2012届高三数学第一轮复习阶段性测试题8

用心 爱心 专心1 阶段性测试题八阶段性测试题八 平面解析几何平面解析几何 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分 钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符号题目要求的 1 2011 辽宁沈阳二中阶段检测 a 2 是 直线 2x ay 1 0 与直线 ax 2y 2 0 平行 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 两直线平行的充要条件是 即两直线平行的充要条件是a 2 故 2 a a 2 1 2 a 2 是直线 2x ay 1 0 与直线ax 2y 2 0 平行的充分不必要条件 点评 如果适合p的集合是A 适合q的集合是B 若A是B的真子集 则p是q的 充分不必要条件 若A B 则p q互为充要条件 若B是A的真子集 则p是q的必要 不充分条件 2 2011 福州市期末 若双曲线 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则 x2 a2 y2 b2 该双曲线的离心率为 A B 5 5 C D 2 2 答案 A 解析 焦点F c 0 到渐近线y x的距离为d 2a 两边平方并将 b a bc a2 b2 b2 c2 a2代入得c2 5a2 e 1 e 故选 A c a5 3 2011 黄冈期末 已知直线l交椭圆 4x2 5y2 80 于M N两点 椭圆与y轴的正 半轴交于B点 若 BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上 则直线l的方程是 A 6x 5y 28 0 B 6x 5y 28 0 C 5x 6y 28 0 D 5x 6y 28 0 答案 A 解析 由椭圆方程 1 知 点B 0 4 右焦点F 2 0 x2 20 y2 16 F为 BMN的重心 直线BF与MN交点D为MN的中点 用心 爱心 专心2 3 6 BD 3 2BF 又B 0 4 D 3 2 将D点坐标代入选项检验排除 B C D 选 A 4 2011 江西南昌调研 直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点F 且与抛物线交于 A B两点 若线段AB的长是 8 AB的中点到y轴的距离是 2 则此抛物线方程是 A y2 12x B y2 8x C y2 6x D y2 4x 答案 B 解析 设AB中点为M A M B在抛物线准线上的射影为A1 M1 B1 则 2 MM1 AA1 BB1 AF BF AB 8 MM1 4 又 MM1 2 p 4 p 2 抛物线方程为y2 8x 5 2011 福州市期末 定义 平面内横坐标为整数的点称为 左整点 过函数y 图象上任意两个 左整点 作直线 则倾斜角大于 45 的直线条数为 9 x2 A 10 B 11 C 12 D 13 答案 B 解析 依据 左整点 的定义知 函数y 的图象上共有七个左整点 如图 9 x2 过两个左整点作直线 倾斜角大于 45 的直线有 AC AB BG CF CG DE DF DG EF EG FG共 11 条 故选 B 用心 爱心 专心3 6 文 2011 巢湖质检 设双曲线 1 的一个焦点为 0 2 则双曲线的离 y2 m x2 2 心率为 A B 2 2 C D 2 62 答案 A 解析 由条件知m 2 4 m 2 离心率e 2 22 理 2011 山东潍坊一中期末 已知抛物线y2 2px p 0 与双曲线 1 有相同 x2 a2 y2 b2 的焦点F 点A是两曲线的交点 且AF x轴 则双曲线的离心率为 A B 1 5 1 23 C 1 D 2 2 2 1 2 答案 C 解析 由AF x轴知点A坐标为 代入双曲线方程中得 1 双 p 2 p p2 4a2 p2 b2 曲线与抛物线焦点相同 c 即p 2c 又b2 c2 a2 1 p 2 4c2 4a2 4c2 c2 a2 由e 代入整数得 e4 6e2 1 0 c a e 1 e2 3 2 e 1 22 7 2011 烟台调研 与椭圆 y2 1 共焦点且过点P 2 1 的双曲线方程是 x2 4 A y2 1 B y2 1 x2 4 x2 2 C 1 D x2 1 x2 3 y2 3 y2 2 答案 B 解析 椭圆的焦点F1 0 F2 0 33 由双曲线定义知 2a PF1 PF2 2 3 2 1 2 3 2 18 4 3 2 8 4 32 a b2 c2 a2 1 2 双曲线方程为 y2 1 x2 2 用心 爱心 专心4 8 文 2011 辽宁沈阳二中检测 椭圆 y2 1 的焦点为F1 F2 点M在椭圆上 x2 4 0 则M到y轴的距离为 MF1 MF2 A B 2 3 3 2 6 3 C D 3 33 答案 B 分析 条件 0 说明点M在以线段F1F2为直径的圆上 点M又在椭圆上 MF1 MF2 通过方程组可求得点M的坐标 即可求出点M到y轴的距离 解析 椭圆的焦点坐标是 0 点M在以线段F1F2为直径的圆上 该圆的方 3 程是x2 y2 3 即y2 3 x2 代入椭圆得 3 x2 1 解得x2 即 x 此即 x2 4 8 3 2 6 3 点M到y轴的距离 点评 满足 0 其中A B是平面上两个不同的定点 的动点M的轨迹是以线 MF MB 段AB为直径的圆 理 2011 山东实验中学期末 已知双曲线的两个焦点为F1 0 F2 0 1010 M是此双曲线上的一点 且 0 2 则该双曲线的方程是 MF1 MF2 MF1 MF2 A y2 1 B x2 1 x2 9 y2 9 C 1 D 1 x2 3 y2 7 x2 7 y2 3 答案 A 解析 由条件知 2 2 2 2 2 40 MF1 MF2 MF1 MF2 F1F2 10 2 2 2 2 40 2 36 MF1 MF2 MF1 MF2 MF1 MF2 MF1 MF2 MF1 MF2 6 2a a 3 又c b2 c2 a2 1 双曲线方程为 y2 1 10 x2 9 9 2011 宁波市期末 设双曲线C 1 a 0 b 0 的右焦点为F O为坐标原 x2 a2 y2 b2 点 若以F为圆心 FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A 不同于O点 则 OAF的面积为 A ab B bc 用心 爱心 专心5 C ac D a2b c 答案 A 解析 由条件知 FA FO c 即 OAF为等腰三角形 F c 0 到渐近线y x b a 的距离为b OA 2a S OAF 2a b ab 1 2 10 2011 北京朝阳区期末 已知圆的方程为x2 y2 2x 6y 8 0 那么下列直线 中经过圆心的直线方程为 A 2x y 1 0 B 2x y 1 0 C 2x y 1 0 D 2x y 1 0 答案 B 解析 将圆心 1 3 坐标代入直线方程检验知选 B 11 文 2011 江西南昌调研 设圆C的圆心在双曲线 1 a 0 的右焦点上 x2 a2 y2 2 且与此双曲线的渐近线相切 若圆C被直线l x y 0 截得的弦长等于 2 则a 3 A B 146 C D 2 2 答案 C 解析 由条件知 圆心C 0 C到渐近线y x的距离为d a2 2 2 a 为 C的半径 又截得弦长为 2 圆心C到直线l x y 0 的距离 2 a2 2 2 a223 1 a2 2 a 0 a a2 2 22 理 2011 辽宁沈阳二中阶段检测 直线y kx 3 与圆 x 3 2 y 2 2 4 相交于 M N两点 若 MN 2 则k的取值范围是 3 用心 爱心 专心6 A B 0 3 4 0 3 4 C D 3 3 3 3 2 3 0 答案 A 解析 由条件知 圆心 3 2 到直线y kx 3 的距离不大于 1 1 3k 2 3 1 k2 解之得 k 0 3 4 12 2011 辽宁沈阳二中检测 已知曲线C y 2x2 点A 0 2 及点B 3 a 从 点A观察点B 要使视线不被曲线C挡住 则实数a的取值范围是 A 4 B 4 C 10 D 10 答案 D 解析 过点A 0 2 作曲线C y 2x2的切线 设方程为y kx 2 代入y 2x2得 2x2 kx 2 0 令 k2 16 0 得k 4 当k 4 时 切线为l B点在直线x 3 上运动 直线y 4x 2 与x 3 的交点为M 3 10 当点B 3 a 满足a 10 时 视线不被曲线C挡住 故选 D 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 把正确答案填在题中横线上 13 2011 广东高州市长坡中学期末 若方程 1 表示焦点在x轴上的椭 x2 4 k y2 6 k 圆 则k的取值范围是 答案 6 1 用心 爱心 专心7 解析 由题意知 4 k 6 k 0 6 k0 过P作PM x轴 垂足为M 设 F1PM F2PM 则 tan tan tan tan 1 tan tan 30 6 y 2 y 1 6 y 2 y 4 y 12 y 4 2 12 3 3 15 文 2011 黑龙江哈六中期末 设抛物线y2 8x的焦点为F 过点F作直线交抛 物线于A B两点 若线段AB的中点E到y轴的距离为 3 则AB的长为 答案 10 解析 2p 8 2 E到抛物线准线的距离为 p 2 5 AB AF BF 2 5 10 理 2011 辽宁大连联考 已知抛物线 y2 4x的焦点为F 准线与x轴的交点为 M N为抛物线上的一点 且满足 NF MN 则 NMF 3 2 用心 爱心 专心8 答案 6 解析 设N在准线上射影为A 由抛物线的定义与条件知 NA NF MN AMN 从而 NMF 3 2 3 6 16 文 2011 湖南长沙一中月考 直线l x y 0 与椭圆 y2 1 相交A B两 x2 2 点 点C是椭圆上的动点 则 ABC面积的最大值为 答案 2 解析 设与l平行的直线方程为x y a 0 当此直线与椭圆的切点为C时 ABC的面积最大 将y x a代入 y2 0 中整理得 3x2 4ax 2 a2 1 0 由 x2 2 16a2 24 a2 1 0 得 a 两平行直线x y 0 与x y 0 的距离 33 d 将y x代入 y2 1 中得 x1 x2 6 2 x2 2 6 3 6 3 AB 1 1 6 3 6 3 4 3 3 S ABC AB d 1 2 1 2 4 3 3 6 22 理 2011 湖北荆门调研 已知P为椭圆C 1 上的任意一点 F为椭圆C的 x2 25 y2 16 右焦点 M的坐标为 1 3 则 PM PF 的最小值为 答案 5 解析 如图 连结F1M 设直线F1M与C交于P P 是C上任一点 则有 PF1 PF P F1 P F 即 PM MF1 PF P F1 P F P F1 P M MF1 PM PF P M P F 故P点是使 PM PF 取最小值的点 又M 1 3 F1 3 0 MF1 5 用心 爱心 专心9 PM PF PF1 PF MF1 2 5 5 5 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 12 分 2011 山东潍坊一中期末 已知椭圆 1 a b 0 的两个 x2 a2 y2 b2 焦点为F1 F2 椭圆上一点M满足 0 2 6 3 3 3 MF1 MF2 1 求椭圆的方程 2 若直线L y kx 与椭圆恒有不同交点A B 且 1 O为坐标原点 求 2 OA OB k的取值范围 解析 1 设F1 c 0 F2 c 0 MF1 c 2 6 3 3 3 MF2 c 2 6 3 3 3 0 c2 2 2 0 MF1 MF2 2 6 3 3 3 c2 3 a2 b2 3 又点M在椭圆上 1 8 3a2 1 3b2 代入 得 1 8 3a2 1 3 a2 3 整理得 a4 6a2 8 0 a2 2 或a2 4 a2 3 a2 4 b2 1 椭圆方程为 y2 1 x2 4 2 由Error 消去y解得x2 2kx 1 0 1 4 k2 2 设A x1 y1 B x2 y2 则 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 kx2 OA OB 22 1 k2 x1x2 k x1 x2 2 1 2 6 4k2 1 4k2 k20 得k2 5 8 1 4 1 4 k2 k 1 4 5 8 10 4 1 2 1 2 10 4 18 本小题满分 12 分 2010 湖北文 已知一条曲线C在y轴右边 C上每一点到点 F 1 0 的距离减去它到y轴距离的差都是 1 用心 爱心 专心10 1 求曲线C的方程 2 是否存在正数m 对于过点M m 0 且与曲线C有两个交点A B的任一直线 都有 0 x 1 2 y2 化简得y2 4x x 0 2 设过点M m 0 m 0 的直线l与曲线C的交点为A x1 y1 B x2 y2 设l的方 程为x ty m 由Error 得y2 4ty 4m 0 此时 16 t2 m 0 于是Error 又 x1 1 y1 x2 1 y2 FA FB 0 x1 1 x2 1 y1y2 x1 x2 x1 x2 1 y1y2 0 FA FB 又x 于是不等式 等价于 y2 4 y1y2 1 0 y2 1 4 y2 2 4 y2 1 4 y2 2 4 y1y2 y1 y2 2 2y1y2 1 0 y1y2 2 16 1 4 由 式 不等式 等价于m2 6m 1 4t2 对任意实数t 4t2的最小值为 0 所以不等式 对于一切t成立等价于m2 6m 1 0 即 3 2 m 3 2 22 由此可知 存在正数m 对于过点M m 0 且与曲线C有两个交点A B的任意一直线 都有 b 0 的离心率为 x2 a2 y2 b2 过原点O斜率为 1 的直线与椭圆C相交于M N两点 椭圆右焦点F到直线l的距离为 2 2 2 1 求椭圆C的方程 2 设P是椭圆上异于M N外的一点 当直线PM PN的斜率存在且不为零时 记直线 PM的斜率为k1 直线PN的斜率为k2 试探究k1 k2是否为定值 若是 求出定值 若不 是 说明理由 解析 1 设椭圆的焦距为 2c c 0 焦点F c 0 直线l x y 0 用心 爱心 专心11 F到l的距离为 解得c 2 c 22 又 e a 2 b 2 c a 2 22 椭圆C的方程为 1 x2 8 y2 4 2 由Error 解得x y 或x y 2 6 3 2 6 3 不妨设M N P x y 2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 6 3 kPM kPN y 2 6 3 x 2 6 3 y 2 6 3 x 2 6 3 y2 8 3 x2 8 3 由 1 即x2 8 2y2 代入化简得k1 k2 kPM kPN 为定值 x2 8 y2 4 1 2 20 本小题满分 12 分 2011 厦门期末质检 已知抛物线C y2 4x 直线 l y x b与C交于A B两点 O为坐标原点 1 2 1 当直线l过抛物线C的焦点F时 求 AB 2 是否存在直线l使得直线OA OB倾斜角之和为 135 若存在 求出直线l的方 程 若不存在 请说明理由 解析 1 抛物线C y2 4x的焦点为F 1 0 代入直线y x b可得b 1 2 1 2 l y x 设A x1 y1 B x2 y2 1 2 1 2 联立Error 消去y得x2 18x 1 0 x1 x2 18 x1x2 1 方法一 AB x1 x2 1 k2 20 5 4 x1 x2 2 4x1x2 用心 爱心 专心12 方法二 AB x1 x2 p 18 2 20 2 假设存在满足要求的直线l y x b 1 2 设A x1 y1 B x2 y2 联立Error 消去x得y2 8y 8b 0 y1 y2 8 y1y2 8b 设直线OA OB的倾斜角分别为 斜率分别为k1 k2 则 135 tan tan135 1 k1 k2 1 k1k2 其中k1 k2 代入上式整理得y1y2 16 4 y1 y2 0 y1 x1 4 y1 y2 x2 4 y2 8b 16 32 0 即b 2 代入 64 32b 128 0 满足要求 综上 存在直线l y x 2 使得直线OA OB的倾斜角之和为 135 1 2 21 本小题满分 12 分 2011 黑龙江哈六中期末 已知菱形ABCD的顶点A C在椭圆 x2 3y2 4 上 对角线BD所在直线的斜率为 1 1 当直线BD过点 0 1 时 求直线AC的方程 2 当 ABC 60 时 求菱形ABCD面积的最大值 解析 1 由题意得直线BD的方程为y x 1 因为四边形ABCD为菱形 所以AC BD 于是可设直线AC的方程为y x n 由Error 得 4x2 6nx 3n2 4 0 因为A C在椭圆上 所以 12n2 64 0 解得 n 4 3 3 4 3 3 设A C两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2 x1x2 3n 2 3n2 4 4 y1 x1 n y2 x2 n 用心 爱心 专心13 所以y1 y2 所以AC的中点坐标为 n 2 3n 4 n 4 由四边形ABCD为菱形可知 点在直线y x 1 上 所以 1 解得 3n 4 n 4 n 4 3n 4 n 2 所以直线AC的方程为y x 2 即x y 2 0 2 因为四边形ABCD为菱形 且 ABC 60 所以 AB BC CA 所以菱形ABCD的面积S AC 2 3 2 由 1 可得 AC 2 x1 x2 2 y1 y2 2 3n2 16 2 所以S 3n2 16 3 4 4 3 3 n1 构成的 眼形 结构中 已知椭圆的离心率为 直线l与圆O相 x2 a2 6 3 切于点M 与椭圆C相交于两点A B 1 求椭圆C的方程 2 是否存在直线l 使得 2 若存在 求此时直线l的方程 若不存在 OA OB 1 2OM 请说明理由 解析 1 e c2 a2 1 c a 6 3 2 3 a2 1 a2 解得 a2 3 所以所求椭圆C的方程为 y2 1 x2 3 2 假设存在直线l 使得 2 OA OB 1 2OM 用心 爱心 专心14 易得当直线l垂直于x轴时 不符合题意 故设直线l方程为y kx b 由直线l与圆O相切 可得b2 k2 1 把直线y kx b代入椭圆C y2 1 中 整理得 x2 3 1 3k2 x2 6kbx 3b2 3 0 则x1 x2 x1 x2 6kb