2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷解析版）

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 北京卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 北京卷 解析版 一 选择题共一 选择题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出四分 在每小题列出四个选项中 选出符合题目要求的一项 个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知全集 U R R 集合 那么 2 1Px x UP A B C 1 1 D 1 1 11 答案 D 解析 故选 D 2 111xx UP 11 2 复数 2 12 i i A B C D ii 43 55 i 43 55 i 答案 A 解析 选 A 2 2 i2 i2 1 2i 2242 1 24 12i 12i 1 2i 1 41 4 1 iiiii i i 3 如果 那么 11 22 loglog0 xy A B C D 1yx 1xy 1xy 1yx 答案 D 解析 即故选 D 11 22 loglogxyxy 1 2 log01yy 1yx 4 若是真命题 是假命题 则pq A 是真命题 B 是假命题 C 是真命题 D 是真命题pq pq p q 答案 D 解析 或 一真必真 且 一假必假 非 真假相反 故选 D 5 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A 32 B 16 16 2 C 48 D 1632 2 答案 B 解析 由三视图可知几何体为底面边长为 4 高为 2 的正四棱锥 则四棱锥 的斜高为 表面积故选 B 2 2 2 1 4 2 24416 16 2 2 6 执行如图所示的程序框图 若输入 A 的值为 2 则输出的 P 值为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 执行三次循环 成立 成立 12SA 1 12p 113 11 22 S P 3 2 2 SA 成立 2 13p 313111 2236 S P 11 2 6 SA 3 14p 不成立 输出 故选 C 11111125 66412 S p 25 2 12 SA 4p 7 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为 800 元 若每批生产件 则平均仓储时间为天 x 8 x 且每件产品每天的仓储费用为 1 元 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产 产品 A 60 件 B 80 件 C 100 件 D 120 件 第二部分 非选择题第二部分 非选择题 共共 110110 分 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 在中 若 则 ABCA 1 5 sin 43 bBA a 答案 3 25 解析 由正弦定理得又所以 sinsin ab AB 1 5 sin 43 bBA 55 2 1 3 sin 34 a a 10 已知双曲线的一条渐近线的方程为 则 2 2 2 1 0 y xb b 2yx b 答案 2 解析 由得渐近线的方程为即 由一条渐近线的方程为 2 2 2 1 y x b 2 2 2 0 y xybx b ybx 得22yx b 11 已知向量 若与 共线 则 3 1 0 1 3 abck 2ab c k 答案 1 解析 由与共线得2 3 3 ab 2ab c 3331kk 12 在等比数列中 若则公比 n a 14 1 4 2 aa q 12n aaa 答案 2 2 1 2 1 n 解析 由是等比数列得 又 所以 n a 3 41 aa q 14 1 4 2 aa 3 1 42 2 qq 1 12 1 1 n n aq aaa q 1 1 1 2 1 2 2 1 22 n n 13 已知函数 若关于的方程 有两个不同的实根 则实数的取值范 3 2 2 1 2 x f xx xx x f xk k 围是 答案 0 1 解析 单调递减且值域为 0 1 单调递增且值域为 2 2 f xx x 3 1 2 f xxx 1 有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 0 1 f xk 14 设R R 记为平行四边形 ABCD 内部 不含边界 的整点的 0 0 4 0 4 3 3 ABC tD tt N t 个数 其中整点是指横 纵坐标都是整数的点 则 的所有可能取值为 0 N N t 答案 6 6 7 8 解析 在 时分别对应点为 6 8 7 在平面直角坐标系中画出平行四边形0t 3 0 2 t 3 2 t 其中位于原点 位于正半轴 设与边的交点为 与 边的交点为ABCDABx 1 2 yk k AD k ABC 四边形内部 不包括边界 的整点都在线段上 线段上的整点 k BABCD kk A B 4 kk A BAB kk A B 有 3 个或 4 个 所以 不难求得点 3 2 4 28N t 1 1 3 t A 2 2 2 3 t A 当 为型整数时 都是整点 t3n 6N t 当 为型整数时 都不是整点 t31n 1 A 2 A 8N t 当 为型整数时 都不是整点 以上表述中为整数 t32n 1 A 2 A 8N t n 上面上面 3 3 种情形涵概了种情形涵概了 的所有整数取值 所以的值域为 6 7 8 t N t 三 解答题共三 解答题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 求的最小正周期 求在区间 4cos sin 1 6 f xxx f x f x 上的最大值和最小值 6 4 解析 因为1 6 sin cos4 xxxf1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 所以的最小正周期为1cos22sin3 2 xxxx2cos2sin3 6 2sin 2 x xf 因为于是 当时 取得最大值 3 2 6 2 6 46 xx所以 6 26 2 xx即 xf 2 当取得最小值 1 6 66 2xfxx时即 16 本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以 X 表 示 如果X 8 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 如果X 9 分别从甲 乙两组中随机选 取一名同学 求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率 注 注 方差 其中为 的平均数 2222 12 1 n sxxx n xxx x1 x 2 x n x 解析 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 4 35 4 10988 x 方差为 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 1 2222 s 记甲组四名同学为 A1 A2 A3 A4 他们植树的棵数依次为 9 9 11 11 乙组四名同学为 B1 B2 B3 B4 他们植树的棵数依次为 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 所有可 能的结果有 16 个 它们是 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A1 B4 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A2 B4 A3 B1 A2 B2 A3 B3 A1 B4 A4 B1 A4 B2 A4 B3 A4 B4 用 C 表示 选出的两名同学的植树总 棵数为 19 这一事件 则 C 中的结果有 4 个 它们是 A1 B4 A2 B4 A3 B2 A4 B2 故所求概率为 4 1 16 4 CP 17 本小题共 14 分 如图 在四面体中 点分别是棱PABC PCAB PABC D E F G 的中点 求证 平面 求证 四边形为矩形 是否 AP AC BC PBDE BCPDEFG 存在点 到四面体六条棱的中点 的距离相等 说明理由 QPABC 解析 证明 因为 D E 分别为 AP AC 的中点 所以 DE PC 又因为 DE平面 BCP 所以 DE 平 面 BCP 因为 D E F G 分别为 AP AC BC PB 的中点 所以 DE PC FG DG AB EF 所以四边形 DEFG 为平行四边形 又因为 PC AB 所以 DE DG 所以四边形 DEFG 为矩形 存在点 Q 满足条件 理由如下 连接 DF EG 设 Q 为 EG 的中点 由 知 DF EG Q 且 QD QE QF QG EG 2 1 分别取 PC AB 的中点 M N 连接 ME EN NG MG MN 与 同理 可证四边形 MENG 为矩形 其对角线点为 EG 的中点 Q 且 QM QN EG 所以 Q 为满足条件的点 2 1 18 本小题共 13 分 已知函数 求的单调区间 求在区间 x f xxk e f x f x 上的最小值 0 1 解析 令 得 与的情况如下 1 3 ekxxf 0 x f1 kx xf x f x kk 1 k 1 k x f 0 xf 1 k e 所以 的单调递减区间是 单调递增区间是 xf1 k 1 k 当 即时 函数在 0 1 上单调递增 所以 x 在区间 0 1 上的最小值为01 k1 k xff 当时 由 知上单调递减 在上单调递增 0 kf 21 110 kk即 0 1 f xk 在 1 1 k 所以在区间 0 1 上的最小值为 当时 函数在 0 1 上单调 f x 1 1 k f ke 1 2ktk 即 f x 递减 所以在区间 0 1 上的最小值为 f x 1 1 fk e 19 本小题共 14 分 已知椭圆的离心率为 右焦点为 斜率为 22 22 1 0 xy Gab ab 6 3 2 2 0 1 的直线 与椭圆交于两点 以为底边作等腰三角形 顶点为 求椭圆的方程 lG A BAB 3 2 P G 求的面积 PABA 解析 由已知得解得又 6 2 2 3 c c a 2 3 a 222 4 bac 所以椭圆 G 的方程为 22 1 124 xy 设直线l的方程为由得设 A B 的坐标分别为 mxy 1 412 22 yx mxy 0 12364 22 mmxx AB 中点为 E 则因为 AB 是等腰 212211 xxyxyx 00 yx 4 3 2 21 0 mxx x 4 00 m mxy PAB 的底边 所以 PE AB 所以 PE 的斜率解得 m 2 此时方程 为解得 1 4 3 3 4 2 m m k 0 124 2 xx 所以所以 AB 此时 点 P 3 2 到直线 AB 的距 0 3 21 xx 2 1 21 yy23