广东省广州市2013届高三数学毕业班综合测试试题 文（一）（广州一模）（含解析）

1 试卷类型 试卷类型 A A 20132013 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 数学 文科 数学 文科 2013 3 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 A 填涂在答题卡相应位置 上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷 上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的 答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 线性回归方程中系数计算公式 ybxa 其中表示样本均值 1 2 1 n ii i n i i xxyy baybx xx yx 锥体的体积公式是 其中是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 VSh Sh 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 已知 i 是虚数单位 则复数i 的虚部为1 2 A B C D 211 2 答案 D 解析 由复数的定义可知虚数单位 的系数就是复数的虚部 因此选 D i 2 设全集 集合 则 1 2 3 4 5 6U 1 3 5A 2 4B A B UAB U UA B C D UA UB U UA UB 答案 D 解析 由 则 2 4 6 U C A 1 3 5 U C B UU UC AC B 2 3 直线与圆的位置关系是3490 xy 2 2 11xy A 相离 B 相切 C 直线与圆相交且过圆心 D 直线与圆相交但不过圆心 答案 A 解析 圆心到直线的距离是 22 396 1 5 34 dr 因此 圆与直线的位置是相离 4 若函数是函数的反函数 则的值是 yfx 2xy 2f A B C D 4210 答案 C 解析 函数的图象上有点 则点在函数的图象上 即 2xy 1 2 2 1 f x 2 1f 5 已知平面向量 且 则实数的值为a 2 m b 13 abbm A B C D 2 3 2 34 36 3 答案 B 解析 3 3 abm 1 3 b 36ab bm A 又 得 abb 360m 2 3m 6 已知变量满足约束条件则的最大值为x y 21 1 10 xy xy y 2zxy A B C D 3 013 答案 C 解析 如图 要使取得最大值 只有直线经过点 因此的最大值z 11 22 yxz 1 0 z 是 1 3 产 1 产 产 产 产 产 产产 产 产 2 2 11 2 x 0 y 7 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1 则该几何体的体积是 A B C D 21 2 3 1 3 答案 A 解析 由三视图可知 这个几何体是水平放置的直三棱柱 且底面是直角三角形 则 1 1 2 22 2 VSh 8 已知函数 为了得到函数的图象 22fxxsi n 22g xxxsi ncos 只要将的图象 yfx A 向右平移个单位长度 B 向左平移个单位长度 4 4 C 向右平移个单位长度 D 向左平移个单位长度 8 8 答案 D 解析 由 所以只需将 sin2cos22sin 2 2sin 2 48 g xxxxx 向左平移个单位 2sin2f xx 8 9 是 一元二次不等式的解集为 R R 的2m 2 10 xmx A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 一元二次不等式的解集为 R R 等价于 即 2 10 xmx 2 40m 4 因此选 B 22m 10 设函数的定义域为 如果 使 fxDxDyD 2 fxfy C C 为常数 成立 则称函数在上的均值为 给出下列四个函数 fxDC 3 yx 则满足在其定义域上均值为 的 1 2 x y yxl n 21yxsi n 1 函 数的个数是 A B C D 1234 答案 C 解析 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 一 必做题 一 必做题 1111 1313 题 题 11 函数的定义域是 21fxxxl n 答案 1 2 解析 由题意可得 解得函数的定义域是 20 10 x x f x 1 2 12 某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用 万元 有下表的统计资xy 料 根据上表可得回归方程 据此模型估计 该型号机器使用年限为 10 年的 1 23yxa 维修费用约 万元 结果保留两位小数 答案 12 38 解析 所以样本 1 23456 4 5 x 1 2 23 87 05 56 5 5 5 y 中心点是 它在回归直线上 带入得 当时 4 5 0 8a 10 x 12 38y 13 已知经过同一点的N N个平面 任意三个平面不经过同一条直线 若这n n 3n 个平面将空间分成个部分 则 n fn 3f fn 答案 8 2 2nn x 23456 y 2 23 85 56 57 0 5 产 2 O D C B A 解析 当时 任意不经过同一条直线的三个平面将空间分成了八部分 即3n 当时 任意不经过同一条直线的四个平面将空间分成了十四部分 即 3 8f 4n 依次下去可得任意不经过同一条直线的个平面将空间分成了 4 8614f n 部分 且 f n 868 10 22 f nn 22468 10 22 n 22 1234 1 n 2 2nn 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 定点 点在直线上运动 当线段最 3 2 2 A Bcos3 sin0 AB 短时 点的极坐标为 B 答案 11 1 6 解析 在直角坐标系中 的坐标是 点所在的直线的A 0 2 B 方程是 设的坐标是 则得30 xy B a b 30 23 1 3 ab b a 解得的坐标是 它的极坐标是 B 31 22 11 1 6 15 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图 2 是的直径 是的切线 与交于点 ABOABCOAACOAD 若 则的长为 3BC 16 5 AD AB 答案 4 解析 由切割弦定理 得 又因为 所以 2 BCCD CA CACDDA 则 9 5 CD 4AB 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分12分 6 O4055 产 3 a 0 06 b 0 02 产 产 产 产 产 产 kg 6050 45 已知函数 其中 的最大值为 2 最小 sin 4 f xAx x R0A 0 正周期为 8 1 求函数的解析式 f x 2 若函数图象上的两点的横坐标依次为 为坐标原点 求 f x P Q2 4Ocos 的值 POQ 解析 1 因为函数的最大值是 2 所以 它的最小正周期是 8 f x2A 4 则 2sin 44 f xx 2 2 2sin2cos2 244 f 4 2sin2sin2 44 f 2 2 4 2 PQ 6 2 3 3 2OPPQOQ 222 222 63 22 3 3 cos 232 63 2 OPOQPQ POQ OP OQ 17 本小题满分 12 分 沙糖桔是柑桔类的名优品种 因其味甜如砂糖故名 某果农选取一片山地种植沙糖桔 收 获时 该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量 单位 kg 获得 的所有数据按照区间进行分组 得到频率分布 40 45 45 5050 5555 60 直方图如图 3 已知样本中产量在区间 上的果树株数是产量在区间 45 50 上的果树株数的倍 50 60 4 3 1 求 的值 ab 2 从样本中产量在区间上的果树 50 60 随机抽取两株 求产量在区间 55 60 7 产 4 M D C B A P 上的果树至少有一株被抽中的概率 解析 1 解解 样本中产量在区间上的果树有 株 45 50 520100aa 样本中产量在区间上的果树有 50 60 株 0 025201000 02bb 依题意 有 即 4 1001000 02 3 ab 4 0 02 3 ab 根据频率分布直方图可知 0 020 0651ba 解 得 0 080 04ab 2 解解 样本中产量在区间上的果树有株 分别记为 50 55 0 045204 123 A AA 4 A 产量在区间上的果树有株 分别记为 55 60 0 025202 12 B B 从这株果树中随机抽取两株共有 15 种情况 6 1213 A AA A 14 A A 111223242122 A BA BAAAAABAB 34 AA 31 AB 32 AB 4142 ABAB 12 B B 其中产量在上的果树至少有一株共有 9 种情况 55 60 1112 A BA B 21223132 ABABABAB 4142 ABAB 12 B B 记 从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株 产量在区间上的 50 60 55 60 果树至少有一株被抽中 为事件 则 M 93 155 P M 18 本小题满分 14 分 如图 4 在四棱锥中 底面是平行四边PABCD ABCD 形 60BCD 平面ABCD 点为的中点 2ABAD PD MPC 1 求证 平面 PA BMD 8 O N M D C B A P 2 求证 AD PB 3 若 求点到平面的距离 2ABPD ABMD 解析 1 证明证明 连接 与相交于点 连接 ACACBDOMO 是平行四边形 ABCD 是的中点 OAC 为的中点 MPC MOAP 平面 平面 PA BMDMO BMD 平面 PA BMD 2 证明证明 平面 面 PD ABCDAD ABCD PD AD 60BADBCD 2ABAD 222 260BDABADABAD cos 222 2ABADAD 22 ABAD 22 ABAD 2 BD ADBD 平面 面 PDBDD PD PBDBD PBD 平面 AD PBD 平面 PB PBD ADPB 3 解解 取的中点 连接 则且 CDNMNMNPD 1 2 MNPD 9 平面 PD ABCD2PD 平面 MN ABCD1MN 在 Rt 中 PCD2CDABPD 22 11 2 22 DMPCPDCD BCAD ADPB BCPB 在 Rt 中 PBC 1 2 2 BMPC 在 中 为的中点 BMDBMDM OBD MOBD 在 Rt 中 ABD 3 6023 2 BDAB si n 在 Rt 中 MOB 22 MOBMOB 5 2 13 22 ABD SAD BD A 115 24 MBD SBD MO A 设点面的距离为 ABMDh MABDA MBD VV 1 3 MNAA 1 3 ABD Sh A A MBD S 即 解得 1 3 3 1 2 1 3 h 15 4 2 5 5 h 点到平面的距离为 ABMD 2 5 5 19 本小题满分 14 分 设数列的前项和为 已知 n an n S 1 2a 10 是数列的前项和 2 8a 11 452 nnn SSSn n T 2n al ogn 1 求数列的通项公式 n a 2 求 n T 3 求满足的最大正整数的值 23 1111010 111 2013 n TTT n 解析 1 解解 当时 2n 11 45 nnn SSS 11 4 nnnn SSSS 1 4 nn aa 1 2a 2 8a 21 4aa 数列是以为首项 公比为的等比数列 n a 1 2a 4 121 242 nn n a 2 解解 由 1 得 21 22 loglog 221 n n an 21222nn Taaa l ogl ogl og 1321n 121 2 nn 2 n 3 解解 23 111 111 n TTT 222 111 111 23n 2222 2222 2131411 234 n n 11 2222 13243511 234 nn n 1 2 n n 令 解得 1 2 n n 1010 2013 4 287 7 n 故满足条件的最大正整数的值为 n287 20 本小题满分 14 分 已知椭圆的中心在坐标原点 两个焦点分别为 点在椭 1 C 1 2 0 F 2 F 2 0 2 3 A 圆上 过点的直线与抛物线交于两点 抛物线在点处 1 CAL 2 2 4Cxy B C 2 CB C 的切线分别为 且与交于点 12 l l 1 l 2 lP 1 求椭圆的方程 1 C 2 是否存在满足的点 若存在 指出这样的点有几个 1212 PFPFAFAF PP 不必求出点的坐标 若不存在 说明理由 P 解析 1 设椭圆的方程为 1 C 22 22 1 xy ab 0ab 依题意 解得 22 22 22 23 1 4 ab ab 2 2 16 12 a b 椭圆的方程为 C 22 1 1612 xy 2 设点 则 2 11 1 4 B xx 2 22 1 4 C xx 22 2121 1 4 BCxxxx 2 11 1 2 3 4 BAxx 三点共线 A B C BCBA 222 211211 11 32 44 xxxxxx 化简得 1212 212xxx x 12 由 即得 2 4xy 2 1 4 yx y 1 2 x 抛物线在点处的切线的方程为 2 CB 1 l 2 1 11 1 42 x yxxx 即 2 1 1 1 24 x yxx 同理 抛物线在点处的切线的方程为 2 CC 2 l 2 2 2 1 24 x yxx 设点 由 得 P x y 2 1 1 1 24 x xx 2 2 2 1 24 x xx 而 则 12 xx 12 1 2 xxx 代入 得 12 1 4 yx x 则 代入 得 即点的轨迹方程为 12 2xxx 12 4yx x 4412xy P 3yx 若 则点在椭圆上 而点在直线上 1212 PFPFAFAF P 1 CP3yx 直线经过椭圆内一点 3yx 1 C 3 0 直线与椭圆交于两点 3yx 1 C 满足条件 的点有两个 1212 PFPFAFAF P 21 本小题满分 14 分 已知N N 设函数R R n 2321 1 2321 n n xxx fxxx n 1 求函数R R 的单调区间 y 2 fxkx k 2 是否存在整数 对于任意N N 关于的方程在区间上有唯tn x 0 n fx 1t t 一实数解 若存在 求 的值 若不存在 说明理由 t 解析 1 解 解 23 2 1 23 xx yfxkxxkx 22 1 1 yxxkxxk 方程的判别式 2 10 xxk 2 14134 kk 13 当时 3 4 k