广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立体几何3 理

用心 爱心 专心 1 20122012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编 理 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编 理 立体几何 立体几何 3 3 广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟 2 13 已知m n是两条不同的直线 是一个平面 有下列四个命题 若 则 mn mn 若 则 mn mn 若 则 mn nm 若 则 mmn n 其中真命题的序号有 请将真命题的序号都填上 答案 广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟 1 4 下列命题中正确的个数是 1 若直线 上有无数个点不在平面内 则 l l 2 若直线 与平面平行 则 与平面内的任意一条直线都平行 l l 3 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行 4 若直线 与平面平行 则 与平面内的任意一条直线都没有公共点 l l A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 广东省英德市一中 2012 届高三模拟考试理 5 5 如图 四面体OABC的三条棱 OCOBOA 两两垂直 2 OBOA 3 OC D为四面体OABC外一点 给出下列命题 不存在点D 使四面体ABCD有三个面是直角三角形 不存在点D 使四面体ABCD是正三棱锥 存在点D 使CD与AB垂直并且相等 存在无数个点D 使点O在四面体ABCD的外接球面上 O A B D C 其中真命题的序号是 A B C D 用心 爱心 专心 2 答案 D 广东省深圳市 2012 届高三第二次调研理 10 某机器零件的俯视图是直径为 24 mm 的圆 包括圆心 主视图和侧视图完全相同 如图 2 所示 则该机器零件的体积是 mm3 结果保留 答案 2880 广东省韶关市 2012 届高三模拟理 4 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体 积为 A B C D 1362 答案 B 广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考试理 6 一个锥体的主视图和左视图如图所示 下面选项中 不可能是该锥体的俯视图的是 答案 C 广东省茂名市 2012 年第二次高考模拟理 6 已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 且它的 8 个顶点都在同一个球面上 这个球面的表面积为 125 则该球的半径为 3 4 x A B C D 25 2 5 5 5 5 2 答案 D 解析 因为球的半径为 所以有 所 2 25 2 x 10 125 2 25 4 2 2 x x 所以 以球的半径 为 5 5 2 1 1 主视图左视图 1 1 1 1 B 1 A 1 1 1 1 C 1 1 D 用心 爱心 专心 3 广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟 2 18 本小题 14 分 已知某几何体的 直观图和三视图如下图所示 其正视图为矩形 侧视图为等腰直角三角形 俯视图为直 角梯形 1 求证 BN 11 C B N 平面 2 11 C N 设为直线与平面C N B所成的角 求si n 的值 3 设 M 为 AB 中点 在 BC 边上求一点 P 使 MP 平面 CNB1 求 BP PC 的值 答案 1 证明 该几何体的正视图为矩形 侧视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯 形 BA BC BB1两两垂直 2 分 以 BA BC BB1分别为轴建立空间直角坐标系 则 N 4 4 0 B1 0 8 0 zyx C1 0 8 4 C 0 0 4 4 4 0 4 4 0 16 16 0 11 NBBN 4 4 0 0 0 4 0 11C BBN BN NB1 BN B1C1且 NB1与 B1C1相交于 B1 BN 平面 C1B1N 4 分 II 设为平面的一个法向量 2 zyxn 1 NCB 则 2 21 0 4 4 4 0 4 4 0 0 0 nCNx y z x y z nNB 21 0 1 1 2 4 4 4 0 xyz nC N xy 取 则 9 分 4 4 4 1 1 2 2 sin 316 16 161 14 III M 2 0 0 设 P 0 0 a 为 BC 上一点 则 MP 平面 CNB1 0 2 aMP 用心 爱心 专心 4 1 022 2 1 1 0 2 22 aaanMPnMP 又 11 CNBMPCNBPM平面平面 当PB 1 时MP 平面CNB1 14 分 1 3 BP PC 广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟 4 1818 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 如图 在四 棱锥中 底面为菱形 60BAD Q为AD的中点 ABCDP ABCD 2PAPDAD 求证 平面 AD PQB 点M在线段PC上 PMtPC 试确定t的值 使 PA平面MQB 若 PA平面MQB 平面PAD 平面 求二面角MBQC 的大小 ABCD Q M D C A P B 答案 证明 连接 BD 因为四边形为菱形 所以 为正三角形 又为中ABCD 60 BADABDQAD 点 所以 因为 为的中点 所以 又ADBQ PDPA QADADPQ 所以平面 QPQBQ AD PQB 解 当时 平面 3 1 tPAMQB 下面证明 连接交于 连接 ACBQNMN 因为 所以 AQBC 1 2 ANAQ NCBC 因为 平面 平面 平面平面 PAMQBPA PACMQB PACMN 所以 所以 所以 即 9 分MNPA 1 2 PMAN MCNC PCPM 3 1 3 1 t P Q M D C A B N 用心 爱心 专心 5 P Q M D C A B N x y z 解 因为 ADPQ 又平面平面 交线为 PAD ABCDAD 所以平面 PQABCD 以为坐标原点 分别以所在的直QQPQBQA 线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系 x y zxyzQ 由 2 则有 PAPDAD 0 0 1 A 0 3 0 B 设平面的法向量为 由 3 0 0 PMQBn zyx 3 0 1 PA 0 3 0 QB 且 可得令得 PA nQB n 0 3 03 y zx 1 z03 yx 所以 为平面的一个法向量 取平面的法向量 n 1 0 3 MQBABCDm 1 0 0 则 故二面角的大小为 60 cos m n m n m n2 1 12 1 CBQM 广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟 1 18 本小题满分 14 分 如图 1 AA 1 BB 为圆柱 1 OO 的母线 BC是 底面圆O的直径 D E分别是 1 AA 1 CB 的中 点 1 DECBB 面 1 证明 DEABC面 2 求四棱锥 11A ABBC 与圆柱 1 OO 的体积比 3 若 BCBB 1 求 1 CA 与面 CBB1 所成角的正弦值 用心 爱心 专心 6 1 A O 1 O A B C D E 1 B 答案 解 1 证明 连结 EOOA 分别为的中点 OE BCCB 1 2 分 1 BBEO 又 且 1 BBDA 1 2 1 BBEODA 四边形是平行四边形 AOED 即 3 分ABCDEOADE面 4 分ABCDE柱 2 由题 且由 1 知 1 CBBDE柱 OADE 1 CBBAO柱 BCAO 6 分ABAC 因是底面圆的直径 得 且 BCOABCA CAAA 1 即为四棱锥的高 7 分BBAACA 11 柱 CA 设圆柱高为 底半径为 则 hrhrV 2 柱 2 3 2 2 2 3 1 hrrrhV 锥 9 分 柱 V 柱 V 3 2 3 解一 由 1 2 可知 可分别以为坐标轴建立空间直角标系 如图 1 AAACAB 设 则 2 1 BCBB 2 0 0 1 A 0 2 0 C 从而 0 2 2 2 2 O 0 2 2 2 2 AO 由题 是面 2 2 0 1 CAAO 1 CBB 的法向量 设所求的角为 12 分 1 A O 1 O A B C D E 1 B x y z 用心 爱心 专心 7 则 1 1 1 6 sin cos 6 AO CA AO CA AOCA 14 分 解二 作过的母线 连结 则C 1 CC 11C B 是上底面圆的直径 连结 得 11C B 1 O 11O A 又 11O AAO 11C CBBAO柱 连结 1111 CCBBOA柱 1 CO 则为与面所成的角 11CO A 1 CACBB1 设 则2 1 BCBB 12 分6 2 2 22 1 CA1 11 OA 在中 COARt 11 14 分 6 6 sin 1 11 11 CA OA COA 广东省深圳市 2012 届高三第二次调研理 18 本小题满分 14 分 如图 5 已知正方形ABCD在水平面上的正投影 投影线垂直于投影面 是四边形 DCBA 其中A与 A重合 且 CCDDBB 1 证明 AD平面CCBB 并指出四边形 DCAB的形状 2 如果四边形 DCAB中 2 AD 5 AB 正方形ABCD的边长为6 求平面ABCD与平面 DCAB所成的锐二面角 的余弦值 答案 证明证明 1 依题意 BB平面 DCAB CC平面 DCAB DD平面 DCAB 所以 DDCCBB 2 分 法 1 在 CC上取点E 使得 DDCE 连结BE ED 如图 5 1 因为 DDCE 且 DDCE 所以ECDD 是平行四边形 DCED 且DCED 又ABCD是正方形 ABDC 且ABDC 所以ABED 且ABED 故 ABED是平行四边形 4 分 从而BEAD 又 BE平面CCBB AD平面CCBB 15 图 C D AA B C D B E 1 C O 1 O A B C D E 1 B 1 A 用心 爱心 专心 8 所以 AD平面CCBB 6 分 四边形 DCAB是平行四边形 注 只需指出四边形 DCAB的形状 不必证明 7 分 法 2 因为 CCDD CC平面CCBB DD平面CCBB 所以 DD平面CCBB 因为ABCD是正方形 所以BCAD 又 BC平面CCBB AD平面CCBB 所以 AD平面CCBB 4 分 而 DD平面 ADD AD平面 ADD DADDD 所以平面 ADD平面CCBB 又 AD平面 ADD 所以 AD平面CCBB 6 分 四边形 DCAB是平行四边形 注 只需指出四边形 DCAB的形状 不必证明 7 分 解解 2 依题意 在 Rt ABB中 1 5 6 2222 ABABBB 在 Rt ADD中 2 2 6 2222 ADADDD 所以3021 AADDBBCC 注 或312 BBDDECCECC 8 分 连结AC AC 如图 5 2 在 Rt ACC中 33 32 2222 CCACAC 所以 222 ABCBAC 故 CBAC 10 分 法 1 延长CB BC相交于点F 则 3 1 CC BB FC FB 而2 CB 所以2 2 3 FC 连结AF 则AF是平面ABCD与平面 DCAB 的交线 在平面 DCAB内作AFGC 垂足为G 连结CG 因为 CC平面 DCAB AF平面 DCAB 所以AFCC 从而 AF平面GCC AFCG 所以 CGC 是平面ABCD与平面 DCAB所成的一个锐二面角 12 分 25 图 C D AA B C D B F G 用心 爱心 专心 9 在 Rt FAC 中 5 53 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 AF FCAC GC 在 Rt GCC 中 5 303 5 53 3 2 222 GCCCCG 所以 6 6 coscos CG GC CGC 即平面ABCD与平面 DCAB所成的锐二面角 的余弦值为 6 6 14 分 法 2 以 C为原点 AC 为x轴 BC为y轴 CC 为z轴 建立空间直角坐标系 如图 5 3 则平面 DCAB的一个法向量 1 0 0 n 设平面ABCD的一个法向量为 zyx m 因为 0 0 3 A 1 2 0 B 3 0 0 C 所以 1 2 3 AB 2 2 0 BC 而AB m BC m 所以0 ABm且0 BCm 即 022 023 zy zyx 取1 z 则2 y 3 x 所以平面ABCD的一个法向量为 1 2 3 m 注 法向量不唯一 可以是与 1 2 3 m共线的任一非零向量 12 分 6 6 1001 2 3 110203 cos cos 222222 nm nm nm 所以平面ABCD与平面 DCAB所成的锐二面角 的余弦值为 6 6 14 分 法 3 由题意 正方形ABCD在水平面上的正投影是四边形 DCBA 所以平面ABCD与平面 DCAB所成的锐二面角 的余弦值 ABCD DCAB S S 12 分 而6 6 2 ABCD S 632 ACCBS DCAB 所以 6 6 cos 35 图 C D AA B C D B y x z 用心 爱心 专心 10 所以平面ABCD与平面 DCAB所成的锐二面角 的余弦值为 6 6 14 分 广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末理 18 本小题满分 本小题满分1414分 分 正三棱柱 的底面边长为 4 侧棱长为 4 为 A1的中点 ABC 111 CBAD 1 AA 1 求与所成角的余弦值 ABCD 2 求二面角的大小的正切值 ACDB 3 求三棱锥的体积 BCDC 1 答案 作 CE AB AE BC CE 与 AE 交于 E 则 DCE 是 AB 与 CD 所成角 AA1 平面 ABC ACD 和 AED 都是直角三角形 由勾股 定理可求得 CD ED 20 由余弦定理可求得 cos ECD 4 分 5 5 2 面 ACC1A1 面 ABC 交线为 AC 作 BF AC 于 F 则 BF 面 ACC1A1 作 FO CD 于 O 连 BO 由三垂线定理知 BO CD 则 BOF 是二面角 B CD A 的平面角 由 COF CAD 可求得 OF 5 2 正三角形 ABC 中 BF 在 BFO 中 可求得 tan BOF 8 分 3215 3 可证 B1C1 平面 BCD 取 B1C1中点 M1 则 C1 M1与平面 BCD 距离相等 取 BC 中点 M 连 AM M1M M1 A1 可证面 AMM1A1 面 BCD 作 M1H MD 于 H 则 M1H 面 BCD 可求得 DMA M1MD M1H 4sin M1MD 2 VC1 BCD S BCDM1H 12 分 0 30 0 603 3 1 3 316 广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考试理 18 本题满分 13 分 如图 在四棱锥中 底面为直角梯形 底面PABCD 90 ADBCBADPA D A P B C M N C1 B1 A1 C B A D E F O M M1 H 用心 爱心 专心 11 分别为的中点 ABCD2PAADABBC M N PC PB 求证 PBDM 求与平面所成的角的正弦值 CDADMN 答案 解 解法 1 是的中点 NPBPAAB ANPB 平面 所以 PA ABCDADPA 又 平面 ADAB PAABA AD PABADPB 又 平面 ADANA PB ADMN 平面 6 分DM ADMNPBDM 解法 2 如图 以为坐标原点建立空间直角坐标系 设 AAxyz 1BC 可得 0 0 0A 0 0 2P 2 0 0B 2 1 0C 1 1 1 2 M 0 2 0D 因为 所以 6 分 3 2 0 21 10 2 PB DM PBDM 解法 1 取中点 连接和 则 又平面 ADQBQNQ BQDCPB ADMN 与平面所成的角为 CDADMNBQN D A P B C M N Q y A P B C D M N x z 用心 爱心 专心 12 设 在中 则 故 1BC Rt BQN 2BN 5BQ 10 sin 5 BQN 所以与平面所成的角的正弦值为 13 分CDADMN 10 5 解法 2 因为 2 0 20 2 00PB AD 所以 又 所以平面 PBAD PBDM PB ADMN 因此的余角即是与平面所成的角 PB DC CDADMN 因为 10 cos 5 PB DC PB DC PBDC 所以与平面所成的角的正弦值为 13 分CDADMN 10 5 广东省韶关市 2012 届高三模拟理 18 本小题满分 14 分 如图 5 1 中矩形中 已知 分别为和的中点 ABCD2AB 2 2AD MNADBC 对角线与交于点 沿把矩形折起 使平面与平面BDMNOMNABNMABNM 所成角为 如图 5 2 MNCD60 1 求证 BODO 2 求与平面所成角的正弦值 AOBOD 答案 用心 爱心 专心 13 A B D C M N O P Q 解 1 由题设 M N 是矩形的边 AD 和 BC 的中点 所以 AMMN BCMN 折叠垂直关系 不变 所以 AMD 是平面与平面的平面角 依题意 所以 AMD 60o ABNMMNCD 分 由 AM DM 可知 MAD 是正三角形 所以 AD 在矩形 ABCD 中 AB 2 AD 所以 BD 2 2 2 由题可知 BO OD 由勾股定理可知三角形 BOD 是直角三角形 所以 BO DO 63 5 分 解 设 E F 是 BD CD 的中点 则 EFCD OFCD 所以 CD面 OEF OECD 又 BO OD 所以BD 面 ABCD 面 平面 BOD 平面 ABCDOE OE OE BOD 过 A 作 AH BD 由面面垂直的性质定理 可得 AH 平面 BOD 连结 OH 8 分 所以 OH 是 AO 在平面 BOD 的投影 所以 AOH 为所求的角 即 AO 与平面 BOD 所成角 11 分 AH 是 RT ABD 斜边上的高 所以 AH BO OD 2 3 3 3 所以 sin AOH 14 分 2 3 方法二 空间向量 取 MD NC 中点 P Q 如图建系 Q 0 0 0 B 0 0 D 0 2 O 0 1 6 2 2 2 2 2 所以 1 0 BO 6 2 2 2 DO 2 1 所以0 即 BO DO 5 分 BO DO 2 设平面 BOD 的法向量是 可得 0 nx y z 6 2 x 2 2 y z 0 令可得所以2y z