山东省滕州市大坞镇大坞中学八年级数学下册《第三章 第4节 分式方程》教案1 新人教版

1 分式方程分式方程 学习目标 一 教学知识点 1 解分式方程的一般步骤 2 了解解分式方程验根的必要性 二 能力训练要求 1 通过具体例子 让学生独立探索方程的解法 经历和体会解分式方程的必要步骤 2 使学生进一步了解数学思想中的 转化 思想 认识到能将分式方程转化为整式方 程 从而找到解分式方程的途径 教学重点 1 解分式方程的一般步骤 熟练掌握分式方程的解决 2 明确解分式方程验根的必要性 教学难点 明确分式方程验根的必要性 教学方法 探索发现法 学生在教师的引导下 探索分式方程是如何转化为整式方程 并发现解分式方程验根 的必要性 教学过程 提出问题 引入新课 师 在上节课的几个问题 我们根据题意将具体实际的情境 转化成了数学模型 分式方程 但要使问题得到真正的解决 则必须设法解出所列的分式方程 这节课 我们就来学习分式方程的解法 我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一 次 方程的解法 也许你会从中得到启示 寻找到解分式方程的方法 解方程 2 2 13 x 3 25 x 6 24 x 师生共解 1 去分母 方程两边同乘以分母的最小公倍数 6 得 3 3x 1 2 5x 2 6 2 4x 2 2 去括号 得 9x 3 10 x 4 12 4x 2 3 移项 得 9x 10 x 4x 12 2 3 4 2 4 合并同类项 得 23x 13 5 使x的系数化为 1 两边同除以 23 x 23 13 讲解新课 探索分式方程的解法 师 刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤 下面我们来看一个分式方程 出示投影片 3 4 2 A 例 1 解方程 1 2 1 xx 3 生 解这个方程 能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢 师 同学们说他的想法可取吗 生 可取 师 同学们可以接着讨论 方程两边同乘以什么样的整式 或数 可以去掉分母呢 生 乘以分式方程中所有分母的公分母 生 解一元一次方程 去分母时 方程两边同乘以分母的最小公倍数 比较简单 解 分式方程时 我认为方程两边同乘以分母的最简公分母 去分母也比较简单 师 我觉得这两位同学的想法都非常好 那么这个分式方程的最简公分母是什么呢 生 x x 2 师生共析 方程两边同乘以x x 2 得x x 2 x x 2 2 1 xx 3 化简 得x 3 x 2 2 我们可以发现 采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程 而且是我们曾学过的 一元一次方程 生 再往下解 我们就可以像解一元一次方程一样 解出x 即x 3x 6 去括号 2x 6 移项 合并同类项 x 3 x的系数化为 1 师 x 3 是方程 2 的解吗 是方程 1 的解吗 为什么 同学们可以在小组内 讨论 教师可参与到学生的讨论中 倾听学生的说法 生 x 3 是由一元一次方程x 3 x 2 2 解出来的 x 3 一定是方程 2 的 解 但是不是原分式方程 1 的解 需要检验 把x 3 代入方程 1 的左边 1 右 23 1 3 边 1 左边 右边 所以x 3 是方程 1 的解 3 3 师 同学们表现得都很棒 相信同学们也能用同样的方法解出例 2 例 2 解方程 4 x 300 x2 480 由学生在练习本上试着完成 然后再共同解答 解 方程两边同乘以 2x 得 600 480 8x 解这个方程 得x 15 检验 将x 15 代入原方程 得 左边 4 右边 4 左边 右边 所以x 15 是原方程的根 师 很好 同学们现在不仅解出了分式方程的解 还有了检验结果的好习惯 我这里还有一个题 我们再来一起解决一下 出示投影片 3 4 2 B 先隐藏小亮的 解法 议一议 解方程 2 3 2 x x x 3 1 可让学生在练习本上完成 发现有和小亮同样解法的同学 可用实物投影仪显示他 的解法 并一块分析 师 我们来看小亮同学的解法 2 3 2 x x x 3 1 解 方程两边同乘以x 3 得 2 x 1 2 x 3 解这个方程 得x 3 生 小亮解完没检验x 3 是不是原方程的解 师 检验的结果如何呢 生 把x 3 代入原方程中 使方程的分母x 3 和 3 x都为零 即x 3 时 方程中 的分式无意义 因此x 3 不是原方程的根 师 它是去分母后得到的整式方程的根吗 生 x 3 是去分母后的整式方程的根 师 为什么x 3 是整式方程的根 它使得最简公分母为零 而不是原分式方程的根 呢 同学们可在小组内讨论 教师可参与到学生的讨论中 倾听同学们的想法 4 生 在解分式方程时 我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程 如果 整式方程的根使得最简公分母的值为零 那么它就相当于分式方程两边都乘以零 不符合 等式变形时的两个基本性质 得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零 也就不适合原方程了 师 很好 分析得很透彻 我们把这样的不适合原方程的整式方程的根 叫原方程 的增根 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根 那么 是不是就不要这样解 或 采用什么方法补救 生 还是要把分式方程转化成整式方程来解 解出整式方程的解后可用检验的方法 看是不是原方程的解 师 怎样检验较简单呢 还需要将整式方程的根分别代入原方程的左 右两边吗 生 不用 产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的 因此最简 单的检验方法是 把整式方程的根代入最简公分母 若使最简公分母为零 则是原方程的增 根 若使最简公分母不为零 则是原方程的根 是增根 必舍去 师 在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质 解出的根都应是原方程 的根 但在解分式方程时 解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验 小亮就犯了没 有检验的错误 应用 升华 1 解方程 1 2 2 1 3 xx 4 12 10 xx21 5 分析 先总结解分式方程的几个步骤 然后解题 解 1 1 3 xx 4 去分母 方程两边同乘以x x 1 得 3x 4 x 1 解这个方程 得x 4 检验 把x 4 代入x x 1 4 3 12 0 所以原方程的根为x 4 2 2 12 10 xx21 5 去分母 方程两边同乘以 2x 1 得 5 10 5 2 2x 1 解这个方程 得x 4 7 检验 把x 代入原方程分母 2x 1 2 1 0 4 7 4 7 2 5 所以原方程的根为x 4 7 2 回顾 总结 出示投影片 3 4 2 C 想一想 解分式方程一般需要经过哪几个步骤 师 同学们可根据例题和练习题的步骤 讨论总结 生 解分式方程分三大步骤 1 方程两边都乘以最简公分母 约去分母 化分 式方程为整式方程 2 解这个整式方程 3 把整式方程的根代入最简公分母 看结果是否为零 使最简公分母为零的根是原 方程的增根 应舍去 使最简公分母不为零的根才是原方程的根 3 补充练习 出示投影片 3 4 2 D 解分式方程 1 x 9000 3000 15000 x 2 a h常数 x h 2xa a 分析 强调解分式方程的三个步骤 一去分母 二解整式方程 三验根 解 1 去分母 方程两边同时乘以x x 3000 得 9000 x 3000 15000 x 解这个整式方程 得x 4500 检验 把x 4500 代入x x 3000 0 所以原方程的根为 4500 2 a h是常数且都大于零 x h 2xa a 去分母 方程 两边同乘以 2x a x 得 h a x 2ax 6 解整式方程 得x 2a h 0 ha ah 2 检验 把x 代入原方程中 最简公分母 2x a x 0 所以原方程的根为 ha ah 2 x ha ah 2 课时小结 师 同学们这节课的表现很活跃 一定收获不小 生 我们学会了解分式方程 明白了解分式方程的三个步骤缺一不可 生 我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根 生 我又一次体验到了 转化 在学习数学中的重要作用 但又进一步认识到每一 步转化并不一定都那么 完美 必须经过检验 反思 转化 过程 课后作业 习题 3 7 活动与探究 若关于x的方程 有增根 则m的值是 3 1 x x 93 2 x m 过程 首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根 但却使最简公分母为 零 结果 关于x的方程 有增根 则此增根必使 3x 9 3 x 3 0 所 3 1 x x 93 2 x m 以增根为x 3 去分母 方程两边同乘以 3 x 3 得 3 x 1 m2 根据题意 得x 3 是上面整式方