新版3年高考2年模拟 高考数学 第十五章极限

用心 爱心 专心1 第十五章 极限 第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 20092009 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 0909 重庆理重庆理 8 8 已知 2 2 lim 2 1 x x axb x 其中 a bR 则ab 的值为 A 6B 2 C 2 D 6 解析 222 2 2 2 limlimlim2 1 11 1 xxx b a xab xaxaxbxba xab xb x xx x 20 2 4 2 4 6 2 a abab ab 则解得故 答案 D 2 2 0909 湖北理湖北理 6 6 设 2 22212 01212 2 2 nnn nn xaa xa xaxa x 则 22 024213521 lim nn n aaaaaaaa A 1 B 0 C 1 D 2 2 解析 令0 x 得 2 0 21 22 n n a 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 两式相加得 22 022 22 1 1 22 2 nn n aaa 两式相减得 22 1321 22 1 1 22 2 nn n aaa 代入极限式可得 故选 B 答案 B 用心 爱心 专心2 二 填空题 3 3 0909 陕西理陕西理 1313 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 63 12aS 则 2 lim n n S n 611 22 31 125122 11 1 limlim1 12122 nn n nn aada SSnn Sn n saddnnnn 解析 答案 1 20052005 20082008 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 20072007 年江西 年江西 32 1 lim 1 x xx x 等于0 等于1 等于3 不存在 答案 B 2 2 20072007 年湖北 年湖北 已知p和q是两个不相等的正整数 且2q 则 1 11 lim 1 11 p q n n n A 0B 1C p q D 1 1 p q 答案 3 3 20062006 湖南 湖南 数列 n a 满足 1 1 3 a 且对于任意的正整数 m n 都有 m nmn aaa 则 12 lim n n aaa A 1 2 B 2 3 C 3 2 D 2 解析解析 数列 n a满足 3 1 1 a 且对任意正整数nm 都有 nmnm aaa 21 111 1 9 aaa a 11 1 3 nnn aaaa 数列 n a是首项为 3 1 公比为 3 1 的等 比数列 lim 21n n aaa 1 1 12 a q 选 A 答案 A 用心 爱心 专心3 4 4 20052005 年全国年全国 理理 5 5 22 1 12 lim 3243 x xxxx A 1 2 B 1 2 C 1 6 D 1 6 解析 22 1 12 lim 3243 x xxxx 1 12 lim 1 2 1 3 x xxxx 11 1 11 limlim 1 2 3 2 3 2 xx x xxxxx 选 A 答案 A 二 填空题 5 5 20082008 上海上海 2 2 计算 1 31 lim 32 n nn n 答案 1 3 6 6 20072007 年全国年全国 理理 1616 已知数列的通项an 5n 2 其前n项和为 Sn 则 2 lim n n S n 答案 2 5 解析 数列的通项an 5n 2 其前n项和为 Sn 51 2 nn 则 2 lim n n S n 2 5 7 7 20062006 天津 天津 设函数 1 1 x xf 点 0 A表示坐标原点 点 NnnfnAn 若 向量 01121nnn aA AA AAA n 是 n a 与i 的夹角 其中 0 1 i 设 nn S tantantan 21 则 n n S lim 解析解析 函数 1 1 x xf 点 0 A表示坐标原点 点 NnnfnAn 若向量 01121nnn aA AA AAA 0n A A n 是 n a 与i 的夹角 1 1 1 tan 1 n n nn n 其 中 0 1 i 设 nn S tantantan 21 1111 1 1 22 3 1 1n nn 则 n n S lim 1 用心 爱心 专心4 答案 1 8 8 20052005 年上海年上海 2 2 n n n 21 2 lim 答案 0 三 解答题 9 9 20072007 年辽宁 年辽宁 已知数列 n a n b与函数 f x g x x R满足条件 nn ab 1 nn f bg bn N I 若 102f xtxtt 2g xx f bg b lim n n a 存在 求x的取 值范围 II 若函数 yf x 为R上的增函数 1 g xfx 1b 1 1f 证明对任 意n N lim n n a 用t表示 解法一 由题设知 2 11 1 1 nn n ba tbna 得 11 2 nn a t a 又已知2 t 可得 2 2 22 2 1 t a t t a nn 由 2 2 0 2 0 22 2 0 2 1 t a t t t tb t attbgbf n 所以可知 是等比其首项为 2 2 t t t tb公比为 于是 2 2 2 2 2 2 2 1 1 t tt t t tba t t t tb t a n n n n 即 又 liman存在 可得 0 2 t 1 所以 2 t 2 且 0 t 2 2 lim t an n 解法二 由题设知tbn 1 2bn 1 且 2 t可得 2 1 22 1 1 t b t t b nn 由 0 2 ttbgbf可知0 2 0 2 1 t t b 所以 2 1 t bn是首项为 2 1 t b 公 2 t 的等比数列 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 11 t t t bb t t b t b n n n n 即 用心 爱心 专心5 由 1 2 nn ba 可知 若 n n a lim存在 则 n n b lim存在 于是可得 0 2 t 1 所以 1 t0 n n a lim 2 n n b lim 2 2 t 解法三 由题设知tbn 1 2bn 1 即 2 1 2 1 nn b t b 于是有 2 1 2 12 nn b t b 得得令 2 1112nnnnnnn bbcbb t bb 2 1nn c t c 由0 2 0 2 1 2 10 2 12 tbt bbcttbgbf可知 所以 n c是首 项为 b 公比为 2 t 的等比数列 于是 2 1 2 1 121211 bbb t t bcccb n nn t t ba n nn 2 2 1 4 2 1 b2 b1 2b 又 n n a lim存在 可得 0 2 t 1 所以 2 t 2 且 0 t 2 2 2 2 4 lim 12 t bbb t an n 说明 数列 n a通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一 其他过程和结果参照以 标准 证明 因为 11 1 1 1 nnnnn afbbfbgaxfxg 即所以 下面用数学归纳法证明 1 n a N nan 1 当n 1 时 由f x 为增函数 且 1 f 1 得 1 11 fbfa 1 1 12 fafb 1 用心 爱心 专心6 22 bfa 1 1 af 即 2 a 1 a 结论成立 2 假设 n k 时结论成立 即 1 k a k a 由f x 为增函数 得 1 k af f k a即 2 k b 1 k b进而得 1 k af f 1 k b 即 2 k a 1 k a 这就是说当n k 1 时 结论也成立 根据 1 和 2 可知 对任意的 N n 1 n a n a 第二部分第二部分 四年模拟汇编四年模拟汇编 20102010 年模拟题年模拟题 题组一题组一 一一 选择题选择题 1 江西省 江西省 20112011 届文 届文 函数 2 2 yxxa b 在区间上的值域为 1 3 则点 a b的轨迹是图中的 A 线段 AB 和 ADB 线段 AB 和 CD C 线段 AD 和 BCD 线段 AC 和 BD 答案 A 2 江西省 江西省 20112011 届理 届理 若 11 0 23 x yxy xy 且则的最小值为 A 2 B 3 2 C 2 2 1 3 D 32 2 3 答案 C 3 江西省 江西省 20112011 届理 届理 函数 2 3log6f xxx 的定义域是 A 6x x B 36xx 3x x D 36xx 答案 D 4 江苏省 江苏省 20112011 届数学理 届数学理 右图是函数baxxxf 2 的部分图象 则函数 x y A B C D 1 0 1 3 1 用心 爱心 专心7 ln g xxfx 的零点所在的区间是 A 1 1 4 2 B 1 2 1 1 2 D 2 3 答案答案 B B 5 广西桂林中学 广西桂林中学 20112011 届高三理届高三理 已知函数 2 2 log 2 2 4 2 2 axx f xx x x x 当时 在点处 当时 连续 则 1 1 lim 22 2 na an n 2 1 3 1 3 2 答案答案 B B 7 广东省河源市龙川一中广东省河源市龙川一中 20112011 届高三文 届高三文 直线3ykx 与圆 22 324xy 相交于 M N 两点 若2 3MN 则 k 的 取值范围是 A 3 0 4 B 3 0 4 C 33 33 D 2 0 3 答案答案 A A 8 河南信阳市河南信阳市 20112011 届高三理 届高三理 设函数 f x是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数 若 2 3 2 1 3 3 aa ff a 则a的取值范围是 A 2 0 3 B 2 0 3 C 2 0 D 0 3 答案答案 A A 二二 填空题填空题 1 江苏泰兴市重点中学 江苏泰兴市重点中学 20112011 届理 届理 若 2 x u f xe 的最大值为 m 且f x 为偶函数 用心 爱心 专心8 则 m u 答案答案 1 1 2 江西省 江西省 20112011 届高三文 届高三文 函数 2 13 22 f xxx 的定义域 值域都是区间 a b 则 ab 的值为 答案 4 3 江西省 江西省 20112011 届高三文 届高三文 下列结论 11 0 13a bab ab 当时 2 lg 1 22f xxaxRa 定义域为则 312xyxy 是或成立的充分不必要条件 132f xxx 最大值与最小值的比为 其中正确结论的序号为 答案 4 江西省 江西省 20112011 届高三理 届高三理 函数y x2 2x在区间 a b 上的值 域是 1 3 则点 a b 的轨迹是图中的 A 线段 AB 和线段 AD B 线段 AB 和线段 CD C 线段 AD 和线段 BC D 线段 AC 和线段 BD 答案 A 5 江西省 江西省 20112011 届高三理 届高三理 若 2 13f xaxax 是偶函数 则 f x的递增区间 为 答案 0 1 6 江苏省 江苏省 20112011 届高三理 届高三理 定义在 R 上的奇函数 xf 当0 x时 x xexf 则当 0 x时 xf 答案 1 0 2 2 7 江苏省 江苏省 20112011 届高三理 届高三理 若定义运算 b a ba ba ba 则函数 xx xf 3 3 的值域是 答案 3 8 江苏省 江苏省 20112011 届高三理 届高三理 已知 aa xx ee ee xf 若函数 xf在 R 上是减函数 则实数 a的取值范围是 答案 0 a 9 广西桂林中学广西桂林中学 20112011 届高三理届高三理 若lim n a aa n 1 4 44 1 9 则实数a 用心 爱心 专心9 A B C D M N P 答案 3 1 10 江西省上高二中 江西省上高二中 20112011 届高三文 届高三文 下列结论 11 0 13a bab ab 当时 2 lg 1 22f xxaxRa 定义域为则 312xyxy 是或成立的充分不必要条件 132f xxx 最大值与最小值的比为 其中正确结论的序号为 答案 三三 解答题解答题 1 江苏泰兴市重点中学 江苏泰兴市重点中学 20112011 届理 届理 本小题满分 16 分 如图所示 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN 要求 M 在 AB 的延长 线上 N 在 AD 的延长线上 且对角线 MN 过 C 点 已知 AB 3 米 AD 2 米 I 设xAN 单位 米 要使花坛 AMPN 的面积大于 32 平方米 求x的取值范围 II 若 4 3 x 单位 米 则当 AM AN 的长度分别是多少时 花坛 AMPN 的面积 最大 并求出最大面积 答案 1 由于 AM DC AN DN 则AM 3 2 x x 故 SAMPN AN AM 2 3 2 x x 4 分 1 由 SAMPN 32 得 2 3 2 x x 32 用心 爱心 专心10 因为x 2 所以 2 332640 xx 即 3x 8 x 8 0 从而 8 28 3 xx 或 即AN长的取值范围是 8 2 8 3 8 分 2 令 y 2 3 2 x x 则 y 2 22 6 2 334 2 2 x xxx x xx 10 分 因为当 3 4 x 时 y 32 得 2 3 2 x x 32 因为x 2 所以 2 332640 xx 即 3x 8 x 8 0 从而 8 28 3 xx 或 即AN长的取值范围是 8 2 8 3 8 分 用心 爱心 专心13 2 令 y 2 3 2 x x 则 y 2 22 6 2 334 2 2 x xxx x xx 10 分 因为当 3 4 x 时 y 0 所以函数 y 2 3 2 x x 在 3 4 上为单调递减函数 从而当 x 3 时 y 2 3 2 x x 取得最大值 即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米 此时AN 3 米 AM 9 米 15 6 福建省福州八中福建省福州八中 20112011 届高三理 届高三理 本小题 15 分 已知函数f x ax3 bx2 3x 在 x 1 处取得极值 求函数f x 的解析式 求证 对于区间 3 2 上任意两个自变量的值 x1 x2 对于任意一个正实 数a都有 f x1 f x2 a a 25 4 若过点 A 1 m m 2 可作曲线 y f x 的三条切线 求实数 m 的取值 范围 答案 6 本小题 15 分 解 I f x 3ax2 2bx 3 依题意 f 1 f 1 0 即 0323 0323 ba ba 1 分 解得 a 1 b 0 f x x3 3x 3 分 II f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 利用导数求得 f x 在区间 3 2 上的最大值和最小值分别为 fmax x f 1 f 2 2 fmin x f 3 18 4 分 对于区间 3 2 上任意两个自变量的值 x1 x2 都有 f x1 f x2 fmax x fmin x f x1 f x2 fmax x fmin x 2 18 20 6 分 由条件可得 2025 4 225 4 a a a a 当且仅当 5 2 a时 等号成立 即 2025 4 a a 恒成立 对于任意一个正实数a都有 f x1 f x2 用心 爱心 专心14 a a 25 4 8 分 III f x 3x2 3 3 x 1 x 1 曲线方程为 y x3 3x 点 A 1 m 不在曲线上 设切点为 M x0 y0 则点 M 的坐标满足 3 0 3 00 xxy 因 1 3 2 00 xxf 故切线的斜率为 1 3 1 3 0 0 3 02 0 x mxx x 整理得0332 2 0 3 0 mxx 过点 A 1 m 可作曲线的三条切线 关于x0方程332 2 0 3 0 mxx 0 有三个实根 10 分 设 g x0 332 2 0 3 0 mxx 则 g x0 6 0 2 0 6xx 由 g x0 0 得x0 0 或x0 1 g x0 在 0 1 上单调递增 在 0 1 上单调递减 函数 g x0 332 2 0 3 0 mxx的极值点为 x0 0 x0 1 12 分 关于 x0方程332 2 0 3 0 mxx 0 有三个实根的充要条件是 0 1 0 0 g g 解得 3 m 2 故所求的实数 a 的取值范围是 3 m0 5 1 ax x 的展开式中 3 x的系数为 5 81 则 2 lim n n aaa 答案 1 2 5 2009 宣威六中第一次月考 3 1 1 lim 2 ban n n n 则ab 答案 3 6 2009 宣威六中第一次月考 11 23 lim 23 nn nn n 答案 3 20092009 年联考题年联考题 一 选择题 用心 爱心 专心21 1 1 2 20 00 09 9 年年 3 3 月月襄襄樊樊市市高高中中调调研研统统一一测测试试理理 2 2 2 lim 68 x x xx 的值为 A 0B 1C 1 2 D 1 3 答案 C 2 2 湖北省八市湖北省八市20092009年高三年级三月调考理年高三年级三月调考理 若 1 5x n的展开式中各项系数之和为 an 7x2 1 n的展开式中各项的二项式系数之和为bn 则 n lim nn nn ba ba 43 2 的值是 A 3 1 B 4 1 C 1D 2 1 答案 A 3 3 20092009 衡阳四校联考 衡阳四校联考 若P x axx x 4 2 lim 2 2 2 P R P 为常数 则a和P 的值分别为 A 0 2 1 B 1 4 3 C 2 1 2 1 D 4 3 1 答案 D 4 4 20092009 牟定一中期中 牟定一中期中 若 2 2234 1 6511111 lim lim 1 n xn xx a xaaaaa 则的 值为 A 2 B 3 1 C 2 1 D 7 12 答案 B 5 5 20092009 宣威六中第一次月考 宣威六中第一次月考 下列命题不正确的是 A 如果 f x 则 f x 0 1 x lim x B 如果 f x 2 x 1 则 f x 0 lim x 0 C 如果 f n 则 f n 不存在 n 2 2n n 2 lim n D 如果 f x 则 f x 0 x x 0 x 1 x 0 5 1 ax x 的展开式中 3 x的系数为 5 81 则 2 lim n n aaa 答案 1 2 1717 20092009 宣威六中第一次月考 宣威六中第一次月考 11 23 lim 23 nn nn n 答案 3 三 解答题 1818 20092009 冠龙高级中学冠龙高级中学 3 3 月月考 月月考 由函数 yf x 确定数列 n a n af n 函数 yf x 的反函数 1 yfx 能确定数列 n b 1 n bfn 若对于任意 nN 都有 nn ab 则称数列 n b是数列 n a的 自反数列 1 若函数 1 1 px f x x 确定数列 n a的自反数列为 n b 求 n a的通项公式 2 在 1 条件下 记 n xxx n 111 21 为正数数列 n x的调和平均数 若 2 1 1 n n d a 用心 爱心 专心24 n S为数列 n d的前n项和 n H为数列 n S的调和平均数 求 n Hn n lim 3 已知正数数列 n C的前n项之和 1 2 nn n n TC C 求 n T的表达式 解 1 由题意的 f 1 x px x 1 f x 1 1 x px 所以p 1 所以an 1 1 n n 2 an 1 1 n n dn 1 1 2 n a n Sn为数列 dn 的前n项和 Sn 2 1 nn 又Hn为数列 Sn 的调和平均数 Hn n SSS n 111 21 1 2 32 2 21 2 nn n 2 1 n n Hn n lim n n n 2 1 lim 2 1 3 因为正数数列 cn 的前n项之和Tn 2 1 cn n c n 所以c1 2 1 c1 1 1 c 解之得 c1 1 T1 1 当n 2 时 cn Tn Tn 1 所以 2Tn Tn Tn 1 1 nn TT n Tn Tn 1 1 nn TT n 即 2 1 2 nn TT n 所以 2 2 2 1 nn TT n 1 2 3 2 2 nn TT n 2 2 1 2 2 TT 2 累加得 2 1 2 TTn 2 3 4 n 2 n T 1 2 3 4 n 2 1 nn Tn 2 1 nn 1919 20092009 上海普陀区 上海普陀区 设数列 n a的前n项和为 n S 3 1 4 a 对任意 Nn 向量 1 n aa 1 1 2 n ba 都满足ab 求lim n n S 解 因为0aba b 所以由条件可得 1 2 n n a a Nn 即数列 n a是公比 1 2 q 的等比数列 又 3 1 2 1 a a q 所以 1 12 lim 1 13 1 2 n n a S q 用心 爱心 专心25 20072007 20082008 年联考题年联考题 一 选择题 1 1 20082008 荆门市实验高中测试 荆门市实验高中测试 2 2 lim 21 n anbnc ann 等于 A 1 B 2 b C c D 1 或 2 b 答案 D 2 2 20082008 荆门市实验高中测试 荆门市实验高中测试 下列极限存在的是 2 1 lim x x 0 1 lim x x 2 2 1 lim 32 x x xx 2 1 1 lim 1 x x A B C D 答案 C 3 3 20082008 荆门市实验高中测试 荆门市实验高中测试 已知 a b 时互不相等的正数 则lim nn nn n ab ab 等于 A 1 B 1 或 1 C 0 D 0 或 1 答案 B 4 4 淮南市部分重点中学淮南市部分重点中学 20072007 年高三数学素质测试 年高三数学素质测试 设 lim 0 0 2 0 xf xe xbx xf x x 若 存在 则常数 b 的值是 A 0B 1C 1D e 答案 B 5 5 巢湖巢湖 20072007 二模二模 若1 11 2 1 lim x b x a x 则常数ba 的值为 A 4 2 ba B 4 2 ba C 4 2 ba D 4 2 ba 答案 C 6 6 皖南八校皖南八校 20072007 届一联 届一联 xxx x 22 1 lim的值为 用心 爱心 专心26 A 0B 不存在C 2 1 D 2 1 答案 C 7 7 南昌市 南昌市 2007 20082007 2008 学年度高三第一轮复习训练 学年度高三第一轮复习训练 已知数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 则这个数列的第 2006 个数是 A 62 B 63 C 64 D 65 答案 B 8 8 南昌市 南昌市 2007 20082007 2008 学年度高三第一轮复习训练 学年度高三第一轮复习训练 函数 f x 1 1 2 2 x xx 的不连续 点为 A x 1 B x 1 C x 1 D 以上答案都不对 答案 A 9 9 南昌市 南昌市 2007 20082007 2008 学年度高三第一轮复习训练 学年度高三第一轮复习训练 用数学归纳法证明命题时 此命题 左式为 1111 23421 n 则 n k 1 与 n k 时相比 左边应添加 A 1 1 21 k B 1 111 22121 kkk C 1 1111 2212221 kkkk D 1 11 221 kk 答案 C 二 填空题 1010 20082008 荆门市实验高中测试 荆门市实验高中测试 若 1 lim1 n a nnan 则常数 答案 2 1111 20082008 荆门市实验高中测试 荆门市实验高中测试 32 2 sin2sin1 lim sin1 x xx x 答案 1 用心 爱心 专心27 1212 20082008 宣威六中高三数学测试 宣威六中高三数学测试 32 2 sin2sin1 lim sin1 x xx x 答案 1 1313 安徽宿州三中 安徽宿州三中 20072007 年三模 年三模 已知 32 3 3 lim 3 x xaxx b x 则 1 1 lim nn nn n ab ab 答案 8 三 解答题 1414 20082008 荆门市实验高中测试 荆门市实验高中测试 求 2 4 sin22cos lim cossin x xx xx 解 2 sin22cos 2cos cossin xx x xx 4 lim2cos2cos2 4 x x 原式 1515 20082008 荆门市实验高中测试 荆门市实验高中测试 已知 1 31 lim 3 31 n n n n a 求 a 的取值范围 解 依题意有 11 lim 3 1 3 3 n n a