北京市海淀区2011届高三数学查缺补漏题高考预测

用心 爱心 专心 1 20112011 年海淀区高三数学查漏补缺题年海淀区高三数学查漏补缺题 1 1 数学思维方法的落实数学思维方法的落实 高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题 如果在学生 近一年的大量练习的基础上 教师帮助学生从数学思维的角度进行梳理 对每一个单元知识 的思维特征与方法进行概括 将会使学生对数学的认识提高一个层次 例 1 设函数 2 e x f xxaxa 有极值 若极小值是0 试确定a 证明 当极大值为3时 只限于3 a的情况 解 2 2 e e 2 e xxx fxxaxaxax xa 由0 x f得0 x或ax 2 当2 a时 2 e0 x fxx xf单调递减 函数 f x无极值 与题意不符 故2 a 当2 a时 ax 2为极小值点 故 2 2 4 eaf xfaa 极小值 当极小值为0时 4 a 当2 a时 同理可得afxf 0 极小值 当极小值为0时 0 a 由 知 0 a或4 a 由 知 当2 a时 xf在0 x处取极大值af 0 当3 a时 xf的极大值为3 当2 a时 xf在ax 2处取极大值 2 2 4 eafaa 现在的问题是当 2 4 e3 a a 时是否3 a 解方程 2 4 e3 a a 得 2 4 e30 a a 即 22 e 43e 0 aa a 设 2 43e 2 a g aaa 则 2 13e0 a g a 所以 ag在 2 上单调递增 则有1 2 gag 此时方程 无解 故当 2 a时 xf的极大值不可能为3 根据 和 知 函数 xf的极大值为3时 只限于3a 说明 此题主要考查学生研究函数方法的运用 即给函数解析式之后 能否通过导数这 一研究函数的工具来研究函数的变化趋势 通过研究导函数的符号进一步了解函数的准确的 变化状态 用心 爱心 专心 2 例 2 已知函数 32 1 21 3 f xaxxx 0 a 求函数 f x在 0 0 f处的切线方程 若函数 f x在 2 1 上单调减 且在 0 1 上单调增 求实数a的取值范围 当1a 时 若 0 0 xt 函数 f x的切线中总存在一条切线与函数 f x在 0 x处的切线垂直 求的最小值 解 I 由已知 0 1f 2 22fxaxx 所以 0 2f 所以函数 f x在 0 0 f处的切线方程为21yx II 解 1 当0a 时 22fxx 满足在 2 1 上 0fx 且在 0 1 上 0fx 所以当0a 时满足题意 当0a 时 2 22fxaxx 是恒过点 0 2 开口向下且对称轴 1 0 x a 的抛物 线 由二次函数图象分析可得在 2 1 上 0fx 且在 0 1 上 0fx 的充要条件是 1 0 1 0 f f 解得40a 即40 a 综上讨论可得40 a 解 2 由已知可得在 2 1 上 0fx 且在 0 1 上 0fx 即 22 2 1 11 2 x a xxx 在 2 1 上成立且 22 2 1 11 2 x a xxx 在 0 1 成立 因为在 2 1 上 2 11 2 0 xx 在 0 1 上 2 11 2 4 xx 所以40 a III 当1a 时 22 223 1 3 fxxxx 由题意可得 0 0 xt 总存在xR 使得 0 1fxfx 成立 即 0 1 fx fx 成立 因为 11 0 3fx 当 0 0 xt 时 2 0 3 1 2 fxt 所以 2 3 1 0t 解得1313 t 所以的最小值为13 用心 爱心 专心 3 例 3 如图 矩形 ABCD 内接于由函数 1 0yx yx y 图象围成的封闭图形 其中顶点 C D 在 0y 上 求矩形 ABCD 面积的最大值 解 由图 设A点坐标为 xx 35 0 2 x 则 1 Bxx 由图可得1xx 记矩形ABCD的面积为S 易得 32 1 SAB ADxxxxxx 令 51 0 2 tx t 得 32 Sttt 所以 2 321 31 1 Stttt 令0S 得 1 1 3 tt 或 因为 51 0 2 t 所以 1 3 t S S 随t的变化情况如下表 t 1 0 3 1 3 151 32 S 0 SA极大值 5 27 A 由上表可知 当 1 3 t 即 1 9 x 时 S取得最大值为 5 27 所以矩形ABCD面积的最大 值为 5 27 说明 本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义 域再研究函数的变化状态的思维过程 例 4 已知axxxxf ln 2 2 xxg 对一切 0 xgxfx 恒成立 求实数a的取值范围 x y O A DC B 用心 爱心 专心 4 当时 1 a求函数 3 mmxf在 0m 上的最小值 解 对一切 0 xgxfx 恒成立 即2ln 2 xaxxx恒成立 也就是 xxaln x 2 在 0 x恒成立 令 x xxxF 2 ln 则 F 22 2 2 1 2 22 1 1 x xx x xx xx x 在 10 上 F 0 x 在上上 1 上 F 0 x 因此 xF在1 x处取极小值 也是最 小值 即 min xF3 1 min FxF 所以3 a 当时 1 axxxxf ln f 2ln xx 由 f 0 x得 2 1 e x 当 2 1 0 e m 时 在上 1 2 e mx 上 f 0 x 在上 3 1 2 m e x上 f 0 x 因此 xf在 2 1 e x 处取得极小值 也是最小值 1 1 22 min ee fxf 当时 2 1 e m 0 xf 因此 3 mmxf在上单调递增 所以 min xf 1 ln min mmmfxf 例 5 已知数列 n a满足 1 aa 1 2 nn aa 定义数列 n b 使得 1 n n b a Nn 若46a 则数列 n b的最大项为 B A 2 b B 3 b C 4 b D 5 b 例 6 假设实数 1234 a a a a是一个等差数列 且满足 1 02a 及 3 4a 若定义函数 x nn fxa 其中1 2 3 4n 则下列命题中错误的是 B A 22 4f a B 12 1f a C 函数 2 fx为递增函数 D 0 x 不等式 1234 f xfxfxfx 恒成立 说明 数列是函数 用函数的观点看待数列 用研究函数的方法解决数列问题是在数 列复习中的重要方面 2 2 理解数学概念的本质的落实理解数学概念的本质的落实 用心 爱心 专心 5 学生在考试中出现的问题很多时候都是出在概念上 落实基本概念 不能简单图解为就 是做基础题 教师要能够针对学生的实际提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握情况 帮助学生理解数学概念的本质 例 7 函数 3sin 2 3 f xx 的图象为C 如下结论中不正确的是 D 写出所有正确结论的编号 A 图象C关于直线 11 12 x 对称 B 图象C关于点 2 0 3 对称 C 函数 f x在区间 5 12 12 内是增函数 D 由 3sin 2yx 的图象向右平移 3 个单位长度可以得到图象C 例 8 定义在R上的偶函数 xf 对任意的Rx 均有 4 xfxf 成立 当 2 0 x时 3 xxf 则直线 2 9 y与函数 xfy 的图像交点中最近两点的距 离等于 答案 1 例 9 已知实数dcba 成等比数列 且对函数xxy 2ln 当bx 时取到极大值c 则ad等于 A A 1 B 0 C 1 D 2 例 10 已知 数列 n a满足16 1 a naa nn 2 1 则 n an 的最小值为 B A 8 B 7 C 6 D 5 例 11 两条分别平行于x轴和y轴的直线与椭圆C 1 925 22 yx 交于A B C D四 点 则四边形ABCD面积的最大值为 答案 30 3 3 解决数学问题的一般思路的落实解决数学问题的一般思路的落实 如何分析函数的问题 如果是数列求和问题 应该先想什么 拿到一个解析几何的题 目 如何分析 立体几何的问题要思考什么 等等 类似这样的问题 要让学生多想想 通 过不同的问题 让学生多思考 过去讲过的 做过的很多的经典的题目换个视角让学生再思 考 我们要教给学生思考的方法而不是题型套路 查漏补缺关注遗漏的知识点仅仅是一个方 面 更重要的是学生的数学的思维方法是不是还有没落实的地方 例 12 已知P是直线3480 xy 上的动点 PA PB是圆 22 2210 xyxy 的两 条切线 A B是切点 C是圆心 那么当四边形PACB面积取最小值时 弦AB 解析 过圆心 C 1 1 作直线3 480 xy 的垂线 垂足为 P 这时 用心 爱心 专心 6 四边形PACB面积的最小值为2 2 四边形PACB中 4 2 3 3 ABCP CPAB 例 13 已知点 1 Ma 和 1N a在直线 2310lxy 的两侧 则a的取值范围是 解析 M N两点位于直线的两侧 23123 10 aa 故11a 例 14 已知点 1 0 A 1 0 B 00 P xy 是直线 2yx 上任意一点 以A B为焦点 的椭圆过点P 记椭圆离心率e关于 0 x 的函数为 0 e x 那么下列结论正确的是 B A e与 0 x一一对应 B 函数 0 e x无最小值 有最大值 C 函数 0 e x是增函数 D 函数 0 e x有最小值 无最大值 解析 依据椭圆定义 2PAPBa 1c e aa 当点P在 A B A A关于直线对称 上时 a取得最小值 此时 右图分析可得当点P向左或向右移动时 a都 在增大 所以函数 0 e x无最小值 有最大值 选 B 例 15 双曲线的中心 右焦点 左顶点分别为 O F A 若以O为顶点F为焦点的抛物线与 双曲线渐近线的交点在以F为圆心FA为半径的圆上 则双曲线的离心率为 解析 设以O为顶点F为焦点的抛物线与双曲线渐近线的交点为P 00 b xx a 代入抛物 线的方程 2 4ycx 得 2 0 2 4a c x b 又 AFPF AFac 由抛物线的定义可得 0 PFxc 所以 0 xcac 即 0 xa 故 2 2 4a c a b 可得25 c e a 4 3 5 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 987654321123456 A BA P 用心 爱心 专心 7 例 16 函数 sin0 0 f xAxb A 在一个周期内 当 6 x 时 y取最小值 1 当 2 3 x 时 y最大值 3 I 求 fx的解析式 II 求 fx在区间 3 2 上的最值 解 I 在一个周期内 当 6 x 时 y取最小值 1 当 2 3 x 时 y最大值 3 2 1 2 2362 T Ab 2T sin 22fxx 由当 2 3 x 时 y最大值 3 得 44 sin1 2 332 kkZ 5 2 6 k 5 6 5 sin 22 6 fxx 故 II 3 2 x 7513 2 666 x 当 3 2 x 时 fx取最大值 5 2 当 7 6 x 时 fx取最小值 1 例 17 设Sn是正项数列 n a的前n项和 324 2 nnn aaS 求数列 n a的通项公式 nnn n n bababaTb 2211 2求已知的值 解 当n 1 时 2 1111 113 424 aSaa 又0 n a解得a1 3 当 n 2 时 32 32 4444 1 2 1 2 11 nnnnnnnnn aaaaSSSSa 用心 爱心 专心 8 1 2 1 2 224 nnnnn aaaaa 0 2 11 nnnn aaaa 20 11 nnnn aaaa 2 n n a数列 是以 3 为首项 2 为公差的等差数列 12 1 23 nnan 12 3 25 2 21 2n n Tn 又因为 21 23 2 21 2 21 2 nn n Tnn 1321 2 12 222 223 nn n nT 11 2 12 2286 nn n 22 12 1 n n 所以 22 12 1 n n nT 例 18 理科 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠 使得平面 ABD 平面 CBD AE 平面 ABD 且 AE 2 求证 DE AC 求 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值 直线 BE 上是否存在一点 M 使得 CM 平 面 ADE 若存在 求点 M 的位置 不存在请说明理由 解 以 A 为坐标原点 AB AD AE 所在的直线分别为 x y z轴建立空间直角坐标系 则 0 0 2 E 2 0 0 B 0 2 0 D 取 BD 的中点 F 并连接 CF AF 由题意可得 CF BD 且2AFCF 又BDA 平面平面BD C CFBDA 平面 所以 C 的坐标为 1 1 2 C 0 22 DE 1 12 AC 0 22 1 1 2 0DE AC A B D C E 用心 爱心 专心 9 故 DE AC 设平面 BCE 的法向量为 nx yz 则 0 0 n EB n CB 即 220 20 xz xyz 2zx yx 令1x 得 1 12 n 又 0 22 DE 设平面 DE 与平面 BCE 所成角为 则 sincos n DE n DE n DE 6 3 III 设存在点 M 使得 CM 面 ADE 则EMEB 2 02 EB 2 02 EM 得 2 022 M 又因为AEABD 平面 ABAD 所以ABADE 平面 因为 CM 面 ADE 则CMAB 即0CM AB 得21 0 1 2 故点 M 为 BE 的中点时 CM 面 ADE 例 19 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 过点 0 1 且离心率为 3 2 求椭圆C的方程 A B为椭圆C的左右顶点 直线 2 2l x 与x轴交于点D 点P是椭圆C上 异于 A B的动点 直线 AP BP分别交直线于 E F两点 证明 当点P在椭圆C上运动时 DEDF 恒为定值 解 由题意可知 1b 而 3 2 c a 且 222 abc 解得2a 所以 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 2 0 2 0 AB 设 00 P x y 0 22x 直线AP的方程为 0 0 2 2 y yx x 令2 2x 则 0 0 2 22 2 y y x 即 0 0 2 22 2 y DE x 用心 爱心 专心 10 直线BP的方程为 0 0 2 2 y yx x 令2 2x 则 0 0 2 22 2 y y x 即 0 0 2 22 2 y DF x 00 00 2 22 2 22 2 2 yy DEDF xx 22 00 22 00 44 4 4 yy xx 而 2 2 0 0 1 4 x y 即 22 00 44yx 代入上式 1DEDF 所以 DEDF 为定值 例 20 理科 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查 瞬时记忆能力包括听觉记 忆能力与视觉记忆能力 某班学生共有 40 人 下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果 例 如表中听觉记忆能力为中等 且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人 视觉记忆能力视觉 偏低中等偏高超常 偏低 0751 中等 183 b 偏高 2 a 01 听觉 记忆 能力 超常 0211 由于部分数据丢失 只知道从这 40 位学生中随机抽取一个 视觉记忆能力恰为中等 且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 2 5 试确定a b的值 从 40 人中任意抽取 3 人 求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力 超常的学生的概率 从 40 人中任意抽取 3 人 设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人 数为 求随机变量 的分布列及数学期望E 解 解 由表格数据可知 视觉记忆能力恰为中等 且听觉记忆能力为中等或中等以上的 学生共有 10a 人 记 视觉记忆能力恰为中等 且听觉记忆能力为中等或中等以上 为事件A 则 102 405 a P A 解得6a 所以40 32 40382ba 答 a的值为 6 b的值为 2 由表格数据可知 具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人 方法 1 记 至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生 为事件B 则 没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生 为事件B 用心 爱心 专心 11 所以 3 32 3 40