平行四边形全部讲义

平行四边形 1 平行四边形的性质 考点一 平行四边形的概念 1 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2 表示 平行四边形用符号 表示 平行四边形 ABCD 记作 ABCD 读作 平行四边形 ABCD 平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注 明各顶点 3 平行四边形定义的作用 平行四边形的定义既是判定 又是性质 由定义知平行四边形两组对边分别平行 由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行 那么这个四边形就是平行 四边形 4 平行四边形的基本元素 边 角 对角线 例 1 在 ABCD 中 EF AB GH BC EF GH 相交于点 P 写出图中 的平行四边形 A E D G P H B F C 考点二 平行四边形的性质 1 边的性质 平行四边形的对边平行且相等 2 角的性质 平行四边形的邻角互补 对角相等 3 对角线性质 平行四边形的对角线互相平分 例 2 在 ABCD 中 A C 160 求 A B C D 的度数 A B C D 考点三 平行四边形的对角线的性质 1 平行四边形的对角线互相平分 例 3 在 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于 O 点 若 AC 14 BD 8 AB 10 则 OAB 的周长为 练习题 一 感受理解 1 已知 O 是 ABCD 的对角线交点 AC 10cm BD 18cm AD 12cm 则 BOC 的周长是 2 已知 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O AOB 的面积为 2 那么平行四边 形 ABCD 的面积为 3 已知平行四边形的两邻边之比为 2 3 周长为 20cm 则这个平行四边形的 两条邻边长分别为 4 平行四边形的周长为 30 两邻边的差为 5 则其较长边是 5 平行四边形具有 而一般四边形不具有的性质是 A 外角和等于 360 B 对角线互相平分 C 内角和等于 360 D 有两条对角线 6 如图 ABCD中 EF过对角线的交点O AB 4 AD 3 OF 1 3 则四边形 BCEF的周长为 A O D C B A 8 3B 9 6C 12 6D 13 6 7 在 ABCD 中 AC 10 BD 6 则边长 AB AD 的可能取值为 A AB 4 AD 4 B AB 4 AD 7 C AB 9 AD 2 D AB 6 AD 2 8 平行四边形一边长为 12cm 那么它的两条对角线的长度可能是 A 8cm 和 14cm B 10cm 和 14cm C 18cm 和 20cm D 10cm 和 34cm 9 在 ABCD 中 AB 2 BC 3 B 60 则 ABCD 的面积为 A 6 B C 3 D 3 3 3 2 3 二 思考运用 1 如图 在 ABCD 中 AE 平分 BAD 交 DC 于点 E AD 5cm AB 8cm 求 EC 的长 2 ABCD中 A 150 AB 8 cm BC 10 cm 求 四边形ABCD的面积 3 如图 在 ABCD 中 AD DB AC 与 BD 相交于点 O OD 1 CAD 30 求 AC 和 DC 的长 4 如图 在 ABCD中 O是对角线AC BD的交点 BE AC DF AC 垂足分 别为E F 那么OE与OF是否相等 为什么 5 如图 在 ABCD 中 点 E F 在对角线 AC 上 且 AE CF 请你以点 F 为一 个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条线段 猜想并证明它和图中已 有的某一线段相等 只需证明一组线段相等即可 1 连结 2 猜想 3 证明 6 如图 在中 过AC中点O的直线分别交BC AD的延长线于E F 那么吗 为什么 三 探究拓展 1 有两张全等的三角形纸片 三角形纸片的三条边长分别为 2cm 3cm 4cm 你能用这两张三角形纸片拼出几种形状不同的平行四边形 1 请画图说明各种不同拼法 并说明理由 2 计算所拼的各个平行四边形的周长 2 平行四边形的判定 考点一 利用边判定平行四边形 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例 1 在四边形 ABCD 中 AB CD ADB CBD 90 则四边形 ABCD 是平行四边形吗 D C A B 考点二 利用对角线判定平行四边形 1 两组对角线互相平分的四边形是平行四边形 例 2 2012 云南 AECF 的对角线相交于点 O DB 经过点 O 分别与 AE CF 相交于 B D 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 考点三 三角形的中位线 A O DC B F E 1 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 且等于第三 边的一半 例 3 求证 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 考点四 两条平行线间的距离 1 定义 两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离 2 性质 两条平行线间的距离处处相等 夹在两条平行线间的平行线段相等 例 4 直线 AB 直线 CD ACD 与 BCD 的面积相等吗 A B C D 练习题 1 以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形 最多能作 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 2 下面几组条件中 能判定一个四边形是平行四边形的是 A 一组对边相等 B 两条对角线互相平分 C 一组对边平行 D 两条对角线互相垂直 3 下列条件中 能判定四边形是平行四边形的是 A 一组对边相等 另一组对边平行 C 一组对角相等 一组邻角互补 B 一组对边平行 一组对角互补 D 一组对角互补 另一组对角相等 图 1 F E D CB A 图 1 F E D CB A H G 图 2 F ED CB A 4 如图 1 点 D E F 分别是 AB BC CA 的中点 则图中平行四边形一共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 如图 1 所示 在 ABC 中 D E 分别为 AB AC 的中点 延长 DE 到 F 使 EF DE 若 AB 10 BC 8 则四边形 BCFD 的周长 6 如图 2 在 ABCD 中 E G 是 AD 的三等分点 F H 是 BC 的三等分点 则 图中的平行四边形共有 个 其中 ABFEABHG SS 四边形四边形 ABHGABCD SS 四边形四边形 7 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线 点 E F 在 BD 上 要使四边形 AECF 是平 行四边形 还需要添加的一个条件是 8 如图 已知 E F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点 并且 AE CF 求证 四边形 BFDE 是平行四边形 变式一 在 ABCD 中 E F 为 AC 上两点 BE DF 求证 四边形 BEDF 为平行 四边形 变式二 在 ABCD 中 E F 分别是 AC 上两点 BE AC 于 E DF AC 于 F 求证 四边形 BEDF 为平行四边形 O M A B C D H GF E O A B C D 想一想 在 ABCD 中 E F 为 AC 上两点 BE DF 那么可以证明四边形 BEDF 是平行四边形吗 9 如图 平行四边形 ABCD 中 AF CH DE BG 求证 EG 和 HF 互相平分 10 如图所示 在四边形 ABCD 中 M 是 BC 中点 AM BD 互相平分于点 O 那 么请说明 AM DC 且 AM DC 11 如图 在 ABCD 中 已知两条对角线相交于点 O E F G H 分别是 AO BO CO DO 的中点 以图中的点为顶点 尽可能多地画出平行四边形 12 在四边形ABCD 中 AD BC 且AD BC BC 6cm P Q 分别从A C 同时出发 P 以 1 厘米 秒的速度由A 向D 运动 Q 以 2 厘米 秒的速度由 C 向B 运动 几秒后四边形ABQP 成为平行四边形 H G 图 20 1 3 1 F E DC BA A B C D E F 13 如图 在 ABC 中 BD 平分 ABC DE BC 交 AB 于点 E EF AC 交 BC 于 点 F 那么 BE CF 请你说明理由 14 已知 如图 ABC 是等边三角形 过 AC 边上的点 D 作 DG BC 交 AB 于 点 G 在 GD 和延长线上取点 E 使 DE DC 连接 AE BD 1 求证 AGE DAB 2 过点 E 作 EF DB 交 BC 于点 F 连结 AF 求 AFE 的度数 15 如图 4 4 17 等边三角形 ABC 的边长为 a P 为 ABC 内一点 且 PD AB PE BC PF AC 那么 PD PE PF 的值为一个定值 这个定值是多少 请你说出这个定值的来历 16 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 P1 P2是对角线 BD 的三等分点 求证 四边形 AP1CP2是平行四边形 17 已知如图所示 点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的中点 直线 EF 经过 点 O 分别交 BA DC 的延长线于 E F 两点 求证 AE CF G F E D C B A 18 已知 如图所示 平行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O EF 经过 点 O 并且分别和 AB CD 相交于点 E F 又知 G H 分别为 OA OC 的中点 求证 四边形 EHFG 是平行四边形 3 矩形 考点一 矩形的定义 1 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 例 1 在 ABCD 中 AB 3 BC 4 AC 5 则 ABCD 是矩形吗 A D B C 考点二 矩形的性质 1 矩形具有平行四边形的所有性质 2 矩形的对角线相等 3 矩形的四个角都是直角 4 矩形是轴对称图形 它有两条对称轴 例 2 E F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上的点 且 AE DF 求证 BE CF A D E F O 考点三 直角三角形斜边上的中线的性质 1 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例 3 BD CE 是 ABC 两边上的高 G F 分别是 BC DE 的中点 求证 FG DE 考点四 矩形的判定方法 1 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2 方法一 对角线相等的平行四边形是矩形 3 方法二 有三个角是直角的四边形是矩形 例 4 ABCD 的四个内角的角平分线分别相交于 E F G H 试说明四边形 EFGH 是矩形 H E G F F B C B A C E D G B A D C 练习题 一 选择题 1 矩形具备而平行四边形不具有的性质是 A 对角线互相平分 B 邻角互补 C 对角相等 D 对角线 相等 2 在下列图形性质中 矩形不一定具有的是 A 对角线互相平分且相等 B 四个角相等 C 既是轴对称图形 又是中心对称图形 D 对角线互相垂直平分 3 若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40 则两条对角线相交所成的锐角 是 A 20 B 40 C 80 D 100 4 直角三角形中 两条直角边边长分别为 12 和 5 则斜边中线的长是 A 26 B 13 C 30 D 6 5 5 下列识别图形不正确的是 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B 有三个角是直角的四边形是矩形 C 对角线相等的四边形是矩形 D 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O 下列条件不能判定它是矩形的是 A AB CD AB CD BAD 90 B AO CO BO DO AC BD C BAD ABC 90 BCD ADC 180 D BAD BCD ABC ADC 90 7 如图 1 矩形 ABCD 中 AB 8 BC 6 E F 是 AC 上的三等分点 则 S BEF为 A 8 B 12 C 16 D 24 1 2 3 8 2006 成都 把一张长方形的纸片按如图 2 所示的方式折叠 EM FM 为 折痕 折叠后的 C 点落在 B M 或 B M 的延长线上 那么 EMF 的读度 为 A 85 B 90 C 95 D 100 9 2006 黑龙江 如图 3 在矩形 ABCD 中 EF AB GH BC EF GH 的交点 P 在 BD 上 图中面积相等的四边形有 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 10 如图 4 矩形 ABCD 的周长为 68 它被分成 7 个全等的矩形 则矩形 ABCD 的面积为 A 98 B 196 C 280 D 284 二 填空题二 填空题 11 矩形 ABCD 中 对角线 AC 10cm AB BC 3 4 则它的周长是 12 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O 如果矩形的周长是 34cm 又 AOB 的周长比 ABC 的周长少 7cm 则 AB cm BC cm 13 在矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 若 AOB 110 则 OAB 14 如图 5 所示 把两个大小完全一样的矩形拼成 L 形图案 则 FAC FCA 4 5 6 15 如图 6 在四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的 中点 添加一个条件 使四边形 EFGH 为矩形 添加的条件是 三 解答题三 解答题 16 已知 如图 在矩形 ABCD 中 AE BD 于 E 对角线 AC BD 相交于 点 O 且 BE ED 1 3 AB 6cm 求 AC 的长 17 已知 如图 M 为ABCD 的 AD 边上的中点 且 MB MC A 求证 ABCD 是矩形 A 18 2006 泸州 如图 在矩形 ABCD 中 点 E 是 BC 上一点 AE AD DF AE 垂足为 F 线段 DF 与图中的哪一条线段相等 先将猜 想出的结论填写在下面的横线上 然后再加以证明 即 DF 写出一条线段即可 19 如图 四边形 ABCD 中 ABC ADC 90 M N 分别是 AC BD 的中点 那么 MN BD 成立吗 试说明理由 20 2006 江苏淮安 如图 AB CD ED AD EB BE DE 垂足为 E 1 求证 ABD EDB 2 只需添加一个条件 即 可使四边形 ABCD 为矩形 加以 证明 21 如图 在ABCD 的纸片中 AC AB AC 与 BD 相交于点 O 将 A ABC 沿对角线 AC 翻转 180 得到 AB C 1 求证 以 A C D B 为顶点的四边形是矩形 2 若四边形 ABCD 的面积 S 12cm2 求翻转后纸片重叠部分的面积 即 S ACE 22 2006 南宁 如图 a 中的矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开 再把 ABC 沿着 AD 方向平行移动 得到图 b 在图 b 中 ADC C BA AC A C A B DC 除 DAC 与 C BA 外 指出 有哪几对全等的三角形 不能添加辅助线和字母 选择其中一对加以证 明 a b 23 如图所示 以 ABC 的三边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形 即 ABD BCE ACF 回答下列问题 1 四边形 ADEF 是什么四边形 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEF 是矩形 3 当 ABC 满足什么条件时 以 A D E F 为顶点的四边形不存在 4 菱形 考点一 菱形的定义 1 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 例 1 四边形 ABCD 中 AB CD AB CD BC 则四边形 ABCD 是菱形吗 A D B C 考点二 菱形的性质 1 菱形的四条边都相等 2 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 3 菱形是轴对称图形 它有 2 条对称轴 例 2 已知菱形周长为 16cm 两邻角之比为 1 2 则较短对角线的长为 考点三 菱形的判定方法 1 定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 例 3 AD 是 ABC 的角平分线 EF 垂直平分 AD 分别交 AB 于 E 交 AC 于 F 则四边形 AEDF 是菱形吗 考点四 菱形面积的计算 1 菱形面积 底 高 两对角线乘积的一半 例 4 已知菱形 ABCD 的边长为 2cm BAD 120 对角线 AC 和 BD 相交于点 O 求这个菱形的面积 A C B EF D O D B A O 练习题 一 选择题 1 把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A B C D 的位置 它们重 叠部分的四边形A FCE是 A B C D E A B C D F A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 不确定 2 如图 菱形ABCD中 B 60 AB 2 E F分别是BC CD的中点 连 接AE EF AF 则 AEF的周长为 A B C D 3233343 A D F C E B 3 已知菱形的周长为 96 两个邻角的比是 1 2 这个菱形的较短对角线的 长是 A 21 B 22 C 23 D 24 4 若菱形周长为 52cm 一条对角线长为 10cm 则其面积为 A 240 cm2 B 120 cm2 C 60 cm2 D 30 cm2 5 如图 下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为 ACBD 90BAD ABBC ACBD A B C D C A B C D 6 如图 在三角形中 分别是 上的点 ABCABACDEABAC 沿线段翻折 使点落在边上 记为 若四边形是菱ADEDEABC A ADA E 形 则下列说法正确的是 A 是 的中位线 B 是边上的中线 DEABC AA BC C 是边上的高 D 是 的角平分线 AA BC AA ABC A B C D E A 7 如图 将一个长为 10cm 宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后 沿所得矩形两 邻边中点的连线 虚线 剪下 再打开 得到的菱形的面积为 A B C D 2 10cm 2 20cm 2 40cm 2 80cm A B C D 8 若菱形的边长为 1cm 其中一内角为 60 则它的面积为 A B C D 2 3 cm 2 2 3cm 2 2cm 2 2 3cm 9 一个菱形两条对角线之比为 1 2 一条较短的对角线长为 4cm 那么菱形的 边长为 A 2cm B 4cm C D 2 22 5 cm 5cm 10 如图 在菱形ABCD中 A 110 E F分别是边AB和BC的中点 EP CD于点P 则 FPC A 35 B 45 C 50 D 55 A D E P C B F 二 填空题 11 如图 菱形的边长为 1 作于点 以 111 ABC D 1 60B 211 ADBC 2 D 为一边 做第二个菱形 使 作于点 以 2 AD 222 AB C D 2 60B 322 ADB C 3 D 为一边做第三个菱形 使 依此类推 这样做的第 3 AD 333 AB C D 3 60B 个菱形的边的长是 n nnn AB C D n AD 1 D 1 B3 3 A C2 B2 C3 D3 B1 D2 C1 12 如图 菱形的边长为 2 则点的坐标为 ABCD45ABC D O B AD x y C 13 如图所示 菱形中 对角线相交于点 为边中点 ABCDACBD OHAD 菱形的周长为 24 则的长等于 ABCDOH B A H C C O 14 菱形ABCD中 AE垂直平分BC 垂足为E AB 4cm 那么 菱形ABCD的 面积是 对角线BD的长是 A D C E B 15 如图 菱形的对角线相交于点请你添加一个条件 ABCDO 使得该菱形为正方形 A B C D D C B A O O 16 如图 菱形中 是对角线的交点 ABCDOACBD 5cmAB 则 cm 4cmAO BD O A B C D 17 菱形的对角线长分别为 6 和 8 则菱形的边为 菱形的面积为 18 己知菱形ABCD的边长是 6 点E在直线AD上 DE 3 连接BE与对角线 AC相交于点M 则的值是 MC AM 19 如图 ABCD中 AE CF分别是 BAD和 BCD的角平分线 根据现有的 图形 请添加一个条件 使四边形AECF为菱形 则添加的一个条件可以是 只需写出一个即可 图中不能再添加别的 点 和 线 A B C D F E 20 如图 在菱形中 分别是 的中点 若ABCD60A EFABAD 则菱形的边长是 2EF ABCD 三 证明题 21 矩形ABCD的对角线相交于点O DE AC CE DB CE DE交于点E 请问 四边形DOCE是什么四边形 请说明理由 O AB CD 22 在矩形ABCD中 AB 6cm BC 8cm 若将矩形对角线BD对折 使B点与 D点重合 四边形EBFD是菱形吗 请说明理由 并求这个菱形的边长 E F D A C B 四 解答题 23 在矩形ABCD中 AB 6cm BC 8cm 若将矩形对角线BD对折 使B点 与D点重合 四边形EBFD是菱形吗 请说明理由 并求这个菱形的边长 A B C D E F 24 如图 中 点是边上一个动点 过作直线 设ABC OACOMNBC 交的平分线于点 交的外角平分线于点 MNBCA EBCA F 1 探究 线段与的数量关系并加以证明 3 分 OEOF 2 当点在边上运动时 四边形会是菱形吗 若是 请证明 若不OACBCFE 是 则说明理由 3 分 3 当点运动到何处 且满足什么条件时 四边形是正方形 OABC AECF 3 分 25 如图 点E F分别是菱形ABCD中BC CD边上的点 E F不与B C D重 合 在不连辅助线的情况下请添加一个条件 说明AE AF A F D C B E 26 两个完全相同的矩形纸片ABCD BFDE如图放置 AB BF 求证 四边形BNDM为菱形 A F N D C B M E O N M F E A B C D 27 如图 四边形ABCD是菱形 DE AB交BA的延长线于E DF BC 交BC的 延长线于F 请你猜想DE与DF的大小有什么关系 并证明你的猜想 A B E C D F 5 正方形 考点一 正方形的定义 1 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 例 1 ABC 中 ABC 90 BD 平分 ABC DE BC DF AB 试说明四边形 BEDF 是正方形 考点二 正方形的性质 1 四条边都相等 邻边垂直 对边平行 2 四个角都是直角 3 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 4 是轴对称图形 有 4 条对称轴 5 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形 对角线 与边的夹角是 45 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰三角 形 例 2 点 E 是正方形 ABCD 内的一点 CDE 是等边三角形 连接 EB EA 延 长 BE 交边 AD 于点 F 1 求证 ADE BCE 2 求 AFB 的度数 考点三 正方形的判定 E E BC A F D B A C D F B CDE A B CD E F A AB CD E 1 先证它是矩形 再证它有一组邻边相等 2 先证它是菱形 再证它有一个角是直角 例 3 已知点 E F G H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点 并且 AE BF CG DH 求证 四边形 EFGH 是正方形 练习题 一 填空 1 正方形的对称轴有 条 它的对称中心是 2 正方形的边长为 4cm 则周长为 面积为 3 正方形的对角线与一边的夹角为 4 已知 如图所示 E 为正方形 ABCD 外一点 AE AD ADE 75 则 AEB 5 菱形的周长为 20cm 相邻内角度数之比为 2 1 则菱形较短的对角线长为 cm 6 已知 矩形 ABCD 中 AB 2CB 点 E 中 DC 上 且 AE AB 则 EBC 7 以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边作菱形 AEFC 则 FAB 8 一个正方形的对角线长 3cm 则它的面积为 9 如图所示 把 25 个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形 A B C D 都 A BC D F E H G A B A B C D H E A BC D G M G H A BC D O G B D C EA F 是小正方形的顶点 则四边形 ABCD 的面积为 10 正方形 ABCD 中 对角线的长是 10cm 点 P 是 AB 上任意一点 则点 P 到 AC BD 的距离之和是 11 在正方形 ABCD 中 E F G H 分别是边 AB BC CD DA 的中点 则四边 形 EFGH 是 形 12 如图所示不 在正方形 ABCD 中 M 是 BC 上一点 连结 AM 作 AM 的垂直平 分线 GH 交 AB 于 G 交 CD 于 H 若 AM 10cm 则 GH 13 如图 正方形 ABCD 和正方形 OEFG 的边长均为 4 O 是正方形 ABCD 的旋转 对称中心 则图中阴影部分的面积是 二 选择 1 在四边形 ABCD 中 O 是对角线的交点 下列条件 能判定这个四边形是正方形的是 A AC BD AB CD AB CD B AD BC A C C AO BO CO DO AC BD D AC CO BO DO AB BC 2 如图所示 在正方形 ABCD 中 H 是 BC 延长线上一点 使 CE CH 连结 DH 延长 BE 交 DH 于 G 则下面结论错误的是 A BE DH B B H BEC 90 C C BG DH D D HDC ABE 90 3 正方形具有而菱形没有的性质是 AB CD E H N MAB CD G D CB A E F P A 对角线互相平分 B 每条对角线平分一组对角 C 对角线相等 D 对边相等 4 以线段 AB 的两个端点 A B 为顶点作位置不同的正方形 一共可作 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 在正方形 ABCD 所在平面内找一点 P 使 P 点与 A B C D 中两点都连在一 个等边三角形 那么这样的 P 点有 A 5 个 B 12 个 C 9 个 D 15 个 6 如图所示 以正方形 ABCD 中 AD 边为一边向外作等边 ADE 则 AEB A 10 B 15 C 20 D 12 5 7 下列说法错误的是 A 四个角相等的四边形是矩形 B 四条边相等的四边形是正方形 C 对角线相等的菱形是正方形 D 对角线互相垂直的矩形是正方形 8 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 AD 2DC M N 分 别在 AB 两边的延长线上 且有 MA AB BN 则 MC 与 DN 的关系是 A 相等 B 垂直 C 垂直且相等 D 不能确定 9 两条邻边分别是 15cm 和 20cm 的平行四边形最大面积是 cm2 A 75 B 150 C 200 D 300 三 说理与简答 1 如图所示 正方形 ABCD 中 P 是对角线 AC 上一点 PE AB 于 E PF BC 于 F 请猜想 EF 与 PD 的数量关系 位置关系 并说明理由 B C D E F A F A B C D E D CB AE G F D C BA E G F 2 已知 如图所示 在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一具公共顶点 A 把正方 形 AEFG 绕 A 点旋转到如图所示位置 连结 DG BE 试说明 DG BE 3 已知 如图所示 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 AD DC 的交点 AF BE 交于点 G 连结 CG 试说明 CGB 是等腰三角形 4 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 A B 的平分线交于点 D DE BC 于 E DF AC 于 F 试说明四边形 CEDF 为正方形 5 已知 如图所示 E F 分别是正方形的边 BC DC 上的点 且 EAF 45 求证 BE DF EF B CD E F A B CD E F A EB CD M N A O G F A BC D E 6 如图所示 在正方形 ABCD 中 M 为 AB 上任意一点 MN DM BN 平分 CBE 试说明 MD MN 7 已知 如图所示 ABCD 是正方形 过 B 作 BF AC E 是 BF 上一点 四边形 AEFC 是菱形 试说明 FCA 5 F 8 如图所示 ABCD 是正方形 AE DB BE BD BE 交 AD 于 F 试说明 DEF 是腰三角形 9 如图 所示 已知正方形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O E 是 AC 上一点 过 A 作 AG EB 垂足为 G AG 交 BD 于 F 请说明 OE OF O G F A B C D E M P F A BC D E Q P F A BC D E 对于上述命题 若点 E 在 AC 的延长线上 AG EB 交 EB 的延长线于点 G AG 的 延长线交 DB 的延长线于点 F 其他条件不变 如图 所示 请你想一想 结论 OE OF 还成立吗 如果成立 请给予说明 如果不成立 请说明理由 10 如图所示 点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点 点 P 是 BC 边上一动点 PE MC PF BM 垂足分别为 E F 当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时 四边形 PEMF 为矩形 请猜想并说明 理由 在 中 当点 P 运动到什么位置时 矩形 PEMF 变为正方形 为什么 11 四个动点 P Q E F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点 A B C D 同时出发 沿 AB BC CD DA 以同样的速度向 B C D A 移动 运动中的四边形 PQEF 是正方形吗 请说明理由 PE 在运动中是否总过某