2011版高考数学 3年高考2年模拟 第7章 数列

用心 爱心 专心1 第六章第六章 数列第一部分数列第一部分 三年高考体题荟萃三年高考体题荟萃 20112011 年高考题年高考题 一 选择题 1 天津理 4 已知 n a 为等差数列 其公差为 2 且 7 a 是 3 a 与 9 a 的等比中项 n S 为 n a 的前n项和 nN 则 10 S 的值为 A 110 B 90 C 90 D 110 答案 D 2 四川理 8 数列 n a 的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nN 若则 3 2b 10 12b 则 8 a A 0 B 3 C 8 D 11 答案 B 解析 由已知知 1 28 28 nnn bnaan 由叠加法 21328781 642024603aaaaaaaa 3 四川理 11 已知定义在 0 上的函数 f x 满足 3 2 f xf x 当 0 2x 时 2 2f xxx 设 f x 在 22 2nn 上的最大值为 n a nN 且 n a 的前n项和为 n S 则 lim n n S A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 答案 D 解析 由题意 1 2 3 f xf x 在 2 2 2 nn 上 21 1 1 1113 3 1 1 2 3 lim 1 3332 1 3 n n nnn nf xnf xnf xaSS 4 上海理 18 设 n a 是各项为正数的无穷数列 i A 是边长为 1 ii a a 的矩形面积 1 2 i 则 n A 为等比数列的充要条件为 A n a 是等比数列 B 1321 n a aa 或 242 n a aa 是等比数列 用心 爱心 专心2 C 1321 n a aa 和 242 n a aa 均是等比数列 D 1321 n a aa 和 242 n a aa 均是等比数列 且公比相同 答案 D 5 全国大纲理 4 设 n S 为等差数列 n a 的前n项和 若 1 1a 公差 2d 2 24 kk SS 则k A 8 B 7 C 6 D 5 答案 D 6 江西理 5 已知数列 n a 的前 n 项和 n S 满足 nmn m SSS 且 1 a 1 那么 10 a A 1 B 9 C 10 D 55 答案 A 7 福建理 10 已知函数 f x e x 对于曲线 y f x 上横坐标成等差数列的三个点 A B C 给出以下判断 ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 A B C D 答案 B 二 填空题 8 湖南理 12 设 n S 是等差数列 n a nN 的前n项和 且 14 1 7aa 则 9 S 答案 25 9 重庆理 11 在等差数列 n a 中 37 37aa 则 2468 aaaa 答案 74 10 北京理 11 在等比数列 an 中 a1 1 2 a4 4 则公比 q 12 n aaa 2 答案 2 1 2 1 n 11 安徽理 14 已知 ABC 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的 等差数列 则 ABC 的面积为 用心 爱心 专心3 答案 315 12 湖北理 13 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自上而下各节的容 积成等差数列 上面 4 节的容积共为 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节的容积 为 升 答案 67 66 13 广东理 11 等差数列 n a 前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则 k 答案 10 14 江苏 13 设 721 1aaa 其中 7531 aaaa 成公比为 q 的等比数列 642 aaa 成公差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 答案 3 3 三 解答题 15 江苏 20 设 部分为正整数组成的集合 数列 1 1 aan的首项 前 n 项和为 n S 已知对任意整数 k M 当整数 2 knknkn SSSSkn 时 都成立 1 设 52 2 1 aaM求 的值 2 设 4 3 n aM求数列 的通项公式 本小题考查数列的通项与前n项和的关系 等差数列的基本性质等基础知识 考查考生 分析探究及逻辑推理的能力 满分 16 分 解 1 由题设知 当 111 2 2 nnn nSSSS 时 即 111 2 nnnn SSSSS 从而 1122 22 2 2 2 2 22 nnn aaaanaann 又故当时 所以 5 a 的值为 8 2 由题设知 当 3 4 22 n kn knk kMnkSSS 且时 S 111 22 nknknk SSSS 且 两式相减得 1111111 2 nknknnknknnk aaaaaaa 即 所以当 6336 8 nnnnn naaaaa 时 成等差数列 且 6226 nnnn aaaa 也成等差 用心 爱心 专心4 数 列 从而当 8n 时 3366 2 nnnnn aaaaa 且 662222 8 2 nnnnnnn aaaanaaa 所以当时 即 223113 9 nnnnnnnn aaaanaaaa 于是当时 成等差数列 从而 3311nnnn aaaa 故由 式知 1111 2 nnnnnnn aaaaaaa 即 当 9n 时 设 1 nn daa 当2 8 68mm 时 从而由 式知 612 2 mmm aaa 故 7113 2 mmm aaa 从而 7611312 2 mmmmmm aaaaaa 于是 1 2 mm aaddd 因此 1nn aad 对任意 2n 都成立 又由 22 3 4 n kn kkk SSSSk 可知 34 2 92162 n knnn kk SSSSSdSdS 故且 解得 421 73 222 d adad a 从而 因此 数列 n a 为等差数列 由 1 12 ad 知 所以数列 n a 的通项公式为 21 n an 16 安徽理 18 在数 1 和 100 之间插入n个实数 使得这 2n 个数构成递增的等比数列 将这 2n 个数的乘积记作 n T 再令 lg nn aT 1n 求数列 n a 的通项公式 设 1 tantan nnn baa A 求数列 n b 的前n项和 n S 本题考查等比和等差数列 指数和对数的运算 两角差的正切公式等基本知识 考查 灵活运用知识解决问题的能力 综合运算能力和创新思维能力 用心 爱心 专心5 解 I 设 221 n lll 构成等比数列 其中 100 1 21 n tt 则 2121 nnn ttttT 1221 ttttT nnn 并利用 得 21 102 2131 nitttt nin 1 2lg 10 2 2 12211221 2 nnTattttttttT nn n nnnnn II 由题意和 I 中计算结果 知 1 3tan 2tan nnnbn 另一方面 利用 tan 1tan 1 tan 1tan 1tan 1tan kk kk kk 得 1 1tan tan 1tan tan 1tan kk kk 所以 2 31 tan 1tan n k n k kn kkbS 1tan 3tan 3tan 1 1tan tan 1tan 2 3 n n kk n k 17 北京理 20 若数列 12 2 nn Aa aa n 满足 11 1 1 2 1 n aakn 数列 n A 为E数列 记 n S A 12 n aaa 写出一个满足 1 0 s aa 且 s S A 0 的E数列 n A 若 1 12a n 2000 证明 E 数列 n A 是递增数列的充要条件是 n a 2011 对任意给定的整数 n n 2 是否存在首项为 0 的 E 数列 n A 使得 n S A 0 如果存在 写出一个满足条件的 E 数列 n A 如果不存在 说明理由 解 0 1 2 1 0 是一具满足条件的 E 数列 A5 答案不唯一 0 1 0 1 0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5 必要性 因为 E 数列 A5 是递增数列 所以 1999 2 1 1 1 kaa kk 用心 爱心 专心6 所以 A5 是首项为 12 公差为 1 的等差数列 所以 a2000 12 2000 1 1 2011 充分性 由于 a2000 a1000 1 a2000 a1000 1 a2 a1 1 所以 a2000 a 19999 即 a2000 a1 1999 又因为 a1 12 a2000 2011 所以 a2000 a1 1999 故 nnn Akaa即 1999 2 1 01 1 是递增数列 综上 结论得证 令 1 1 2 1 01 1 Akkk cnkaac则 因为 2111112 ccaacaa 1211 nn cccaa 所以 13211 3 2 1 nn ccncncnnaAS 1 2 1 1 1 2 1 121 n cncnc nn 因为 1 1 1 1 nkcc kk 为偶数所以 所以 1 2 1 1 1 21n cncnc 为偶数 所以要使 2 1 0 nn AS n 必须使 为偶数 即 4 整除 144 1 Nmmnmnnn 或亦即 当 1 0 14 241414 kkkn aaaAENmmn的项满足数列时1 4 k a 2 1 mk 时 有 0 0 1 n ASa 0 0 0 2 1 1 1144 nkk ASaamka有时 当 n AENmmn数列时 14 的项满足 1 0 243314 kkk aaa 当 1 3424 mnNmmnmn时或 不能被 4 整除 此时不存在 E 数列 An 使得 0 0 1 n ASa 用心 爱心 专心7 18 福建理 16 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若函数 sin 2 0 0 f xAxAp 在 6 x 处取得最大值 且最大 值为 a3 求函数 f x 的解析式 本小题主要考查等比数列 三角函数等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思 想 满分 13 分 解 I 由 3 1 3 1 3 1313 3 31 33 a qS 得 解得 1 1 3 a 所以 12 1 33 3 nn n a II 由 I 可知 2 3 3 3 n n aa 所以 因为函数 f x 的最大值为 3 所以 A 3 因为当 6 x 时 f x 取得最大值 所以 sin 2 1 6 又 0 6 故 所以函数 f x 的解析式为 3sin 2 6 f xx 19 广东理 20 设 b 0 数列 n a 满足 a1 b 1 1 2 22 n n n nba an an 1 求数列 n a 的通项公式 用心 爱心 专心8 2 证明 对于一切正整数 n 1 1 1 2 n n n b a 解 1 由 1 1 11 121 0 0 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 n n n AA ab 当 1 12 2 nn nAA bb 时 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 nn nn bbbb 当 2b 时 12 1 2 2 2 1 n nn n n bbb A bb b 当 2 2 n n bA 时 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 2 当 2b 时 欲证 11 11 2 2 1 1 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证 1111121 2 2 2 22 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2 222 nnn nn nnn bbb b bbb 用心 爱心 专心9 1 2 222 222 nnnnnn bnbnb 1 1 2 1 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2 21 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1 2 n n n b a 20 湖北理 19 已知数列 na 的前n项和为 nS 且满足 1aa 0 a 1nnarS n N 1 rR r 求数列 na 的通项公式 若存在k N 使得 1kS kS 2kS 成等差数列 是判断 对于任意的m N 且 2m 1ma ma 2ma 是否成等差数列 并证明你的结论 本小题主要考查等差数列 等比数列等基础知识 同时考查推理论证能力 以及特殊 与一般的思想 满分 13 分 解 I 由已知 1 nn arS 可得 21nn arS 两式相减可得 2111 nnnnn aar SSra 即 21 1 nn ara 又 21 arara 所以 r 0 时 数列 n a 为 a 0 0 当 0 1rr 时 由已知 0 0 n aa 所以 nN 于是由 21 1 nn ara 可得 2 1 1 n n a rnN a 23 n a aa 成等比数列 当n2时 2 1 n n ar ra 用心 爱心 专心10 综上 数列 n a 的通项公式为 2 1 1 2 n n n an a r ra n II 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 证明如下 当 r 0 时 由 I 知 1 0 2 m a n a n 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 当 0r 1r 时 21211 kkkkkk SSaaSa 若存在 kN 使得 112 kk SS S 成等差数列 则 12 2 kkk SSS 1221 222 2 kkkkkk SaaSaa 即 由 I 知 23 m a aa 的公比 12r 于是 对于任意的 mN 且 12 2 2 4 mmmm maaaa 从而 1212 2 mmmmmm aaaaaa 即 成等差数列 综上 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 21 辽宁理 17 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 I 求数列 an 的通项公式 II 求数列 1 2n n a 的前 n 项和 解 I 设等差数列 n a 的公差为 d 由已知条件可得 1 1 0 21210 ad ad 解得 1 1 1 a d 故数列 n a 的通项公式为 2 n an 5 分 用心 爱心 专心11 II 设数列 1 2 n n n a nS 的前项和为 即 2 11 1 1 22 n n n aa SaS 故 12 2242 nn n Saaa 所以 当 1n 时 121 1 1 1 1 2222 1112 1 2422 12 1 1 22 nnnn nn nn nn Saaaaa a n n 2n n 所以 1 2 n n n S 综上 数列 11 22 n n nn an nS 的前项和 12 分 22 全国大纲理 20 设数列 n a 满足 1 0a 且 1 11 1 11 nn aa 求 n a 的通项公式 设 1 1 1 1 n n nnkn k a bbS n 记S证明 解 I 由题设 1 11 1 11 nn aa 即 1 1 n a 是公差为 1 的等差数列 又 1 11 1 11 n n aa 故 所以 1 1 n a n 用心 爱心 专心12 II 由 I 得 1 1 1 1 11 1 n n a b n nn nn nn 8 分 11 111 11 11 nn nk kk Sb kkn 12 分 23 全国新课标理 17 已知等比数列 n a 的各项均为正数 且 2 12326 231 9aaaa a I 求数列 n a 的通项公式 II 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 1 n b 的前 n 项和 解 设数列 an 的公比为 q 由 2 326 9aa a 得 32 34 9aa 所以 2 1 9 q 由条件可知 c 0 故 1 3 q 由 12 231aa 得 12 231aa q 所以 1 1 3 a 故数列 an 的通项式为 an 1 3n 31323n loglog log n baaa 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 用心 爱心 专心13 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n 24 山东理 20 等比数列 n a 中 123 a a a 分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且 123 a a a 中 的任何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 求数列 n a 的通项公式 若数列 n b 满足 1 ln nnn baa 求数列 n b 的前 n 项和 n S 解 I 当 1 3a 时 不合题意 当 1 2a 时 当且仅当 23 6 18aa 时 符合题意 当 1 10a 时 不合题意 因此 123 2 6 18 aaa 所以公式 q 3 故 1 2 3 n n a II 因为 1 ln n nnn baa 11 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 ln2 1 ln3 2 3 1 ln2ln3 1 ln3 nnn nn nnn n n 所以 212 2 2 1 33 1 1 1 1 ln2ln3 125 1 ln3 nnn n Sn 所以 当 n 为偶数时 1 3 2ln3 1 32 n n n S 3ln3 1 2 n n 当 n 为奇数时 1 31 2 ln2ln3 ln3 1 32 n n n Sn 用心 爱心 专心14 1 3ln3ln2 1 2 n n 综上所述 3ln3 1 2 1 2 n n n n n S n 为偶数 3 l n3 l n2 1 n为奇数 25 上海理 22 已知数列 n a 和 n b 的通项公式分别为 36 n an 27 n bn nN 将集合 nn x xa nNx xb nN 中的元素从小到大依次排列 构成数列 123 n c c cc 1 求 1234 c c c c 2 求证 在数列 n c 中 但不在数列 n b 中的项恰为 242 n a aa 3 求数列 n c 的通项公式 解 1234 9 11 12 13cccc 任意 nN 设 21 3 21 66327 nk annbk 则 32kn 即 2132nn ab 假设 2 6627 nk anbk 1 3 2 knN 矛盾 2 nn ab 在数列 n c 中 但不在数列 n b 中的项恰为 242 n a aa 3221 2 32 763 kk bkka 31 65 k bk 2 66 k ak 3 67 k bk 6 3656667kkkk 当 1k 时 依次有 111222334 bac bc ac bc 用心 爱心 专心15 63 43 65 42 66 41 67 4 n knk knk ckN knk knk 26 四川理 20 设d为非零实数 12211 1 2 1 nnnn nnnnn aC dC dnCdnC dnN n 1 写出 123 a a a 并判断 n a 是否为等比数列 若是 给出证明 若不是 说明理由 II 设 nn bndanN 求数列 n b 的前 n 项和 n S 解析 1 1 2 2 3 1 1 ad ad d ad d 0122311 1 1 1 1 1 nnn nnnnn n n n n aC dC dC dCddd add a d a 因为d为常数 所以 n a 是以d为首项 1d 为公比的等比数列 2 21 20212221 20121 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 n n n n n bndd Sddddddndd ddddnd 2123 1 1 2 1 3 1 1 2 n n d Sddddnd 2 1 222 1 1 1 1 1 1 1 n nn n d dSdd nddd ndd d 1 1 1 n n Sdnd 27 天津理 20 已知数列 n a 与 n b 满足 112 3 1 0 2 n nnnnnn b aabab n N 且 12 2 4aa 求 345 a a a 的值 用心 爱心 专心16 设 2121 nnn caanN 证明 n c 是等比数列 III 设 242 kk SaaakN 证明 4 1 7 6 n k k k S nN a 本小题主要考查等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 I 解 由 3 1 2 n n bnN 可得 1 n n b 为奇数 2 n为偶数 又 112 0 nnnnn b aaba 123123 2344 3454 3 5 4 当n 1时 a a 2a 0 由a 2 a 4 可得a 当n 2时 2a a a 0 可得a 当n 3时 a a 2a 0 可得a II 证明 对任意 nN 21221 20 nnn aaa 22122 20 nnn aaa 212223 20 nnn aaa 得 223 nn aa 将 代入 可得 21232121 nnnn aaaa 即 1 nn cc nN 又 113 1 0 n caa 故c 因此 1 1 n n n c c c 所以 是等比数列 III 证明 由 II 可得 2121 1 k kk aa 于是 对任意 2kNk 且 有 用心 爱心 专心17 13 35 57 2321 1 1 1 1 1 k kk aa aa aa aa 将以上各式相加 得 121 1 1 k k aak 即 1 21 1 1 k k ak 此式当 k 1 时也成立 由 式得 1 2 1 3 k k ak 从而 22468424 kkk Saaaaaak 2124 3 kkk SSak 所以 对任意 2nNn 4 4342414 11 4342414 nn kmmmm km kmmmm SSSSS aaaaa 1 2221232 2222123 n m mmmm mmmm 1 23 2 21 22 22 n m mmmm 2 253 2 32 21 22 23 n m mmnn 2 153 3 21 21 22 23 n m mmnn 151111113 3235572121 22 23 nnnn 15513 362 21 22 23 7 6 nnn 对于 n 1 不等式显然成立 所以 对任意 nN 用心 爱心 专心18 21212 12212 nn nn SSSS aaaa 3212124 1234212 nn nn SSSSSS aaaaaa 222 11121 1 1 1 41244 41 4 41 nn n 222 11121 41244 41 44 41 nnn n n 111 4123 nn 28 浙江理 19 已知公差不为 0 的等差数列 n a 的首项 1 a 为 a a R 设数列的前 n 项和为 n S 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比数列 1 求数列 n a 的通项公式及 n S 2 记 123 1111 n n A SSSS 2 12 22 1111 n n B aaaa 当 2n 时 试比较 n A 与 n B 的大小 本题主要考查等差数列 等比数列 求和公式 不等式等基础知识 同时考查分类讨论思 想 满分 14 分 I 解 设等差数列 n a 的公差为 d 由 2 214 111 aaa 得 2 111 3 ada ad 因为 0d 所以d a 所以 1 1 2 nn an n ana S II 解 因为 12 11 1 n Sa nn 所以 123 111121 1 1 n n A SSSSan 因为 1 1 2 2 n n aa 所以 用心 爱心 专心19 21 12 22 1 1 1111121 2 1 1 2 1 2 n n n n B aaaaaa 当 012 2 21 nn nnnn nCCCCn 时 即 11 11 12nn 所以 当 0 nn aAB 时 当 0 nn aAB 时 29 重庆理 21 设实数数列 n a 的前 n 项和 n S 满足 11 NnSaS nnn I 若 122 2a Sa 成等比数列 求 2 S 和 3 a II 求证 对 1 4 30 3 kk kaa 有 I 解 由题意 2 2212 22 22112 2 2 Sa a SS Sa Sa a 得 由 S2 是等比中项知 22 0 2 SS 因此 由 23332 SaSa S 解得 2 3 2 22 1213 S a S II 证法一 由题设条件有 11 nnnn SaaS 故 1 11 1 1 1 11 nn nnnn nn Sa SaaS Sa 且 从而对 3k 有 1 1 2 11211 2 1 11211 1 1 1 111 1 1 k k kkkkk k k kkkkk k k a a SaSaa a a SaSaa a a 用心 爱心 专心20 因 222 1111 13 1 00 24 kkkk aaaa 且 由 得 0 k a 要证 4 3 k a 由 只要证 2 1 2 11 4 31 k kk a aa 即证 222 1111 34 1 2 0 kkkk aaaa 即 此式明显成立 因此 4 3 3 k ak 最后证 1 kk aa 若不然 2 1 2 1 k kk kk a aa aa 又因 2 2 0 1 1 0 1 k kk kk a aa aa 故即 矛盾 因此 1 3 kk aak 证法二 由题设知 111nnnnn SSaaS 故方程 2 111 0 nnnn xSxSSa 有根和 可能相同 因此判别式 2 11 40 nn SS 又由 2 2122121 2 1 1 n nnnnnnn n a SSaaSaS a 得且 因此 2 222 22 2 22 4 0 340 1 1 nn nn nn aa aa aa 即 解得 2 4 0 3 n a 因此 4 0 3 3 k ak 由 1 1 0 3 1 k k k S ak S 得 用心 爱心 专心21 11 1 2 11 1 2 2 11 1 1 1 11 1 1 0 13 1 24 kkk kkkkk kkkk k kk kk k SSS aaaaa Sa SS S aa SS S 因此 1 3 kk aak 20102010 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 20102010 浙江理 浙江理 设 n S为等比数列 n a的前n项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 5 C 8 D 11 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入 所求式可知答案选 D 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式 属中档题 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 答案 C 命题意图 本试题主要考查等差数列的基本公式和性质 解析 17 345441274 7 312 4 728 2 aa aaaaaaaaa 3 3 20102010 辽宁文 辽宁文 设 n S为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32Sa 23 32Sa 则公比q A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 选 B 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 4 4 20102010 辽宁理 辽宁理 设 an 是有正数组成的等比数列 n S为其前 n 项和 已知 a2a4 1 用心 爱心 专心22 3 7S 则 5 S A 15 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 答案 B 命题立意 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考查了同学们解决问题的 能力 解析 由 a2a4 1 可得 24 1 1a q 因此 1 2 1 a q 又因为 2 31 1 7Saqq 联力两 式有 11 3 2 0 qq 所以 q 1 2 所以 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 S 故选 B 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 答案 C C 解析解析 本题考查了数列的基础知识 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 6 6 20102010 安徽文 安徽文 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 答案 A 解析 887 644915aSS 方法技巧 直接根据 1 2 nnn aSSn 即可得出结论 7 7 20102010 浙江文 浙江文 设 n s为等比数列 n a的前n项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 8 C 5 D 11 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入 所求式可知答案选 A 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式 用心 爱心 专心23 8 8 20102010 重庆理 重庆理 在等比数列 n a中 20102007 8aa 则公比 q 的值为 A 2 B 3 C 4 D 8 答案 A 解析 8 3 2007 2010 q a a 2 q 9 9 20102010 广东理 广东理 已知 n a为等比数列 Sn是它的前n项和 若 231 2aaa 且 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 则 5 S A 35 B 33 C 31 D 29 答案 C 解析 设 n a 的公比为q 则由等比数列的性质知 23141 2aaa aa 即 4 2a 由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知 47 5 22 4 aa 即 74 15151 2 22 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 即 1 16a 10 10 20102010 广东文 广东文 11 11 20102010 山东理 山东理 用心 爱心 专心24 12 12 20102010 重庆文 重庆文 2 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 C 8 D 10 答案 A 解析 由角标性质得 195 2aaa 所以 5 a 5 13 13 20102010 江西理 江西理 5 等比数列 n a中 1 2a 8 a 4 函数 128 f xx xaxaxa 则 0f A 6 2 B 9 2 C 12 2 D 15 2 答案 C 解析 考查多项式函数的导数公式 重点考查学生创新意识 综合与灵活地应用所学的 数学知识 思想和方法 考虑到求导中 含有 x 项均取 0 则 0f只与函数 f x的一次 项有关 得 412 123818 2a aaaa a 14 14 20102010 江西理 江西理 2 111 lim 1 333n x A 5 3 B 3 2 C 2 D 不存在 答案 B 解析 考查等比数列求和与极限知识 解法一 先求和 然后对和取极限 用心 爱心 专心25 1 1 3 3 lim 1 2 1 3 n n 15 15 20102010 北京理 北京理 在等比数列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a a a 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 答案 C 16 16 20102010 四川理 四川理 已知数列 n a的首项 1 0a 其前n项的和为 n S 且 11 2 nn SSa 则lim n n n a S A 0 B 1 2 C 1 D 2 解析 由 11 2 nn SSa 且 211 2 nn SSa 作差得an 2 2an 1 又S2 2S1 a1 即a2 a1 2a1 a1 a2 2a1 故 an 是公比为 2 的等比数列 Sn a1 2a1 22a1 2n 1a1 2n 1 a1 则 1 1 1 21 limlim 21 2 n n n nn n aa Sa 答案 B 17 17 20102010 天津理 天津理 6 已知 n a是首项为 1 的等比数列 n s是 n a的前 n 项和 且 36 9ss 则数列 1 n a 的前 5 项和为 A 15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D 15 8 答案 C 解析 本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质 属于中等题 显然 q 1 所以 36 3 9 1 q 1 12 1 q1 q qq q 所以 1 n a 是首项为 1 公比为 用心 爱心 专心26 1 2 的等比数列 前 5 项和 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 T 温馨提示 在进行等比数列运算时要注意约分 降低幂的次数 同时也要注意基本量 法的应用 18 18 20102010 福建理 福建理 3 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 1 11a 46 6aa 则当 n S取最小值时 n 等于 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 解析 设该数列的公差为d 则 461 282 11 86aaadd 解得2d 所以 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 所以当6n 时 n S取最小值 命题意图 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用 考查二次函数最值 的求法及计算能力 19 19 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 答案 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等知 识 着重考查了转化与化归的数学思想 解析 由等比数列的性质知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 20 20 20102010 湖北文 湖北文 7 已知等比数列 m a 中 各项都是正数 且 1 a 32 1 2 2 aa成等差数列 则 910 78 aa aa 用心 爱心 专心27 A 12 B 12 C 32 2 D32 2 21 21 20102010 安徽理 安徽理 10 设 n a是任意等比数列 它的前n项和 前2n项和与前3n项和 分别为 X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A 2XZY B Y YXZ ZX C 2 YXZ D Y YXX ZX 答案 D 分析 取等比数列1 2 4 令1n 得1 3 7XYZ 代入验算 只有选项 D 满足 方法技巧 对于含有较多字母的客观题 可以取满足条件的数字代替字母 代入验证 若能排除 3 个选项 剩下唯一正确的就一定正确 若不能完全排除 可以取其他数字验证 继续排除 本题也可以首项 公比即项数 n 表示代入验证得结论 22 2010 湖北理数 如图 在半径为 r 的园内作内接正六边形 再作正六边形的内切圆 又在此内切圆内作内接正六边形 如此无限继续下去 设 n s为前 n 个圆的面 积之和 则lim n n s A 2 2 r B 8 3 2 r C 4 2 r D 6 2 r 用心 爱心 专心28 二 填空题 23 23 20102010 辽宁文 辽宁文 设 n S为等差数列 n a的前n项和 若 36 324SS 则 9 a 解析 填 15 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad 解得 1 1 2 a d 91 815 aad 24 24 20102010 福建理 福建理 在等比数列 n a中 若公比q 4 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通 项公式 n a 答案 n 1 4 解析 由题意知 111 41621aaa 解得 1 1a 所以通项 n a n 1 4 命题意图 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 属基础题 25 20102010 江苏卷 江苏卷 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k为正整数 a1 16 则a1 a3 a5 解析 考查函数的切线方程 数列的通项 在点 ak ak2 处的切线方程为 2 2 kkk yaaxa 当0y 时 解得 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 三 解答题 26 26 20102010 上海文 上海文 本题满分本题满分 1414 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第一个小题满分个小题 第一个小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 个小个小 题满分题满分 8 8 分 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且585 nn Sna nN 用心 爱心 专心29 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n S的通项公式 并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n 解析 1 当n 1 时 a1 14 当n 2 时 an Sn Sn 1 5an 5an 1 1 所以 1 5 1 1 6 nn aa 又a1 1 15 0 所以数列 an 1 是等比数列 2 由 1 知 1 5 115 6 n n a 得 1 5 1 15 6 n n a 从而 1 5 7590 6 n n Sn n N N 由Sn 1 Sn 得 1 52 65 n 5 6 2 log114 9 25 n 最小正整数n 15 27 27 20102010 陕西文 陕西文 16 本小题满分 12 分 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前n项和Sn 解 由题设知公差d 0 由a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项an 1 n 1 1 n 由 知2 m a 2n 由等比数列前 n 项和公式得 Sm 2 22 23 2n 2 1 2 1 2 n 2n 1 2 28 28 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 本小题满分 12 分 已知 n a是各项均为正数的等比数列 且 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求 n a的通项公式 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b的前n项和 n T 用心 爱心 专心30 解析 本题考查了数列通项 前n项和及方程与方程组的基础知识 1 设出公比根据条件列出关于 1 a 与d的方程求得 1 a 与d 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出 BN 的通项公式 由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得 29 29 20102010 江西理 江西理 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b0 由 a2 a7 16 得 1 2716ad 由 36 55 aa 得 11 2 5 55ad ad 由 得 1 2167ad 将其代入 得 163 163 220dd 即 2 2569220d 2 4 0 2 1 1 1 221 n ddd ann 1 又代入得a 2 令 121121 2 n nnnnn n b caccc accc 则有 两式相减得 1111 1 111 1 1 1 2 2 2 2 2222 2 1 2 2 nnnnn n nnn n n aacaaa ccnnbba n b n 由得 即当时 又当n 1时 于是 341 123 2222n nn Sbbbb 2341 22222n 4 1 22 2 21 426 26 2 1 n nn n S 即 53 2009 福建卷文 等比数列 n a中 已知 14 2 16aa I 求数列 n a的通项公式 若 35 a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项 试求数列 n b的通项公式及前 n项和 n S 用心 爱心 专心72 解 I 设 n a的公比为q 由已知得 3 162q 解得2q 由 I 得 2 8a 5 32a 则 3 8b 5 32b 设 n b的公差为d 则有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 从而16 12 1 1228 n bnn 所以数列 n b的前n项和 2 16 1228 622 2 n nn Snn 54 2009 重庆卷文 本小题满分 12 分 问 3 分 问 4 分 问 5 分 已知 1 1221 1 4 4 n nnnn n a aaaaa bnN a 求 123 b b b的值 设 1 nnnn cb bS 为数列 n c的前n项和 求证 17 n Sn 求证 2 2 11 64 17 nn n bb A 解 234 4 17 72aaa 所以 123 1772 4 417 bbb 由 21 4 nnn aaa 得 2 11 4 nn nn aa aa 即 1 1 4 n n b b 所以当2n 时 4 n b 于是 1121 17 4117 2 nnnn cb bcb bbn 所以 12 17 nn Scccn 当1n 时 结论 21 117 464 bb 成立 当2n 时 有 1 11 11 111 44 17 nn nnnn nnnn bb bbbb bbb b 1221 212 1111 2 171764 17 nn nn bbbbn A 所以 2121221nnnnnnnn bbbbbbbb 用心 爱心 专心73 1 122 2 11 1 1111111 1717 1 4171717464 17 1 17 n n nnn n nN AA 55 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知点 1 3 1 是函数 0 aaxf x 且1 a 的图象上一点 等比数列 n a的前 n项和为cnf 数列 n b 0 n b的首项为c 且前n项和 n S满足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 若数列 1 1 nnb b 前n项和为 n T 问 n T 2009 1000 的最小正整数n是多少 解 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又数列 n a成等比数列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 数列 n S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列 111 n Snn 2 n Sn 当2n 2 2