拟 计算 分析 先根据二次根式的化简 负整数指数幂 特殊角的三角函数值及 0 指数幂把原式 化简 再根据实数混合运算的法则进行计算即可 解答 解 原式 2 2 4 1 2 2 2 1 学习参考 1 故答案为 1 点评 本题考查实数的综合运算能力 是各地中考题中常见的计算题型 解决此类题目 的关键是熟记特殊角的三角函数值 熟练掌握负整数指数幂 零指数幂及二次根式等考点 的运算 22 2016 江西模拟 如图 ABC 中 ACB 90 sinA BC 8 D 是 AB 中点 过点 B 作直线 CD 的垂线 垂足为点 E 1 求线段 CD 的长 2 求 cos ABE 的值 分析 1 在 ABC 中根据正弦的定义得到 sinA 则可计算出 AB 10 然后根据 直角三角形斜边上的中线性质即可得到 CD AB 5 2 在 Rt ABC 中先利用勾股定理计算出 AC 6 在根据三角形面积公式得到 S BDC S ADC 则 S BDC S ABC 即CD BE AC BC 于是可计算出 BE 然后在 Rt BDE 中 利用余弦的定义求解 解答 解 1 在 ABC 中 ACB 90 sinA 而 BC 8 AB 10 D 是 AB 中点 CD AB 5 2 在 Rt ABC 中 AB 10 BC 8 AC 6 D 是 AB 中点 BD 5 S BDC S ADC S BDC S ABC 即CD BE AC BC BE 学习参考 在 Rt BDE 中 cos DBE 即 cos ABE 的值为 点评 本题考查了解直角三角形 在直角三角形中 由已知元素求未知元素的过程就是 解直角三角形 也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式 23 2016 宁夏 已知 ABC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D BC 于 E 连接 ED 若 ED EC 1 求证 AB AC 2 若 AB 4 BC 2 求 CD 的长 分析 1 由等腰三角形的性质得到 EDC C 由圆外接四边形的性质得到 EDC B 由此推得 B C 由等腰三角形的判定即可证得结论 2 连接 AE 由 AB 为直径 可证得 AE BC 由 1 知 AB AC 证明 CDE CBA 后即 可求得 CD 的长 解答 1 证明 ED EC EDC C EDC B B C AB AC 2 方法一 解 连接 AE AB 为直径 AE BC 由 1 知 AB AC BE CE BC CDE CBA CE CB CD CA AC AB 4 2 4CD CD 方法二 解 连接 BD AB 为直径 学习参考 BD AC 设 CD a 由 1 知 AC AB 4 则 AD 4 a 在 Rt ABD 中 由勾股定理可得 BD2 AB2 AD2 42 4 a 2 在 Rt CBD 中 由勾股定理可得 BD2 BC2 CD2 2 2 a2 42 4 a 2 2 2 a2 整理得 a 即 CD 点评 本题考查了圆周角定理 等腰三角形的判定和性质 勾股定理 正确的作出辅助 线是解题的关键 24 2016 漳州 如图 AB 为 O 的直径 点 E 在 O 上 C 为的中点 过点 C 作直线 CD AE 于 D 连接 AC BC 1 试判断直线 CD 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 AD 2 AC 求 AB 的长 分析 1 连接 OC 由 C 为的中点 得到 1 2 等量代换得到 2 ACO 根据平 行线的性质得到 OC CD 即可得到结论 学习参考 2 连接 CE 由勾股定理得到 CD 根据切割线定理得到 CD2 AD DE 根据勾股定理得到 CE 由圆周角定理得到 ACB 90 即可得到结论 解答 解 1 相切 连接 OC C 为的中点 1 2 OA OC 1 ACO 2 ACO AD OC CD AD OC CD 直线 CD 与 O 相切 2 方法 1 连接 CE AD 2 AC ADC 90 CD CD 是 O 的切线 CD2 AD DE DE 1 CE C 为的中点 BC CE AB 为 O 的直径 ACB 90 AB 3 方法 2 DCA B 易得 ADC ACB AB 3 学习参考 点评 本题考查了直线与圆的位置关系 切线的判定和性质 圆周角定理 勾股定理 平行线的性质 切割线定理 熟练掌握各定理是解题的关键 25 2016 随州 如图 AB 是 O 的弦 点 C 为半径 OA 的中点 过点 C 作 CD OA 交弦 AB 于点 E 连接 BD 且 DE DB 1 判断 BD 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 CD 15 BE 10 tanA 求 O 的直径 分析 1 连接 OB 由圆的半径相等和已知条件证明 OBD 90 即可证明 BD 是 O 的 切线 2 过点 D 作 DG BE 于 G 根据等腰三角形的性质得到 EG BE 5 由两角相等的三角形 相似 ACE DGE 利用相似三角形对应角相等得到 sin EDG sinA 在 Rt EDG 中 利用勾股定理求出 DG 的长 根据三角形相似得到比例式 代入数据即可得到结果 解答 1 证明 连接 OB OB OA DE DB A OBA DEB ABD 又 CD OA A AEC A DEB 90 OBA ABD 90 OB BD BD 是 O 的切线 2 如图 过点 D 作 DG BE 于 G DE DB EG BE 5 ACE DGE 90 AEC GED GDE A ACE DGE sin EDG sinA 即 DE 13 在 Rt ECG 中 DG 12 CD 15 DE 13 CE 2 ACE DGE 学习参考 AC DG O 的直径 2OA 4AC 点评 此题考查了切线的判定 以及相似三角形的判定与性质 熟练掌握相似三角形的 判定与性质是解本题的关键 26 2016 丹东 某片果园有果树 80 棵 现准备多种一些果树提高果园产量 但是如果多 种树 那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少 单棵树的产量随之降低 若该果园 每棵果树产果 y 千克 增种果树 x 棵 它们之间的函数关系如图所示 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 在投入成本最低的情况下 增种果树多少棵时 果园可以收获果实 6750 千克 3 当增种果树多少棵时 果园的总产量 w 千克 最大 最大产量是多少 分析 1 函数的表达式为 y kx b 把点 12 74 28 66 代入解方程组即可 2 列出方程解方程组 再根据实际意义确定 x 的值 3 构建二次函数 利用二次函数性质解决问题 解答 解 1 设函数的表达式为 y kx b 该一次函数过点 12 74 28 66 得 解得 该函数的表达式为 y 0 5x 80 2 根据题意 得 0 5x 80 80 x 6750 解得 x1 10 x2 70 投入成本最低 x2 70 不满足题意 舍去 增种果树 10 棵时 果园可以收获果实 6750 千克 学习参考 3 根据题意 得 w 0 5x 80 80 x 0 5 x2 40 x 6400 0 5 x 40 2 7200 a 0 5 0 则抛物线开口向下 函数有最大值 当 x 40 时 w 最大值为 7200 千克 当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200 千克 点评 本题考查二次函数的应用 一次函数的应用 一元二次方程等知识 解题的关键 是熟练掌握待定系数法 学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题 属于中考常考题 型 27 2016 湘潭 为了增强学生体质 学校鼓励学生多参加体育锻炼 小胖同学马上行动 每天围绕小区进行晨跑锻炼 该小区外围道路近似为如图所示四边形 ABCD 已知四边形 ABED 是正方形 DCE 45 AB 100 米 小胖同学某天绕该道路晨跑 5 圈 时间约为 20 分钟 求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米 分 结果保留整数 1 41 分析 首先利用勾股定理求出 CD 的长度 然后求出小胖每天晨跑的路程 进而求出平均 速度 解答 解 ABED 是正方形 DCE 45 AB 100 米 DE CE 100 米 在直角三角形 DEC 中 DC2 DE2 CE2 即 DC 100 四边形 ABCD 的周长为 100 100 100 100 100 400 100 小胖同学某天绕该道路晨跑 5 圈 时间约为 20 分钟 小胖每天晨跑的路程为 2000 500 米 小胖同学该天晨跑的平均速度 2000 500 20 100 25 135 25 米 分 点评 本题主要考查了解直角三角形的应用 解题的关键是利用勾股定理求出 DC 的长度 此题难度不大 28 2016 六盘水 据调查 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一 所以规定以下情 境中的速度不得超过 15m s 在一条笔直公路 BD 的上方 A 处有一探测仪 如平面几何图 AD 24m D 90 第一次探测到一辆轿车从 B 点匀速向 D 点行驶 测得 ABD 31 2 秒后到达 C 点 测得 ACD 50 tan31 0 6 tan50 1 2 结果精确到 1m 1 求 B C 的距离 2 通过计算 判断此轿车是否超速 学习参考 分析 1 在直角三角形 ABD 与直角三角形 ACD 中 利用锐角三角函数定义求出 BD 与 CD 的长 由 BD CD 求出 BC 的长即可 2 根据路程除以时间求出该轿车的速度 即可作出判断 解答 解 1 在 Rt ABD 中 AD 24m B 31 tan31 即 BD 40m 在 Rt ACD 中 AD 24m ACD 50 tan50 即 CD 20m BC BD CD 40 20 20m 则 B C 的距离为 20m 2 根据题意得 20 2 10m s 15m s 则此轿车没有超速 点评 此题考查了解直角三角形的应用 熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键 29 2016 六盘水 如图 抛物线 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两 点 与 y 轴交于点 C 0 3 顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 求此抛物线顶点 D 的坐标和对称轴 3 探究对称轴上是否存在一点 P 使得以点 P D A 为顶点的三角形是等腰三角形 若 存在 请求出所有符合条件的 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 根据抛物线 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 可以求得抛物线的解析式 2 根据 1 中的解析式化为顶点式 即可得到此抛物线顶点 D 的坐标和对称轴 3 首先写出存在 然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点 P 的坐标即可 学习参考 解答 解 1 抛物线 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 解得 即此抛物线的解析式是 y x2 2x 3 2 y x2 2x 3 x 1 2 4 此抛物线顶点 D 的坐标是 1 4 对称轴是直线 x 1 3 存在一点 P 使得以点 P D A 为顶点的三角形是等腰三角形 设点 P 的坐标为 1 y 当 PA PD 时 解得 y 即点 P 的坐标为 1 当 DA DP 时 解得 y 4 即点 P 的坐标为 1 4 2 或 1 4 当 AD AP 时 解得 y 4 即点 P 的坐标是 1 4 或 1 4 当点 P 为 1 4 时与点 D 重合 故不符合题意 由上可得 以点 P D A 为顶点的三角形是等腰三角形时 点 P 的坐标为 1 或 1 4 2 或 1 4 或 1 4 点评 本题考查二次函数综合题 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 利用分类讨论的数学思想解答问题 30 2016 河池 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 A 在 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 顶点为 D 1 请直接写出点 A C D 的坐标 2 如图 1 在 x 轴上找一点 E 使得 CDE 的周长最小 求点 E 的坐标