江苏省南京市2010届高三数学考前训练20题新人教版

南京市南京市 20102010 届高三数学考前训练届高三数学考前训练 2020 题题 1 定义 在数列 an 中 若an2 an 12 p n 2 n N N p为常数 则称 an 为 等方 差数列 下列是对 等方差数列 的有关判断 若 an 是 等方差数列 则数列 an2 是等差数列 1 n 是 等方差数列 若 an 是 等方差数列 则数列 akn k N N k为常数 也是 等方差数列 若 an 既是 等方差数列 又是等差数列 则该数列是常数数列 其中判断正确的序号是 2 已知向量a a sin 2 与b b 1 cos 互相垂直 其中 0 2 1 求sin 和cos 的值 2 若 sin 0 求 的值 2 3 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c B cosA b 3 4 53 1 求 sinC的值 2 求 ABC的面积 4 在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 已知c 2 C 3 1 若 ABC的面积等于 求a b的值 3 2 若 sinC sin B A 2sin2A 求角A的大小 5 在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 且A B C成等差数列 1 若 b 求a c的值 AB BC 3 23 2 求 2sinA sinC的取值范围 6 如图 1 所示 在边长为 12 的正方形AA A1 A1中 点B C在线段AA 上 且 AB 3 BC 4 作BB1 AA1 分别交A1A1 AA1 于点B1 P 作CC1 AA1 分别交 A1A1 AA1 于点C1 Q 将该正方形沿BB1 CC1折叠 使得A A1 与AA1重合 构成如图 2 所示的三棱柱ABC A1B1C1 1 在三棱柱ABC A1B1C1中 求证 AB 平面BCC1B1 2 求平面APQ将三棱柱ABC A1B1C1分成上 下两部分几何体的体积之比 图 1 ABCA A1B1C1A1 P Q 图 2 A B C A1 B1 C1 P Q 7 如图 在四棱锥P ABCD中 CD AB AD AB AD DC AB BC PC 1 2 1 求证 PA BC 2 试在线段PB上找一点M 使CM 平面PAD 并说明理由 8 如图所示 两个全等的正方体ABCD A1B1C1D1 CRST C1R1S1T1有一条公共的棱CC1 且平 面BCC1B1与平面CTT1C1在同一平面内 平面CDD1C1与平面CRR1C1在同一平面内 P Q 分别是棱B1C1 CC1的中点 1 求证 PQ 平面CRS1T1 2 求证 B1D 平面BTS1R1 9 如图 底面为菱形的直四棱 柱ABCD A1B1C1D1中 E F分别为A1B1 B1C1的中点 G为DF的中点 1 求证 EF 平面B1BDD1 2 过A1 E G三点平面交DD1于H 求证 EG A1 H 10 在平面直角坐标系xOy中 点P是坐标为 0 1 直线l1的方程为y 1 1 若动圆C过点P且与直线l1相切 求动圆圆心C的轨迹方程 2 设A 0 a a 2 为y轴上的动点 B是 1 中所求轨迹上距离A点最近的点 求 P A B C D T A B CD A1 B1 C1 D1 R1 S1 T1 S R P Q C A B A1B1 C1 D1 E G F D H 证 以AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为定值 并求此定值 11 已知椭圆 1 a b 0 的上顶点为A 0 3 左 右焦点分别为B C 离心率 x2 a2 y2 b2 为 1 2 1 试求椭圆的标准方程 2 若直线PC的倾斜角为 直线PB的倾斜角为 当 时 2 3 求证 点P一定在经过A B C三点的圆M上 PA PB PC 12 已知曲线E ax2 by2 1 a 0 b 0 经过点M 0 的直线l与曲线E交于 点A B 且 2 MB MA 1 若点B的坐标为 0 2 求曲线E的方程 2 若a b 1 求直线AB的方程 13 要设计一容积为V的下端为圆柱形 上端为半球形的密闭储油罐 已知圆柱侧面的单位 面积造价是下底面的单位面积造价的一半 而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面 的单位面积的造价的一半 问储油罐的下部圆柱的底面半径R为何值时造价最低 14 某公司为了加大产品的宣传力度 准备立一块广告牌 在其背面制作一个形如 ABC的 支架 要求 ACB 60 BC的长度大于 1 米 且AC比AB长 0 5 米 为节省材料 要 求AC的长度越短越好 求AC的最短长度 且当AC最短时 BC的长度为多少米 15 直角走廊的示意图如图所示 其两边走廊的宽度均为 2m 1 过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A B两点 且与走廊的一边的夹角为 0 试用 表示线段AB的长度l 2 2 一根长度为 5m 的铁棒能否水平 铁棒与地面平行 通过该直角走廊 并请说明理由 铁棒的粗细忽略不计 B C A 2m A B P C 2m 16 已知各项均为实数的数列 an 是公差为d的等差数列 它的前n项和为Sn 且满足 S4 2S2 8 1 求公差d的值 2 若数列 an 的首项的平方与其余各项之和不超过 10 则这样的数列至多有多少项 3 请直接写出满足 2 的项数最多时的一个数列 不需要给出演算步骤 17 1 已知函数f x 数列 an 满足 an 0 a1 1 且 f 记数 x x 1an 1an 列 bn 的前n项和为Sn 且Sn 1 n 求数列 bn 的通项公式 并判断 1 an2 b4 b6是否仍为数列 bn 中的项 若是 请证明 否则 说明理由 2 设数列 cn 是首项为c1 公差d 0 的等差数列 求证 数列 cn 中任意不同两 项之和仍为数列 cn 中的项 的充要条件是 存在整数m 1 使c1 md 18 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 2n n N N bn 3an 1 试证数列 an 2n 是等比数列 并求数列 bn 的通项公式 1 3 2 在数列 bn 中 是否存在连续三项成等差数列 若存在 求出所有符合条件的项 若不 存在 说明理由 3 试证在数列 bn 中 一定存在满足条件 1 r s的正整数r s 使得b1 br bs成 等差数列 并求出正整数r s之间的关系 在数列 bn 中 是否存在满足条件 1 r s t的正整数r s t 使得b1 br bs bt成 等差数列 若存在 确定正整数r s t之间的关系 若不存在 说明理由 19 已知函数f x x x 2 1 判断函数f x 在区间 0 上的单调性 并加以证明 2 如果关于x的方程f x kx2有四个不同的实数解 求实数k的取值范围 20 对于定义在区间 D 上的函数f x 若存在闭区间 a b D 和常数c 使得对任意 x1 a b 都有f x1 c 且对任意x2 D 当x2 a b 时 f x2 c恒成立 则 称函数f x 为区间 D 上的 平底型 函数 1 判断函数f1 x x 1 x 2 和f2 x x x 2 是否为 R R 上的 平底型 函数 并说明理由 2 若函数g x mx 是区间 2 上的 平底型 函数 求m和n的 x2 2x n 值 21 设定义在 R R 上的奇函数f x ax3 bx2 cx d a b c d R R 当x 1 时 f x 取 得极大值 2 3 1 求函数y f x 的表达式 2 判断函数y f x 的图象上是否存在两点 使得以这两点为切点的切线互相垂直 且切 点的横坐标在区间 上 并说明理由 22 3 设xn 1 2 n ym 3 m 1 m n N N 求证 f xn f ym 2 4 3 南京市 2010 届高三考前训练 20 题 参考答案 1 2 1 因为a a与b b互相垂直 所以a a b b 0 所以 sin 2cos 0 即 sin 2cos 因为 sin2 cos2 1 所以 2cos 2 cos2 1 解得 cos2 则 1 5 sin2 4 5 因为 0 所以 sin 0 cos 0 所以 sin cos 2 2 因为 0 0 所以 2 2 2 2 所以 cos 1 sin2 所以 cos cos cos cos sin sin 所以 4 3 1 因为A B C为 ABC的内角 B cosA 3 4 5 所以C A sinA 所以 sinC sin A cosA sinA 2 3 3 5 2 3 1 2 2 由 1 知 sinA sinC 3 5 因为B b 所以在 ABC中 a 33 bsinA sinB 6 5 所以 ABC的面积S absinC 1 2 1 2 6 53 4 1 由余弦定理及条件 得a2 b2 ab 4 absinC 即ab 4 1 23 联立方程组解得a 2 b 2 a2 b2 ab 4 ab 4 2 由题意 得 sin 2A 2sin2A 即 sin 2A 2 3 6 1 2 因为A 0 所以 2A 所以 2A 或 2A 2 3 6 6 7 6 6 6 6 5 6 则A 或A 6 2 5 1 因为A B C成等差数列 所以B 3 因为 所以accos B 所以ac 即ac 3 AB BC 3 2 3 2 1 2 3 2 因为b b2 a2 c2 2accosB 所以a2 c2 ac 3 即 a c 2 3ac 3 3 所以 a c 2 12 所以a c 2 3 2 2sinA sinC 2sin C sinC 2 cosC sinC sinC cosC 2 3 1 23 因为 0 C 所以cosC 2 333 所以 2sinA sinC的取值范围是 3 6 1 证明 在正方形AA A1 A1中 因为A C AA AB BC 5 所以三棱柱ABC A1B1C1的底面三角形ABC的边AC 5 因为AB 3 BC 4 所以AB2 BC2 AC2 所以AB BC 因为四边形AA A1 A1为正方形 BB1 AA1 所以AB BB1 而BC BB1 B BC 平面BCC1B1 BB1 平面BCC1B1 所以AB 平面BCC1B1 2 解 因为AB 平面BCC1B1 所以AB为四棱锥A BCQP的高 因为四边形BCQP为直角梯形 且BP AB 3 CQ AB BC 7 所以梯形BCQP的面积为SBCQP BP CQ BC 20 1 2 所以四棱锥A BCQP的体积VA BCQP SBCQP AB 20 1 3 由 1 知BB1 AB BB1 BC 且AB BC B AB 平面ABC BC 平面ABC 所以BB1 平面ABC 所以三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱 所以三棱柱ABC A1B1C1的体积为VABC A BC S ABC BB1 72 故平面APQ将三棱柱ABC A1B1C1分成上 下两部分的体积之比为 72 20 20 13 5 7 1 证法一 连结AC 在四边形ABCD中 AD AB CD AB 所以AD CD 设AD a 因为AD DC AB 所以CD a AB 2a 1 2 在 ADC中 ADC 90 AD DC 所以 DCA DAC 45 AC a 2 在 ACB中 AB 2a AC a CAB 45 2 所以BC a 所以AC2 BC2 AB2 所以AC BC AC2 AB2 2AB AC cos CAB 2 又因为BC PC AC 平面PAC PC 平面PAC AC PC C 所以BC 平面PAC 因为PA 平面PAC 所以PA BC 证法二 连结AC 过C作CE AB 垂足为E 在四边形ABCD中 AD AB CD AB AD DC 所以四边形ADCE为正方形 所以 ACD ACE 45 因为AE CD AB 所以BE AE CE 所以 BCE 45 1 2 所以 ACB ACE BCE 45 45 90 所以AC BC 又因为BC PC AC 平面PAC PC 平面PAC AC PC C 所以BC 平面PAC 因为PA 平面PAC 所以PA BC 2 当M为PB中点时 CM 平面PAD 证法一 取AP中点F 连结CM FM DF 则FM AB FM AB 1 2 P A B C D M F E 因为CD AB CD AB 所以FM CD FM CD 1 2 所以四边形CDFM为平行四边形 所以CM DF 因为DF 平面DAP CM平面PAD 所以CM 平面PAD 证法二 在四边形ABCD中 设BC的延长线与AD的延长线交于点Q 连结PQ CM 因为CD AB 所以 QCD QBA 因为 CQD BQA 所以 CQD BQA 所以 所以C为BQ的中点 QC QB CD AB 1 2 因为M为BP的中点 所以CM PQ 因为PQ 平面PAD CM平面PAD 所以CM 平面 PAD 证法三 取AB中点E 连结EM CE CM 在四边形ABCD中 CD AB CD AB E为AB的中点 1 2 所以AE DC 且AE DC 所以四边形AECD为平行四边形 所以CE DA 因为DA 平面PAD CE平面PAD 所以CE 平面PAD 同理 根据E M分别为BA BP的中点 得EM 平面PAD 因为CE 平面CEM ME 平面CEM CE EM E 所以平面CEM 平面PAD 因为CM 平面CEM 所以CM 平面PAD 8 1 连接B1C 因为P Q分别是棱B1C1 CC1的中点 所以PQ B1C 因为平面BCC1B1与平面CTT1C1在同一平面内 所以CR 平面BCC1B1 又因为B1C 平面BCC1B1 所以CR B1C 因为PQ B1C 所以PQ CR 在正方体ABCD A1B1C1D1 CRST C1R1S1T1中 B1CC1 C1CT1 45 所以 B1CT1 90 即CT1 B1C 因为PQ B1C 所以PQ CT1 又因为CR CT1 C CR 平面CRS1T1 CT1 平面CRS1T1 所以PQ 平面CRS1T1 2 连接B1R1 DT D1T1 因为 DD1TT1 所以DD1T1T为平行四边形 则 DTD1T1 由题意知C1为D1R1 B1T1的中点 所以B1R1D1T1 则DT B1R1 所以DTR1B1为平行四边形 则B1D TR1 又因为B1D平面BTS1R1 TR1 平面BTS1R1 所以B1D 平面BTS1R1 说明 关注几个图形的组合体中各种线面关系的研究 9 1 因为E F分别为A1B1 B1C1的中点 所以EF A1C1 因为底面A1B1C1D1为菱形 所以A1C1 B1D1 所以EF B1D1 因为直四棱柱ABCD A1B1C1D1 所以DD1 平面A1B1C1D1 P A B C D M Q T A B CD A1 B1 C1 D1 R1 S1 T1 S R P Q 又因为EF 平面A1B1C1D1 所以DD1 EF 又B1D1 DD1 D1 B1D1 平面B1BDD1 DD1 平面B1BDD1 所以EF 平面B1BDD1 2 延长FE交D1A1的延长线于点H 连接DH 因为E F分别为A1B1 B1C1的中点 所以 EFB1 EHA1 所以HE EF 在 FDH中 因为G F分别为DF HF的中点 所以GE DH 又GE平面AA1D1D DH 平面AA1D1D 故EG 平面AA1D1D 因为过A1 E G三点平面交DD1 于M 所以面A1MGE 面AA1D1D A1M EG 面A1MGE 所以EG A1M 10 1 由抛物线的定义得 圆心C的轨迹是以 0 1 为焦点 y 1 为准线的抛物线 所以动圆圆心C的轨迹方程x2 4y 2 设点B x y y 0 则x2 4y 因为A 0 a a 2 所以AB2 x2 y a 2 4y y2 2ay a2 y2 2 2 a y a2 对称轴y a 2 0 所以当y a 2 时 AB取得最小值 此时点 B 2 a 2 a 2 以AB为直径的圆M的圆心M为 a 1 半径r2 a 2 1 a 1 a 2 圆心M到y轴的距离为d a 2a 2 则圆M在y轴上截得的弦长为 2 2 r2 d2 所以以AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为定值 2 11 1 因为b 3 b2 c2 a2 c a 1 2 解得a2 12 b2 9 c2 3 所以椭圆的标准方程为 1 x2 12 y2 9 2 因为B 0 C 0 A 0 3 所以 ABC为等边三角形 33 经过A B C三点的圆M的方程为x2 y 1 2 4 即x2 y2 2y 3 设点 P x y 则kPC tan kPB tan 因为 所以 tan 因为 tan 2 33 tan tan 1 tan tan 所以 化简得x2 y2 2y 3 3 所以点P一定在经过A B C三点的圆M上 PA2 x2 y 3 2 x2 y2 6y 9 因为x2 y2 3 2y 所以PA2 12 4y PB2 x 2 y2 2y 6 2x PC2 x 2 y2 2y 6 2x 3333 2PB PC 2 4 因为 3x2 9 3y2 6y 4 y 3 2 12x2 y 3 2 3x2 所以 2PB PC 4 由于y 0 所以 2 PB PC 8y 4y2 从而 PB PC 2 PB2 2 PB PC PC2 4y 12 8y 12 4y PA2 所以PA PB PC C A B A1B1 C1 D1 E G F H D M 12 1 设A x0 y0 因为B 0 2 M 0 故 2 MB x0 y0 MA 因为 2 所以 2 2 x0 y0 MB MA 所以x0 y0 1 即A 1 因为A B都在曲线E上 所以解得a 1 b 1 4 所以曲线E的方程为x2 1 y2 4 2 法一 当a b 1 时 曲线E为圆 x2 y2 1 设A x1 y1 B x2 y2 因为 2 所以 x2 y2 2 x1 y1 即 MB MA 设线段AB的中点为T 则点T的坐标为 即 x1 x2 2 y1 y2 2 y1 2 所以 x2 x1 y2 y1 3x1 3y1 OT y1 2 AB 3 因为OT AB 所以 0 即 3 4x1 3x 3y 0 OT AB 3 2 1 2 1 因为x y 1 所以x1 y1 2 1 2 1 1 2 当点A的坐标为 时 对应的点B的坐标为 0 1 此时直线AB的斜率 1 2 k 所求直线AB的方程为y x 1 33 当点A的坐标为 时 对应的点B的坐标为 0 1 此时直线AB的斜率k 1 2 3 所求直线AB的方程为y x 1 3 法二 当a b 1 时 曲线E为圆 x2 y2 1 设A x1 y1 B x2 y2 因为 2 所以 x2 y2 2 x1 y1 即 MB MA 因为点A B在圆上 所以 由 4 得 2x1 x2 2x1 x2 3 所以 2x1 x2 解得x1 x2 0 3 由x1 得y1 以下同方法一 1 2 法三 如图 设AB中点为T 则TM TA MA AB OM 1 6 根据 Rt OTA和 Rt OTM 得 A B x y T O M 即解得AB OT 所以在 Rt OTM中 tan OMT 3 1 2 OT TM3 所以kAB 或 所以直线AB的方程为y x 1 或y x 1 3333 13 设圆柱的高为h 下底面单位面积的造价为a 则V R2h R3 所以h R 2 3 V R 2 2 3 因为h 0 所以 0 R 设总造价为y 则y R2 a 2 Rh 2 R2 a R2 Rh a R2 R2 a R2 a 2 a 4 3 2 3 2 V R 2 3 5 6 V R y a R 5 3 V R2 5 aR3 3a V 3R2 令y 0 得R 当R 0 时 y 0 y为减函数 当R 时 y 0 y为增函数 所以当R 时 y有最小值 答 当储油罐的下部圆柱的底面半径R 时 造价最低 14 设BC x米 x 1 AC y米 则AB y 在 ABC中 1 2 由余弦定理 得 y 2 y2 x2 2xycos60 所以y x 1 1 2 法一 y x 1 2 2 3 4 x 1 3 当且仅当x 1 即x 1 时 y有最小值 2 3 4 x 1 3 法二 y 由y 0 得x 1 因为当 1 x 1 时 y 0 当x 1 时 y 0 所以当x 1 时 y有最小值 2 3 答 AC的最短长度为 2 米 此时BC的长度为 1 米 3 15 1 l 0 2 sin 2 cos 2 2 法一 铁棒能水平通过该直角走廊 理由如下 l 0 sin 2 cos sin2 0 cos 2 sin cos2 2 sin3 cos3 sin2 cos2 令l 0 得 4 当 0 时 l 0 l 为减函数 当 时 l 0 l 为增函数 4 4 2 所以当 时 l 有最小值 4 42 因为 4 5 所以该铁棒能水平通过该直角走廊 2 法二 铁棒能水平通过该直角走廊 理由如下 l2 4 4 4 4 2 4 1 2sin cos sin2 cos2 4 sin cos 2 8 sin cos 2 2 因为 0 所以 2 0 所以当 2 即 时 有最小值 2 2 2 4 2 sin2 所以l2 有最小值 32 l 有最小值 4 2 因为 4 5 所以该铁棒能水平通过该直角走廊 2 16 1 d 2 2 考虑到d 2 且首项的平方与其余各项之和不超过 10 所以可用枚举法研究 当a1 0 时 02 d 2d 0 2 4 10 而 02 d 2d 3d 0 2 4 6 10 此时 数列至多 3 项 当a1 0 时 可得数列至多 3 项 当a1 0 时 a12 a1 d a1 2d a1 3d 10 即a12 3a1 2 0 此时a1有解 而a12 a1 d a1 2d a1 3d a1 4d 10 即a12 4a1 10 0 此时a1无解 所以a1 0 时 数列至多有 4 项 3 a1 1 时 数列为 1 1 3 5 或a1 2 时 数列为 2 0 2 4 17 1 因为 f 所以 1 即 1 an 1an 因为 1 所以 1 n 1 n 即an 1 n2 因为Sn 1 n n2 1 n 1 an2 当n 1时 S1 b1 1 当n 2时 bn Sn Sn 1 1 n 22 所以bn n 1 n N N 所以b4 b6 4 1 6 1 10 2 2222 令bt 10 2 t N N 则10 2 t 1 得t 10 与t N N 矛盾 222 所以b4 b6不在数列 bn 中 2 充分性 若存在整数m 1 使c1 md 设cr ct为数列 cn 中不同的两项 则cr ct c1 r 1 d c1 t 1 d c1 r m t 2 d c1 r m t 1 1 d 又r t 3且m 1 所以r m t 1 1 即cr ct是数列 cn 的第r m t 1项 必要性 若数列 cn 中任意不同两项之和仍为数列 cn 中的项 则cs c1 s 1 d ct c1 t 1 d s t为互不相同的正整数 则cs ct 2c1 s t 2 d 令cs ct cl 得 2c1 s t 2 d c1 l 1 d s t l N N 所以 c1 l s t 1 d 令整数m l s t 1 所以c1 md 下证整数m 1 若整数m 1 则 m 2 令k m 由题设取c1 ck使c1 ck cr r 1 即c1 c1 k 1 d c1 r 1 d 所以md m 1 d r 1 d 即rd 0与r 1 d 0相矛盾 所以m 1 综上数列 cn 中任意不同两项之和仍为数列 cn 中的项的充要条件是存在整数m 1 使c1 md 18 1 由an an 1 2n 得an 1 2n an 所以 1 又因为a1 所以数列 an 2n 是首项为 公比为 1 的等比数列 2 3 1 3 1 3 1 3 所以an 2n 1 n 1 即an 2n 1 n 所以bn 2n 1 n 1 3 1 3 1 3 2 假设在数列 bn 中 存在连续三项bk 1 bk bk 1 k N N k 2 成等差数列 则 bk 1 bk 1 2bk 即 2k 1 1 k 1 2k 1 1 k 1 2 2k 1 k 即 2k 1 4 1 k 1 若k为偶数 则 2k 1 0 4 1 k 1 4 0 所以 不存在偶数k 使得 bk 1 bk bk 1成等差数列 若k为奇数 则当k 3 时 2k 1 4 而 4 1 k 1 4 所以 当且仅当k 3 时 bk 1 bk bk 1成等差数列 综上所述 在数列 bn 中 有且仅有连续三项b2 b3 b4成等差数列 3 要使b1 br bs成等差数列 只需b1 bs 2br 即 3 2s 1 s 2 2r 1 r 即 2s 2r 1 1 s 2 1 r 3 若s r 1 在 式中 左端 2s 2r 1 0 右端 1 s 2 1 r 3 1 s 2 1 s 3 3 1 s 3 要使 式成立 当且仅当s为偶数时成立 又s r 1 且s r为正整数 所以当s为不小于 4 的正偶数 且s r 1 时 b1 br bs成等差数列 若s r 2 时 在 式中 左端 2s 2r 1 2r 2 2r 1 2r 1 由 2 可知 r 3 所以r 1 4 所以左端 2s 2r 1 16 当且仅当s为偶数 r为奇数 时取 右端 1 s 2 1 s 3 0 所以当s r 2 时 b1 br bs不成等差数 列 综上所述 存在不小于 4 的正偶数s 且s r 1 使得b1 br bs成等差数列 假设存在满足条件 1 r s t的正整数r s t 使得b1 br bs bt成等差数列 首先找到成等差数列的 3 项 由第 3 小题第 问 可知 b1 b2n 1 b2n n N N 且 n 2 成等差数列 其公差d b2n b2n 1 22n 1 2n 22n 1 1 2n 1 22n 1 2 所以bt b2n d 22n 1 2n 22n 1 2 3 22n 1 3 又bt 2t 1 t 所以 3 22n 1 3 2t 1 t 即 2t 3 22n 1 1 t 3 因为t 2n 2n 1 所以t 2n 1 所以 式的左端 2t 3 22n 1 22n 1 3 22n 1 22n 1 8 而 式的右端 1 t 3 2 所以 式不成立 综上所述 不存在满足条件 1 r s t的正整数r s t 使b1 br bs bt成等差数 列 19 1 方法一 因为f x 所以当x 0 时 f x x x 2 x x 2 因为当x 0 时f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 2 x 2 2 方法二 因为f x 所以当x 0 时 f x x x 2 x x 2 在 0 上任取x1 x2 使 0 x1 x2 f x1 f x2 x1 x1 2 x2 x2 2 2 x1 x2 x1 2 x2 2 因为x1 2 0 x2 2 0 x1 x2 0 所以f x1 f x2 0 所以f x1 f x2 所以f x 在 0 上单调递增 2 方法一 原方程即为 kx2 x x 2 x 0 恒为方程 的一个解 当x 0 且x 2 时方程 有解 则 kx2 k x x 2 1 x2 2x 设g x h x k g x 1 x2 2x 2x 2 x2 2x 2 所以令g x 0 得x 1 且x 2 g x 0 得 1 x 0 所以g x 在 2 和 2 1 上单调递减 在 1 0 上单调递增 而g 1 1 所以当x 2 时 g x 0 当x 2 0 时 g x 1 当x 0 时方程 有解 则 kx2 k x x 2 1 x2 2x 设g x h x k 因为g x x 0 所以g x 0 1 x2 2x 2x 2 x2 2x 2 所以g x 在 0 上单调递减 又当x 0 时 g x 0 所以当x 0 时 g x 0 所以k 1 时 函数g x 与h x 的图象有三个交点 所以当k 1 时 方程f x kx2有四个不同的实数解 方法二 原方程即为 kx2 x x 2 x 0 恒为方程 的一个解 x 0 且x 2 时方程 有解 即当x 0 时 k 有解 1