江苏省2012届高考数学二轮复习 第21讲 转化与化归思想

用心 爱心 专心1 转化与化归思想转化与化归思想 第第2 21 1讲讲 转化与化归思想是指在处理问题时 把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一 类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式 应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易 化生为熟 化繁为简 尽可能是等价 转化 在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保 转化的等价 常见的转化有 正与反的转化 数与形的转化 相等与不等的转化 整体与 局部的转化 空间与平面的转化 常量与变量的转化 图象语言 文字语言与符号语言的 转化等 分类讨论思想 函数与方程思想 数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现 常 用的变换方法 分析法 反证法 换元法 待定系数法 构造法等都是转化的手段 1 已知正实数 x y 满足 1 则 x y 的取值范围是 1 x 1 y 2 若不等式 x2 ax 1 0 对一切 x 都成立 则实数 a 的最小值为 0 1 2 3 函数 y x 的值域为 2 x 4 函数 f x x3 3bx 3b 在 0 1 内有极小值 则 b 的取值范围是 例 1 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 求 PA 的最小值 PB 用心 爱心 专心2 例 2 若不等式 x2 px 4x p 3 对一切 0 p 4 均成立 试求实数 x 的取值范 围 例 3 在数列 an 中 a1 前 n 项和 Sn满足 Sn 1 Sn n 1 n N N 1 3 1 3 1 求数列 an 的通项公式 an以及前 n 项和 Sn 2 若 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列 求实数 t 的值 例 4 已知函数 f x x2 lnx a R R a 1 2 1 当 a 0 时 求函数 f x 的单调递增区间 2 若 x 1 3 使 f x 1 在约束条件Error 下 目标函数 z x my 的最大值小于 2 则实数 m 的取值范围为 3 2011 全国 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上 且 AB 6 BC 2 则棱锥 OABCD 的体积为 3 4 2011 湖南 已知函数 f x ex 1 g x x2 4x 3 若有 f a g b 则 b 的取值范围为 5 2009 浙江 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 cos 3 A 2 2 5 5 AB AC 1 求 ABC 的面积 2 若 b c 6 求 a 的值 6 2011 辽宁 如图 已知椭圆 C1的中心在原点 O 长轴左 右端点 M N 在 x 轴上 椭圆 C2的短轴为 MN 且 C1 C2的离心率都为 e 直线 l MN l 与 C1交于两点 与 C2交于 两点 这四点按纵坐标从大到小依次为 A B C D 1 设 e 求 BC 与 AD 的比值 1 2 2 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 BO AN 并说明理由 2008 北京 本小题满分 13 分 数列 an 满足 a1 1 an 1 n2 n 用心 爱心 专心4 an n 1 2 是常数 1 当 a2 1 时 求 及 a3的值 2 数列 an 是否可能为等差数列 若可能 求出它的通项公式 若不可能 说明理 由 3 求 的取值范围 使得存在正整数 m 当 n m 时总有 an 0 解 1 由于 an 1 n2 n an n 1 2 且 a1 1 所以当 a2 1 时 得 1 2 故 3 2 分 从而 a3 22 2 3 1 3 4 分 2 数列 an 不可能为等差数列 证明如下 由 a1 1 an 1 n2 n an得 a2 2 a3 6 2 a4 12 6 2 若存在 使 an 为等差数列 则 a3 a2 a2 a1 即 5 2 1 解得 3 于是 a2 a1 1 2 a4 a3 11 6 2 24 这与 an 为等差数列矛盾 所以 对任意 an 都不可能是等差数列 8 分 3 记 bn n2 n n 1 2 根据题意可知 b12 且 n2 n n N N 这时总存在 n0 N N 满足 当 n n0时 bn 0 当 n n0 1 时 bn0 可知 若 n0为偶数 则 an0n0时 an0 从而当 n n0时 an 0 10 分 因此 存在 m N N 当 n m 时总有 an 0 的充分必要条件是 n0为偶数 记 n0 2k k 1 2 则 满足 Error 故 的取值范围是 4k2 2k 3 或 x 1 实数 x 的取值范围是 x 1 3 变式训练 若不等式 x2 px 4x p 3 对一切 4 x 0 均成立 试求实数 p 的取值 范围 解 解法 1 构造函数 f x x2 p 4 x p 3 所以 0 或Error 或Error 所以 p 3 解法 2 构造函数 f x x2 p 4 x p 3 x 1 x p 3 f x 0 对一切 4 x 0 均成立 而 x 1 0 x p 3 0 p 3 x p 3 例 3 解 1 由 Sn 1 Sn n 1 n N N 得 an 1 n 1 1 3 1 3 又 a1 故 an n n N N Sn 1 3 1 3 1 2 1 1 3n 2 由 1 得 S1 S2 S3 1 3 4 9 13 27 3 t 2 得 t 2 1 3 4 9 13 27 1 3 4 9 例 4 解 1 f x x2 lnx a R R 的定义域为 0 a 1 2 当 a 0 时 f x x2 lnx f x x 1 2 1 x 1 x2 x 由 f x 0 结合定义域 解得 0 x 1 故得函数 f x 的单调递增区间为 0 1 2 f x x 1 lnx 即x2 xlnx a R R a 1 2 x 1 3 a 令 g x lnx x 1 2 lnx x 1 2 则 x 1 3 使 f x x 1 lnx 成立 等价于 a g x max g x 由 g x 0 结合 x 1 3 解得 x e 1 lnx x2 当 1 x e 时 g x 0 当 e x 3 时 g x 0 故得 g x max g e 1 e 1 2 用心 爱心 专心7 实数 a 的取值范围是 1 e 1 2 3 令 h x f x 2ax x2 2ax lnx h x 的定义域为 0 函数 f x 的 a 1 2 图象在区间 1 内恒在直线 y 2ax 下方 等价于 h x 0 在 1 上恒成立 即 h x max 0 h x 2a 1 x 2a 1 x x 1 2a 1 x 1 x 若 a 令 h x 0 得 x1 1 x2 1 2 1 2a 1 当 x2 x1 1 即 a 1 时 在 1 x2 上 h x 0 h x 为减函数 在 x2 上 1 2 h x 0 h x 为增函数 故 h x 的值域为 g x2 不合题意 当 x2 x1 1 即 a 1 时 同理可得在 1 上 h x 0 h x 为增函数 故 h x 的值域为 g x1 也不合题意 若 a 则有 2a 1 0 此时 在区间 1 上 恒有 h x 0 从而 h x 1 2 为减函数 h x max h 1 a 0 结合 a 解得 a 1 2 1 2 1 2 1 2 综合 可得 实数 a 的取值范围 a 1 2 1 2 变式训练 已知函数 f x x3 ax2图象上一点 P 1 b 的切线斜率为 3 g x x3 x2 t 1 x 3 t 0 t 6 2 1 求 a b 的值 2 当 x 1 4 时 求 f x 的值域 3 当 x 1 4 时 不等式 f x g x 恒成立 求实数 t 的取值范围 解 1 f x 3x2 2ax Error 解得Error 2 由 1 知 f x 在 1 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 在 2 4 上单调递 增 又 f 1 4 f 0 0 f x min f 2 4 f x max f 4 16 f x 的值域是 4 16 3 令 h x f x g x x2 t 1 x 3 x 1 4 t 2 要使 f x g x 恒成立 只需 h x 0 即 t x2 2x 2x 6 当 x 1 2 时 t 解得 t 2 2x 6 x2 2x3 当 x 2 时 t R R 当 x 2 4 时 t 解得 t 2x 6 x2 2x 1 4 综上所述 所求实数 t 的取值范围是 1 4 2 3 用心 爱心 专心8 高考回顾 1 或 解析 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 1 2 3 2 设 PF1 4k F1F2 3k PF2 2k k 0 若圆锥曲线为椭圆 则 2a PF1 PF2 6k 2c F1F2 3k 则离心率 e 2c 2a 3k 6k 1 2 当圆锥曲线为双曲线时 则 2a PF1 PF2 2k 2c F1F2 3k 离心率 e 2c 2a 3k 2k 3 2 2 1 m 1 解析 画出可行域 可知 z x my 在点取最大值 由 2 1 1 m m 1 m 2 解得 1 m 1 1 1 m m2 1 m2 3 8 解析 设矩形的对角线的交点为 E 则 OE 面 ABCD 由题知截面圆半径 r2 3 BD2 AB2 BC2 12 由截面圆性质得 OE 2 1 4 1 4R2 r2 棱锥 O ABCD 的体积为 SABCD OE 6 2 2 8 1 3 1 333 4 2 b 2 解析 f a ea 1 1 g b b2 4b 3 1 解得 2 22 b 2 22 5 解 1 因为 cos cosA 2cos2 1 sinA A 2 2 5 5 A 2 3 5 4 5 又由 3 得 bccosA 3 bc 5 S ABC bcsinA 2 AB AC 1 2 2 由于 bc 5 又 b c 6 b 5 c 1 或 b 1 c 5 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 20 a 2 5 6 解 1 因为 C1 C2的离心率相同 故依题意可设 C1 1 C2 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 b2y2 a4 x2 a2 设直线 l x t t a 分别与 C1 C2的方程联立 求得 A B t a b a2 t2 t b a a2 t2 当 e 时 b a 分别用 yA yB表示 A B 的纵坐标 可知 1 2 3 2 BC AD 2 yB 2 yA b2