2011年全国各地中考数学试题压轴题精选讲座二 几何问题 人教新课标版VIP

用心 爱心 专心1 20112011 年全国各地中考试题压轴题精选讲座二几何问题年全国各地中考试题压轴题精选讲座二几何问题 知识纵横 应用几何的判定与性质 解直角三角形的应用和方程思想解决几何问题 典型例题 例 1 重庆綦江 如图 等边 ABC 中 AO 是 BAC 的角平分线 D 为 AO 上一点 以 CD 为一边 且在 CD 下方作等边 CDE 连接 BE 1 求证 ACD BCE 2 延长 BE 至 Q P 为 BQ 上一点 连接 CP CQ 使 CP CQ 5 若 BC 8 时 求 PQ 的长 思路点拨 1 证 ACD BCE 2 过点 C 作 CH BQ 于 H 求得 DAC 30 再求 PQ 的长 例 2 山东济南 如图 点 C 为线段 AB 上任 意一点 不与点 A B 重合 分别以 AC BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰 ACD 和 BCE CA CD CB CE ACD 与 BCE 都是锐角 且 ACD BCE 连接 AE 交 CD 于点 M 连接 BD 交 CE 于点 N AE 与 BD 交于点 P 连接 CP 1 求证 ACE DCB 2 请你判断 ACM 与 DPM 的形状有何关系并说明理由 3 求证 APC BPC 思路点拨 3 由 1 可得 CAE CDB 从而点 A C P D 四点共圆 可得 APC ADC 再证明 BPC BEC 即可 例 3 广东广州 如图 1 O 中 AB 是直径 C 是 O 上一点 ABC 45 等腰直 用心 爱心 专心2 角三角形 DC E 中 DCE 是直角 点 D 在线段 AC 上 1 证明 B C E 三点共线 2 若 M 是线段 BE 的中点 N 是线段 AD 的中 点 证明 MN OM 2 3 将 DCE 绕点 C 逆时针旋转 0 90 后 记为 D1CE1 图 2 若 M1 是线段 BE1的中点 N1是线段 AD1的中点 M1N1 OM1是否成立 若是 请证明 若不2 是 说明理由 思路点拨 1 证明 BCA DCE 90 90 180 2 连接 BD AE ON 延长 BD 交 AE 于 F 先证明 Rt BCD Rt ACE 再证 ONM 为等腰直角三角形 即可得到结论 3 证明的 方法和 2 相同 例 4 上海 在 Rt ABC 中 ACB 90 BC 30 AB 50 点 P 是 AB 边上任意一点 直线 PE AB 与边 AC 或 BC 相交于 E 点 M 在线段 AP 上 点 N 在线段 BP 上 EM EN 12 sinEMP 13 1 如图 1 当点 E 与点 C 重合时 求 CM 的长 2 如图 2 当点 E 在边 AC 上时 点 E 不与点 A C 重合 设 AP BN 求关于的函xyyx 数关系式 并写出函数的定义域 用心 爱心 专心3 3 若 AME ENB AME 的顶点 A M E 分别与 ENB 的顶点 E N B 对应 求 AP 的长 思路点拨 2 根据 EM EN 得出 AEP ABC 再求出 12 sinEMP 13 PEBC APAC 3 分点 E 在 AC 上和点 E 在 BC 上两种情况讨论 学力训练 1 山东泰安 已知 在 ABC 中 AC BC ACB 90 点 D 是 AB 的中点 点 E 是 AB 边上一点 1 直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F 交 CD 于点 G 如图 1 求证 AE CG 2 直线 AH 垂直于直线 CE 垂足为点 H 交 CD 的延长线于点 M 如图 2 找出图中与 BE 相等 的线段 并证明 2 四川绵阳 已知 ABC 是等腰直角三角形 A 90 D 是腰 AC 上的一个动点 E D C A B 用心 爱心 专心4 过 C 作 CE 垂直于 BD 或 BD 的延长线 垂足为 E 如图 1 若 BD 是 AC 的中线 求的值 BD CE 2 若 BD 是 ABC 的角平分线 求的值 BD CE 3 结合 1 2 试推断的取值范围 直接写出结论 不必证明 并探究的值能小 BD CE BD CE 于吗 若能 求出满足条件的 D 点的位置 若不能 说明理由 3 4 3 福建泉州 如图 1 在第一象限内 直线 y mx 与过点 B 0 1 且平行于 x 轴的直线 l 相交于点 A 半径为 r 的 Q 与直线 y mx x 轴分别相切于点 T E 且与直线 l 分别交 于不同的 M N 两点 1 当点 A 的坐标为 p 时 3 3 填空 p m AOE 如图 2 连接 QT QE QE 交 MN 于点 F 当 r 2 时 试说明 以 T M E N 为顶 点的四边形是等腰梯形 2 在图 1 中 连接 EQ 并延长交 Q 于点 D 试探索 对 m r 的不同取值 经过 M D N 三点的抛物线 y ax2 bx c a 的值会变化吗 若不变 求出 a 的值 若变化 请说 明理由 4 福建莆田 已知菱形 ABCD 的边长为 1 ADC 60 等边 AEF 两边分别交边 DC CB 于点 用心 爱心 专心5 E F 1 4 分 特殊发现 如图 1 若点 E F 分别是边 DC CB 的中点 求证 菱形 ABCD 对角线 AC BD 交点 O 即为等边 AEF 的外心 2 若点 E F 始终分别在边 DC CB 上移动 记等边 AEF 的外心为点 P 4 分 猜想验证 如图 2 猜想 AEF 的外心 P 落在哪一直线上 并加以证明 6 分 拓展运用 如图 3 当 AEF 面积最小时 过点 P 任作一直线分别交边 DA 于 点 M 交边 DC 的延长线于点 N 试判断是否为定值 若是 请求出该定值 11 DMDN 若不是 请说明理由 用心 爱心 专心6 几何问题的参考答案 典型例题 例 2 山东济南 解 1 证 ACD BCE ACE DCB 又 CA CD CE CB ACE DCB ASA 2 ACM DPM 理由如下 ACE DCB CAE CDB 即 CAM PDM 又 CMA PMD ACM DPM 3 证 CAE CDB 点 A C P D 四点共圆 APC ADC 同理 BPC BEC 又 等腰 ACD 和 BCE CA CD CB CE ACD BCE ADC BEC APC BPC 例 3 广东广州 解 1 证明 AB 是直径 BCA 90 而等腰直角三角形 DCE 中 DCE 是直角 BCA DCE 90 90 180 B C E 三点共线 2 连接 BD AE ON 延长 BD 交 AE 于 F 如图 CB CA CD CE Rt BCD Rt ACE SAS 用心 爱心 专心7 BD AE EBD CAE CAE ADF CBD BDC 90 即 BD AE 又 M 是线段 BE 的中点 N 是线段 AD 的中点 而 O 为 AB 的中点 ON BD OM AE ON BD AE OM 1 2 1 2 ON OM ON OM 即 ONM 为等腰直角三角形 MN OM 2 3 成立 理由如下 和 2 一样 易证得 Rt BCD1 Rt ACE1 同理可证 BD1 AE1 ON1M1为等腰直角三角形 从而有 M1N1 OM1 2 2 设 EP 12 则 EM 13 PM 5 12 sinEMP 13 aaa EM EN EN 13 PN 5 aa AEP ABC 即 16 PEBC APAC 1230 40 a x xa 16 x a BP 50 16 a y 50 21 50 21 50 a 16 x21 16 x 由 1 当点 E 与点 C 重合时 AP 2222 ACCP402432 函数的定义域是 0 32 x 3 当点 E 在 AC 上时 如图 2 由 2 知 AP 16 BN y 50 a 21 165021 16 aa EN EM 13 AM AP MP 16 5 11 aaaa AME ENB 即 AMME ENNB 1113 135021 aa aa 用心 爱心 专心8 AP 16 22 11 8 a 11 8 当点 E 在 BC 上时 如图 设 EP 12 则 EM 13 MP NP 5 aaa EBP ABC 即 BP 9 BPEP BCAC BP12 3040 a a BN 9 5 4 AM 50 9 5 50 14 aaaaaa AME ENB 即 AMME ENNB 501413 134 aa aa AP 50 9 42 8 9 a 8 9 综上所述 AP 的长为 22 或 42 2 四川绵阳 解 设 AB AC 1 CD x 则 0 x 1 BC AD 1 x 2 在 Rt ABD 中 BD2 AB2 AD2 1 1 x 2 x2 2x 2 由已知可得 Rt ABD Rt ECD 即 CECD ABBD 2 CEx 1 x2x2 2 x CE x2x2 0 x 1 22 2 BDx2x2x2x22 x2 x CExx x2x2 1 若 BD 是 AC 的中线 则 CD AD x 得 2 1BD5 CE2 2 若 BD 是 ABC 的角平分线 则 Rt ABD Rt EBC 用心 爱心 专心9 得 CEBC ADBD 2 2 x 1x2 x2x 2 x2x2 即 解得 x2 1x1 x 22 BD2 2222 CE22 3 值的取值范围为 1 BD CE BD CE 若 则有 3x2 10 x 6 0 解得 BD24 x2 CEx3 57 x 3 AD1x71 DCx6 当时 的值小于 71AD 1 6DC BD CE3 4 3 福建泉州 解 1 1 60 3 2 如图 连接 TM ME EN QN QM OE 和 OP 是 Q 的切线 QE x 轴 QT OT 即 QTA 90 而 l x 轴 QE MN MF NF 又 r 2 EF 1 QF 2 1 1 四边形 QNEM 为平行四边形 即 QN ME EN MQ EQ QN 即 QEN 为等边三角形 NQE 60 QNF 30 在四边形 OEQT 中 QTO QEO 90 TOE 60 TQE 360 90 90 60 120 TQE NQE 120 60 180 T Q N 三点共线 即 TN 为直径 TMN 90 TN ME MTN 60 TNE 以 T M E N 为顶点的四边形是等腰梯形 3 对 m r 的不同取值 经过 M D N 三点的抛物线 y ax2 bx c a 的值不会变化 理由如下 如图 连 DM ME DM 为直径 DME 90 而 DM 垂直平分 MN Rt MFD Rt EFM 用心 爱心 专心10 MF2 EF FD 设 D h k h 0 k 2r 则过 M D N 三点的抛物线的解析式为 y a x h 2 k 又 M N 的纵坐标都为 1 当 y 1 时 a x h 2 k 1 解得 x1 x2 1k h a 1k h a MN 2 MF MN 1k a 1 2 1k a a 1 2 1k 1k1 a 1k 1k1 a 对 m r 的不同取值 经过 M D N 三点的抛物线 y ax2 bx c a 的值会变化 a 1 2 猜想 外心 P 一定落在直线 DB 上 证明如下 如图 2 分别连接 PE PA 过点 P 分别作 PI CD 于 I PJ AD 于 J PIE PJD 90 用心 爱心 专心11 ADC 60 IPJ 360 PIE PJD JDI 120 点 P 是等边 AEF 的外心 EPA 120 P