广东省2013届高三数学一轮单元测评训练 第十单元 理

1 单元能力检测单元能力检测 十十 考查范围 第十单元 计数原理 概率 随机变量及其分布 时间 120 分钟 分值 150 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 袋中有大小相同的 10 个球 分别标有 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十个号码 在有放回 抽取的条件下依次取出两个球 设两个球号码之和为随机变量X 则X所有可能值的个数 是 A 10 B 17 C 18 D 19 2 将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中 则不同放法种数有 A 81 B 64 C 12 D 14 3 在 x y 10的展开式中 系数最小的项是 A 第 4 项 B 第 5 项 C 第 6 项 D 第 7 项 4 生产某种产品出现次品的概率为 2 生产这种产品 4 件 至多一件次品的概率为 A 1 98 4 B 98 4 98 3 2 C 98 4 D 98 4 C 98 3 2 1 4 5 如图 D10 1 所示 墙上挂有边长为a的正方形木板 它的四个角的空白部分都是 以正方形的顶点为圆心 半径为 的圆弧 某人向此板投镖 假设每次都能击中木板 且击 a 2 中木板上每个点的可能性都一样 则它击中阴影部分的概率是 图 D10 1 A 1 B 8 4 C 1 D 与a的值有关联 ks5u 4 6 在区间 0 上随机取一个数x 则事件 sinx cosx 1 发生的概率为 3 A B 1 4 1 3 C D 1 2 2 3 7 直线x m y x将圆面x2 y2 4 分成若干块 现用 5 种颜色给这若干块涂色 每块只涂一种颜色 且任意两块不同色 共有 120 种涂法 则m的取值范围是 A 22 B 2 2 C 2 2 22 D 2 2 2 8 设a为函数y sinx cosx x R R 的最大值 则二项式 6的展开式中含 3 a x 1 x x2项的系数是 A 192 B 182 C 192 D 182 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在答题卡相应位置 9 学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺序 除第 1 个节目和最后 1 个节目 已确定外 4 个音乐节目要安排在 2 5 7 10 的位置上 3 个舞蹈节目要安排在 3 6 9 的位 置 2 个曲艺节目要安排在 4 8 的位置 则不同安排的种数是 10 若随机变量X N 10 2 若X在 5 10 上的概率等于a a 0 0 5 则X在 15 的概率等于 11 甲 乙两人从 1 2 3 15 中依次任取一个数 不放回 已知甲取到的数字是 5 的倍数 则甲取的数大于乙取的数的概率是 12 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中 随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 13 甲 乙两人一起去游 2011 西安世园会 他们约定 各自独立地从 1 到 6 号景 点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 14 正三角形ABC的内切圆为圆O 则 ABC内的一点落在圆O外部的概率为 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 12 分 某课程考核分理论与实验两部分进行 每部分考核成绩只记 合格 与 不合格 两部分考核都是 合格 则该课程考核 合格 甲 乙 丙三人在理论考核 中合格的概率分别为 0 9 0 8 0 7 在实验考核中合格的概率分别为 0 8 0 7 0 9 所有考 核是否合格相互之间没有影响 1 求甲 乙 丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率 2 求这三人该课程考核都合格的概率 结果保留三位小数 16 13 分 某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会 共邀请 50 名一线教师参加 使用不同版本教材的教师人数如下表所示 版本人教 A 版人教 B 版苏教版北师大版 人数 2015510 1 从这 50 名教师中随机选出 2 名 求 2 人所使用版本相同的概率 2 若随机选出 2 名使用人教版的教师发言 设使用人教 A 版的教师人数为X 求随机 变量X的分布列和数学期望 ks5u 17 13 分 从甲 乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次 分别为 甲 7 7 7 8 8 1 8 6 9 3 9 5 4 乙 7 6 8 0 8 2 8 5 9 2 9 5 1 根据如图 D10 2 所示的茎叶图 对甲 乙运动员的成绩作比较 写出两个统计结 论 2 从甲 乙运动员六次成绩中各随机抽取 1 次成绩 求甲 乙运动员的成绩至少有一 个高于 8 5 分的概率 3 经过对甲 乙运动员若干次成绩进行统计 发现甲运动员成绩均匀分布在 7 5 9 5 之 间 乙运动员成绩均匀分布在 7 0 10 之间 现甲 乙比赛一次 求甲 乙成绩之差的绝 对值小于 0 5 分的概率 甲乙 8776 618025 53925 图 D10 2 18 14 分 为征求个人所得税修改建议 某机构对当地居民的月收入调查了 10000 人 并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图 D10 3 1 求居民月收入在 3000 4000 的频率 2 为了分析居民的收入与年龄 职业等方面的关系 必须按月收入再从这 10000 人中 用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析 则月收入在 2500 3000 的这段应抽多少人 3 若将频率视为概率 对该地居民随机抽三人进行预测 记这三人月收入不低于 3000 元的人数为X 求X的分布列及数学期望E X 图 D10 3 5 19 14 分 一个盒子中装有 5 张卡片 每张卡片上写有一个数字 数字分别是 1 2 3 4 5 现从盒子中随机抽取卡片 1 从盒中依次抽取两次卡片 每次抽取一张 取出的卡片不放回 求两次取到的卡片 的数字既不全是奇数 也不全是偶数的概率 2 若从盒子中有放回地抽取 3 次卡片 每次抽取一张 求恰有两次取到卡片的数字为 偶数的概率 3 从盒子中依次抽取卡片 每次抽取一张 取出的卡片不放回 当抽到记有奇数的卡 片即停止抽取 否则继续抽取卡片 求抽取次数X的分布列和期望 20 14 分 某种项目的射击比赛 开始时在距目标 100 米处射击 如果命中记 3 分 且停止射击 若第一次射击未命中 可以进行第二次射击 但目标已在 150 米处 这时命 中记 2 分 且停止射击 若第二次仍未命中还可以进行第三次射击 但此时目标已在 200 米处 若第三次命中则记 1 分 并停止射击 若三次都未命中 则记 0 分 已知射手在 100 米处击中目标的概率为 他的命中率与目标距离的平方成反比 且各次射击都是独立 1 2 的 1 求这名射手在三次射击中命中目标的概率 2 求这名射手比赛中得分的数学期望 6 单元能力检测 十 1 D 解析 每次抽取一个球后 又放回 故两球的数字之和的最小值为 0 最大值 为 18 且能取得之间的每一个整数值 所以选 D 2 B 解析 4 4 4 64 3 C 解析 展开式共有 11 项 中间一项的二项式系数最大 该项的系数为负 故 第 6 项的系数最小 4 D 解析 至多一件次品 可以分拆为 全是正品 和 恰有一件次品 两个互 斥的基本事件 故所求的概率P 98 4 C 98 3 2 1 4 5 C 解析 阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个半径为 的圆的面积 故所 a 2 求的概率是 1 a2 a 2 2 a2 4 6 C 解析 sinx cosx 2sin 1 可得 sin 解得 3 x 3 x 3 1 2 x 故事件 sinx cosx 1 的概率是 ks5u 23 2 0 1 2 7 A 解析 只有当m 时 直线x m y x才可能把圆面分成四块区 22 域 根据涂法 其种数为 A 120 4 5 8 C 解析 因为 sinx cosx 2sin 由题设知a 2 则二项展开式的通 3 x 3 项公式为Tr 1 C a 6 r r 1 r C a6 r x3 r 令 3 r 2 得r 1 含 r6x 1 x r6 x2项的系数是 C 25 192 1 6 9 288 解析 可以分三步完成 第一步 安排 4 个音乐节目 共有 A 种排法 第 4 4 二步 安排舞蹈节目 共有 A 种排法 第三步 安排曲艺节目 共有 A 种排法 所以不 3 32 2 同排法有 A A A 288 种 4 4 3 3 2 2 10 a 解析 P 10 X 15 a 故P X 5 1 2a a 所以X在 1 2 1 2 1 2 15 的概率等于 a a a a 1 2 1 2 11 解析 记A 甲数是 5 的倍数 B 甲数大于乙数 P B A 9 14 P AB P A 4 9 14 15 14 3 14 15 14 9 14 12 解析 从盒中随机取出 2 个球 有 C 种取法 所取出的 2 个球颜色不同 有 3 52 5 C C 种取法 则所取出的 2 个球颜色不同的概率是P 1 3 1 2 C1 3C1 2 C2 5 6 10 3 5 13 解析 对本题我们只看甲 乙二人游览的最后一个景点 最后一个景点的选法 1 6 有 C C 36 种 若两个人最后选同一个景点选法共有 C 6 种 所以最后一小时他 1 61 61 6 们在同一个景点游览的概率为P C1 6 C1 6 C1 6 1 6 7 14 解析 设正三角形ABC的边长为a 则其内切圆的半径是 tan30 9 3 9 a 2 内切圆面积是 2 正三角形ABC的面积是a2 3a 6 3a 6 a2 12 3 4 故所求的概率是 1 1 a2 12 3 4 a2 3 9 15 解答 记 甲理论考核合格 为事件A1 乙理论考核合格 为事件A2 丙 理论考核合格 为事件A3 记为Ai的对立事件 i 1 2 3 记 甲实验考核合格 为事 Ai 件B1 乙实验考核合格 为事件B2 丙实验考核合格 为事件B3 1 记 理论考核中至少有两人合格 为事件C P C P A1A2 A1A3 A2A3 A1A2A3 A3A2A1 P A1A2 P A1A3 P A2A3 P A1A2A3 A3A2A1 0 9 0 8 0 3 0 9 0 2 0 7 0 1 0 8 0 7 0 9 0 8 0 7 0 902 2 记 三人该课程考核都合格 为事件D 则 P D P A1 B1 A2 B2 A3 B3 P A1 B1 P A2 B2 P A3 B3 P A1 P B1 P A2 P B2 P A3 P B3 0 9 0 8 0 7 0 8 0 7 0 9 0 254016 0 254 所以 这三人该课程考核都合格的概率为 0 254 16 解答 1 从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C 1225 2 50 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C C C C 350 2 202 152 52 10 故 2 人使用版本相同的概率为 P 350 1225 2 7 2 P X 0 C 2 15 C 2 35 3 17 P X 1 C 1 20C 1 15 C 2 35 60 119 P X 2 C 2 20 C 2 35 38 119 X的分布列为 X012 P 3 17 60 119 38 119 EX 0 1 2 3 17 60 119 38 119 136 119 8 7 17 解答 1 由样本数据得 甲 8 5 乙 8 5 可知甲 乙运动员平均水平相同 xx 由样本数据得 s 0 49 s 0 44 乙运动员比甲运动员发挥更稳定 2 甲2 乙 2 设甲 乙成绩至少有一个高于 8 5 分为件A 则 P A 1 3 4 6 6 2 3 8 3 设甲运动员成绩为x 则x 7 5 9 5 乙运动员成绩为y y 7 10 Error 把x y同时减去 7 不改变问题所求的概率 区域如图 设甲 乙运动员成绩之差的绝对值小于 0 5 的事件为B 则利用几何概型得P B 1 2 2 3 1 3 18 解答 1 月收入在 3000 4000 的频率为 0 0003 3500 3000 0 0001 4000 3500 0 2 2 居民月收入在 2500 3000 的频率为 0 0005 3000 2500 0 25 所以 10000 人 中月收入在 2500 3000 的人数为 0 25 10000 2500 人 再从 10000 人中用分层抽样方 法抽出 100 人 则月收入在 2500 3000 的这段应抽取 100 25 人 2500 10000 3 记 在一次抽取中月收入不低于 3000 元 为事件A 则P A 0 2 随机变量X的可能取值为 0 1 2 3 P X k C 0 2 k 1 0 2 3 k k 0 1 2 3 k3 X的分布列为 X0123 P0 5120 3840 0960 008 E X 0 0 512 1 0 384 2 0 096 3 0 008 0 6 19 解答 1 因为 1 3 5 是奇数 2 4 是偶数 设事件A为 两次取到的卡片的数字既不全是奇数 也不全是偶数 P A C1 3C1 2 C1 2C1 3 C1 5 C1 4 3 5 2 设B表示事件 有放回地抽取 3 次卡片 每次抽取一张 恰有两次取到的卡片上数 字为偶数 由已知 每次取到的卡片上数字为