广东省2010年高三数学高考综合复习参考新人教版

用心 爱心 专心 开始 xfxh 是 否 输出 xh结束 输入x xgxf xgxh 广东省广东省 20102010 年高考数学综合复习参考年高考数学综合复习参考 一 总体分析 与 2007 2009 年新课程高考相比 2010 年考纲所提内容与要求基本稳定 实 质变化只有一点 理科 不等式选讲 由前三年 自由选考 改为今年 指定选 考 况且今年实行 调整方案 核心调整在 综合科 数学显然是要以稳定 为主 因此 今年将基本延续前三年高考内容与形式 可以参考前三年试卷领 会新课程高考之神韵 高考试题的解题难度也将保持稳定 高考要保持区分度 数学要保持高区分度 要有助于将重点本科的学生区分出来 难度不会明显变化 高考是高校招生考试 试题体现了高校对考纲的认知和解读 高校对学生的考查 侧重于本质 整体和潜力 高中教学则局限于形式 细节和眼前 从而形成颇有 玩味的教学与高考的 博弈 建议 学生要以建议 学生要以 读经典读经典 的心态重做近三年新课程高考题 做出感觉 做出味道 的心态重做近三年新课程高考题 做出感觉 做出味道 二 关于选择题 选择题就是要在四个选项中找到唯一正确的选项 不只是 不管白猫啥猫 而且 不论用爪用棒还是用齿或者其他秘密武器 总而言之 抓到硕鼠就是好 猫 但无论如何 每个学生都要有几招是自己得心应手的 包括 顺向按部就 班求解 顺向跳跃式求解 图形直观求解 逆向排除 特征提取 条件筛选等 建议 掌握原理才能驾驭方法 在高考情景下 方法运用需要灵活与综合 至高境界是建议 掌握原理才能驾驭方法 在高考情景下 方法运用需要灵活与综合 至高境界是 模块化思考 因此 我们要不断地做一些挑战自我的选择题 通过解题反思形成若干自己的模块化思考 因此 我们要不断地做一些挑战自我的选择题 通过解题反思形成若干自己的 方法方法 明晰方法之所以正确有效的 明晰方法之所以正确有效的 道理道理 以模块化思考提高解题成效 以模块化思考提高解题成效 以广州二模若干题为例 文 4 理 5 如右图所示的算法流程 图中 若 x xf2 3 xxg 则 2 h 的值为 A 9 B 8 C 6 D 4 抓住条件分支这个关键 得到函数 3 2max xxh x 问题迎刃而解 文 10 已知函数xxxfsin 若 1 x 2 2 2 x且0 21 xfxf 用心 爱心 专心 D x y P C A B 则下列不等式中正确的是 A 21 xx B 21 xx C 0 21 xx D 0 21 xx 理 7 已知函数xxxfsin 若 1 x 2 2 2 x且 21 xfxf 则 下列不等式中正确的是 A 21 xx B 21 xx C 0 21 xx D 2 2 2 1 xx 顺向求解 文 10 由已知得 xf是单调递增的奇函数 由 0 21 xfxf得 221 xfxfxf 从而 21 xx 0 21 xx 理 7 由已知得 xf是偶函数 且在区间 2 0 上递增 由 21 xfxf 得 21 xx 即 2 2 2 1 xx 逆向求解 文 10 由条件知 1 x 2 x是对称或 对等 的 因此可排除 A 与 B 再取0 1 x 2 2 x检验即知正确选项是 C 理 7 1 x 2 x交替取特殊 值 2 0 2 检验即知正确选项是 D 文 9 高m8和m4的两根旗杆笔直地竖在水平地面上 全且相距m10 则 地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 这是空间背景下的平面动点轨迹问题 如图 由CPDAPB 得 CD PD AB PB 即PDPB2 若头脑中已储备 平面上到两定点距离之比为 不等于 1 的常数的点的轨迹是圆 则直接选 A 若无此储备 则进一步代数化 设 yxP 由PDPB2 得 2222 10 2 yxyx 观察知 方程化简后 2 x 2 y系数相等 是圆 理 4 若m n是互不相同的空间直线 是平面 则下列命题正确的是 A 若nm n 则 m B 若nm n 则 m C 若nm n 则 m D 若nm n 则 m 线面平行 垂直的选择题 投影与视图的选择题都可以在一个长方体模型中 用心 爱心 专心 甄别 而不必每个选项分别构造一个图形 广东卷 07 文 6 08 文 7 理 5 09 文 6 理 5 等莫不如此 三 关于填空题 填空题解题要求是准确快速地得到结果 规范地表达结果 试题大致有两类 一类是双基应用 另一类是找规律并应用 填空题通常是中档题或容易题 解题 通常是顺向思维 运用通性通法计算求解 关键是条件转化 建议 填空题要追求高得分率 要将通性通法用实 解题过程可以根据学生和试题实际建议 填空题要追求高得分率 要将通性通法用实 解题过程可以根据学生和试题实际 心算或跳步 但不提倡过度技巧化 心算或跳步 但不提倡过度技巧化 以广州二模若干题为例 文 12 已知双曲线C 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 的离心率2 e 且它 的一个顶点到相应焦点的距离为1 则双曲线C的方程为 将试题条件转化为方程组 1 2 ac a c 解得2 c 1 a 3 2 b 再代入 理 13 已知 n x x 2 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为3 56 则该展开式中 2 x的系数 将试题条件转化为方程 3 56 2 2 22 44 n n C C 即56 3 2 nn 观察知10 n k kk k k xCT2 10 2 1 101 由2 10 2 1 kk得2 k 从而18022 2 10 C 文 13 理 12 右图是一个有n层 2 n 的 六边形点阵 它的中心是一个点 算作第一层 第 2 层每边有 2 个点 第 3 层每边有 3 个点 第n层每边有n个点 这个点阵的点数有 个 试题转化为数列 n a前n项和问题 其中 n a是 第n层点的个数 试题条件转化为1 1 a 66 nan 所以133 616 2 616 66 2 1 nna nn Sn 四 关于解答题 总体特点 过程与结果有机结合 计算与推理有机结合 双基与思想方法 用心 爱心 专心 有机结合 具体较强的综合性和知识跨度 体现从建立模型到运用模型的全过程 因此 模型是解答题的主干和核心 是思想与方法的源泉 是整体把握解答题和 提高解题成效的关键 各题特点 我们从模型角度分析各个解答题的基本结构 常用的方法 三角题 基本模型有两个 函数 sin xAy 三角形 函数 sin xAy模型 典型的结构是 根据若干给定条件确定函数 sin xAy 在此基础上讨论函数性质或求值 也有单一求值问题 例 1 在平面直角坐标系中 0 3 A 3 0 B sin cos C 2 3 2 且 BCAC 求角 的值 设0 2 0 且 3 2 求 22 cossin2 y的最小 值 解 由 BCAC 得 2222 sin3 cossin cos3 化简得 1tan 因为 2 3 2 所以 4 5 6 5 3 2 2cos2 cos 2 1 1 2 2cos1 2 2cos1 2 y 6 2sin 2 1 1 2cos 2 1 2sin 2 3 2 1 1 2cos 2 3 5 cos 2 1 1 因为 2 0 6 7 6 2 6 1 3 2sin 2 1 所以 4 3 6 2sin 2 1 1 2 1 即 6 3 2 时 y取最小值 且 2 1 min y 评析 试题核心是三角计算 情景与条件有鲜明的几何意义 试题求解综合了较多三角评析 试题核心是三角计算 情景与条件有鲜明的几何意义 试题求解综合了较多三角 恒等变换与三角函数性质 恒等变换与三角函数性质 例 2 已知平面向量 1 sin3 cosxxa cos xxfb 其中 0 且ba 函数 xf的图象两相邻对称轴之间的距离为 2 3 求 的值 求函数 xf在区间 2 5 上的最大值及相应的x的值 用心 爱心 专心 C D AB 解 由ba 得xxxxf cos sin3 cos1 整理并化简得 2 1 6 2sin 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 xxxxf 依题意 2 3 2 T 3 T 又 2 2 T 所以 3 1 2 1 63 2 sin xxf 2 5 x 6 11 63 2 6 5 x 所以 2 1 63 2 sin 1 x 所以 xf的最大值为 2 1 max f 相应的 x 评析 试题核心是三角函数性质 情景与条件有鲜明的几何意义 综合了三角函数的对评析 试题核心是三角函数性质 情景与条件有鲜明的几何意义 综合了三角函数的对 称性 周期性和最值等称性 周期性和最值等 要求熟悉三角函数图象 并以图象和性质引导计算 要求熟悉三角函数图象 并以图象和性质引导计算 三角形模型 典型的结构是 根据若干给定条件确定三角形的边与角 在 此基础上进一步求解 给定条件方式有 坐标 向量或方位 有应用题特征 例 3 在ABC 中 角A B C所对的边长分别为a b c 7 a 7 cb 且AAcos1sin4 2 求Acos的值 求ABC 的面积 解 由AAcos1sin4 2 和 cos1 cos1 cos1sin 22 AAAA 得 AAAcos1 cos1 cos1 4 因为 A0 2cos10 A 约去 Acos1 得1 cos1 4 A 4 3 cos A 由余弦定理Abccbacos2 222 得Abcbccbacos22 22 即 4 3 22497 bcbc 解得12 bc 所以ABC 的面积 2 73 sin 2 1 AbcS 评析 试题核心是解三角形 因此除已知条件外 还有评析 试题核心是解三角形 因此除已知条件外 还有 双基双基 条件条件 三角形内角和三角形内角和 定理 正弦定理和余弦定理 解题关键是建立并求解方程组 其中用到三角函数性质 三角定理 正弦定理和余弦定理 解题关键是建立并求解方程组 其中用到三角函数性质 三角 恒等变换和整体代入等 恒等变换和整体代入等 例 4 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路 北侧远处一山顶D在西偏北 o 30 的方向上 仰角为 o 15 行驶km4后到达B处 测 得此山顶在西偏北 o 45 的方向上 求此山的高度 设汽车行驶过程中仰望山顶D的 最大仰角为 求 tan 用心 爱心 专心 解 设此山高h m 则 0 15tan h AC 在ABC 中 0 135 B 000 153045 C 4000 AB 根据正弦定理得 C AB B AC sinsin 即 000 15sin 4000 15tan135sin h 解得 13 4000 h m 过C作ABCE 垂足为E 连接DE 则 DEC 0 30sinACCE 0 15tanACDC 所以324tan CE DC 评析 这是有空间背景的解三角形问题 关键是构造三角形 将各个已知条件向这个主评析 这是有空间背景的解三角形问题 关键是构造三角形 将各个已知条件向这个主 三角形集中 再通过正弦 余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系 列方程或列式求三角形集中 再通过正弦 余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系 列方程或列式求 解 解 应用题 基本模型比较多 而且文 理数学略有差别 主要有 回归方程 07 年广东文理 函数 08 广东文 09 江苏 古典概型概率统计 08 09 广 东文理 08 09 山东文理 08 09 海南文理 09 辽宁理 09 天津文理 09 安徽 文理 09 福建文理 几何概型 07 海南理 线性规划 07 山东文 三角形 07 山东理 07 海南文理 09 海南文理 09 辽宁文理 09 福建理 22 列联 表 09 辽宁文 数列等 古典概型与统计 典型结构是 在某一情景下给出数据 对具体数据进行 统计角度和概率角度的分析求解 并根据数字特征的意义进行定性分析或解释 例 5 有编号 01 12 的 12 种食品 它们微量元素A的含量依次是 42 45 a b 85 94 100 108 133 138 150 175 其中8545 ba 平均含量和方差分别是 100 1656 求a b 按编号用系统抽样法从以上 12 种食品中随机地抽 4 种分析微量元素B 求 06 号食品被抽中的概率 如果微量元素B与微量元素A具有线性相关关系 抽样所得样本中 哪 个样本用来分析微量元素B更有代表性 参考数值 22222 100100 10094 10085 10045 10042 17372 100175 100150 100138 100133 100108 22222 解 依题意 100 12 17510094854542 ba 用心 爱心 专心 1656 12 100 100 17372 22 ba 即 8500 130 22 ba ba 解得 70 60 b a 依题意 被抽取的样本有三组 第一组 编号为 01 04 07 10 的食 品 第二组 编号为 02 05 08 11 的食品 第三组 编号为 03 06 09 12 的食品 每一组被抽取是等可能的 06 号食品在第三组 所以 06 号食品被抽中 的概率 3 1 p 三组样本微量元素A的平均含量分别是 5 87 4 1381007042 97 4 1501088545 5 115 4 1751339460 三组样本的方差分别是 1270 75 1444 5 1847 25 综合比较样本与总体的均值和方差 第二组 即编 号为 02 05 08 11 的 4 种食品组成的样本更有代表性 评析 这是数据的数字特征 抽样与样本代表性 古典概型概率的综合 解题关键是根评析 这是数据的数字特征 抽样与样本代表性 古典概型概率的综合 解题关键是根 据数字特征 抽样等的统计意义进行计算 据数字特征 抽样等的统计意义进行计算 例 6 已知 5 只动物中有且仅有 1 只患病 需要通过化验血液确定患病动物 血检呈阳性即为患病 否则没患病 现有以下两种验血方案 每种验血方案都直 到检验出某动物血液呈阳性为止 甲 逐个随机检验 乙 先任取 3 只 将它们的血液混在一起化验 若呈阳性 表明患病动物在 这 3 只之中 再对这 3 只逐个随机检验 否则 在另外两只中逐个随机检验 甲 乙哪个方案能更快检验出患病动物 求依方案乙所需检验次数不多于依方案甲所需检验次数的概率 解 甲方案检到某动物血液呈阳性所需要检验次数为 乙方案检到某动 物血液呈阳性所需要检验次数为 依题意 12345 p 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 其中4 0 2 1 3 1 2 1 5 1 2 1 5 1 3 C C C C p 4 0 1 1 2 1 2 1 3 2 3 1 5 1 2 1 5 1 3 C C C C p 234 p 4 04 02 0 用心 爱心 专心 DC BA M 2 0 1 1 2 1 3 2 4 1 5 1 3 C C p 3 E 8 2 E EE 所以乙方案 能更快检验出患病动物 64 0 5 1 5 1 5 1 5 1 4 0 5 1 5 1 5 1 4 0 5 1 5 1 2 0 p 即依 方案乙所需检验次数不多于依方案甲所需检验次数的概率为64 0 评析 这是不同方案 实质是不同概型 不同随机变量 分析比较的概率问题 解题的评析 这是不同方案 实质是不同概型 不同随机变量 分析比较的概率问题 解题的 关键是确定随机变量及其分布列 知道是对哪个数字特征进行比较 再相应地计算比较 本关键是确定随机变量及其分布列 知道是对哪个数字特征进行比较 再相应地计算比较 本 题仅适合理科学生 题仅适合理科学生 几何概型与规划 典型的结构是 用适当方式给定区域 分析统计量或目 标函数的几何意义并求解 区域可能是一维 二维或三维 例 7 如图 面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M 可按下面 方法估计M的面积 在正方形ABCD中随机投掷n个点 若n个点中有m个点落 入M中 则M的面积的估计值为S n m 假设正方形 ABCD的边长为 2 M的面积为 1 并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点 以X表示落入M中的点的数目 求X的均值EX 求用以上方法估计M的面积时 M的面积 的估计值与实际值之差在区间 03 0 03 0 内的概率 附表 k t ttt CkP 0 10000 10000 75 0 25 0 k2424242525742575 kP 0403 0 0423 0 9570 0 9590 0 解 每个点落入M的概率为 4 1 p 4 1 10000 BX 所以 2500 4 1 10000 EX 依题意所求概率为 25752425 03 0 14 10000 03 0 Xp X p 2425 0 10000 10000 2574 0 10000 10000 10000 25747 2426 10000 75 0 25 0 75 025 075 025 0 i iii i iiii i ii CCC 用心 爱心 专心 O x y 0 ay 02 yx 042 yx 9147 0 0423 0 9570 0 评析 这是评析 这是 20072007 年高考海南理数卷第年高考海南理数卷第 2020 题 试题有几何背景 但本质是二项分布 解题 试题有几何背景 但本质是二项分布 解 题关键是将两联系并统一起来 以二项分布为主线分析求解 本题仅适合理科学生 题关键是将两联系并统一起来 以二项分布为主线分析求解 本题仅适合理科学生 例 8 不等式组 0 042 02 ay yx yx 其中Ra 表示的平面区域记为D DyxP yxz 的最大值和最小值分别为M m 已知4 m 求a和M的值 在D中随机取一点 yxP 求 2 M z 的概率 解 如图 yxz 的值就是 平面上直线yxz 在y轴上的截距 而且当P是直线0 ay与直线 02 yx的交点 直线0 ay 与直线042 yx的交点时 取得 最大 小值 解 0 02 ay yx 得 ay ax2 解 0 042 ay yx 得 ay ax42 22 1 az 4 2 az 若 21 zz 即2 a 则4 2 zm 8 a 14 1 zM 若 21 zz 即2 a 则4 1 zm 1 a 5 2 zM 所以 8 a 14 M 或1 a 5 M 若8 a 14 M 则 2 M z 即7 yx 直接计算知区域D的面积 54 2 2 3 2 2 42 2 1 2 aaaaS 区域D中7 yx部分的面 积 4 153 4 63 54 s 所求概率 24 17 S s p 若1 a 5 M 则 2 M z 即 2 5 yx 区域D的面积 2 27 S 区域D中 2 5 yx部分的面积 8 93 8 15 2 27 s 所求概率 36 31 S s p 用心 爱心 专心 评析 评析 这是含参数据的 线性规划与几何概型的综合 解题关键是数形结合 能适时运这是含参数据的 线性规划与几何概型的综合 解题关键是数形结合 能适时运 用坐标的几何意义 点到直线距离或平行直线间的距离 用坐标的几何意义 点到直线距离或平行直线间的距离 函数与数列 典型结构是 在具体情景中叙述量与量之间的关系 解题要 求先用数学语言明晰数量关系 用数学方法求解 回到情景中解释求解结果 例 9 某旅馆有相同标准的床铺 100 张 根据经验 当旅馆的床价 即每床 每天的租金 不超过 10 元时 床位可以全部租出 当床价高于 10 元 每提高 1 元 将有 3 张床空置 旅馆定价条件是 床价为 1 元的整数倍 该旅馆每天 支出为 575 元 床位出租收入必须高于支出 若用x表示床价 y表示每天出租 床位的净收入 即除去每天支出后的收入 把y表示成x的函数 并求出其定义域 如何定价 该旅馆每天净收入最多 解 依题意 Nx 575100 x 所以6 x 当106 x时 575100 xy 10 x时 由575 10 3100 xx和 Nx 解得38 x 当 3810 x时 5751303575 10 3100 2 xxxxy 综上所述 3810 5751303 106 575100 2 xNxxx xNxx xfy 二次函数5751303 2 xxy的对称轴 3 65 3 2 130 x 因为 Nx 直接计算知425 10 f 832 21 f 833 22 f 比较得 每床每天的租金 为 22 元时 该旅馆每天净收入最多 评析 确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言评析 确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言 数学化 再用数学方数学化 再用数学方 法定量计算得出所要求的结果 关键是理解题意 将变量的实际意义符号化法定量计算得出所要求的结果 关键是理解题意 将变量的实际意义符号化 例 10 小王 2009 年 12 月向银行贷款 20 万元用于购房 分期还款方式是 2010 年元月开始 每月向银行还款一次 每次金额都是m元 到 2019 年 12 月全 部还清 已知贷款月利率为r 每月利息按复利计算 设小王第k次还款后 欠银行本利金额为 k a 试用含m r k的代数式 表示 k a 若贷款月利率为 8 0 小王每月应向银行还款多少元 参考数据 82 1 1008 1 008 1 100 100 73 1 1008 1 008 1 108 108 62 1 1008 1 008 1 120 120 解 为方便 记200000 A元 依题意 用心 爱心 专心 mrAmArAa 1 1 1 1 1 2 112 rmrAmraaa r rm rrrmrAa k kkk k 1 1 1 102 1 1 1 1 51 依题意 0 120 a 所以2592 1008 1 008 1 008 0 102 120 1205 m 元 评析 购房贷款是时政话题之一 本题与此相关 解题关键是了解复利计算规则 将数列知评析 购房贷款是时政话题之一 本题与此相关 解题关键是了解复利计算规则 将数列知 识应用于复利计算识应用于复利计算 回归方程与列联表 典型的结构是 确定基本数据 求回归方程或独立检 验随机变量 根据方程或变量的意义进一步运用或解释 考纲要求都是 了解 例 11 某厂为了研究生产率x与废品率y之间的关系 记录了 4 天的数据 生产率 个 周 1000200035004500 废品率 5 168 110 用最小二乘法求y关于x的线性回归方程 根据所求得的回归方程预测每周生产 6000 个时的废品率 解 直接计算得 2750 x 7250000 4 1 2 t i xx 3 7 y 10150 4 1 yyxx i t i 0014 0 4 1 2 4 1 i i i t i xx yyxx b 45 3 xbya 所以45 3 0014 0 xaxby 6000 x时 85 1145 3 60000014 0 y 评析 本题与评析 本题与 0707 广东卷类似 按回归方程公式及其统计意义求解即可 广东卷类似 按回归方程公式及其统计意义求解即可 类似问题还有 类似问题还有 控制生产率达到控制废品率 预测废品数 需要注意的是 本题本题可通过控制生产率达到控制废品率 预测废品数 需要注意的是 本题本题可通过 废品率废品率 生产生产 率率 进行预测 如果已知条件是进行预测 如果已知条件是 废品数与生产率具有线性回归关系废品数与生产率具有线性回归关系 则必须先 则必须先 用最小用最小 二乘法求废品数二乘法求废品数z关于关于x的线性回归方程的线性回归方程 再用此方程预测 再用此方程预测 例 12 在一次休闲方式调查中 共调查了 124 人 其中女性 70 人 男性 54 人 女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视 另外 27 人主要的休闲方式是运动 男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视 另外 33 人主要的休闲方式是运动 根据以上数据建立一个22 列联表 检验性别与休闲多大程度上有关系 用心 爱心 专心 B E A D C 1 A 1 B 1 C 1 D 解 依题意 22 列联表如下 看电视运动合计 女 432770 男 213354 合计 6460124 假设休闲方式与性别无关 计算201 6 60645470 21273343 124 2 k 因为 2 K的观察值024 5 k 所以有理由认为假设休闲方式与性别无关是不 合理的 即有 5 97的把握认为休闲方式与性别有关 评析 本题是在评析 本题是在 了解独立检验 只要求了解独立检验 只要求22 列联表 的基本思想 方法及其简单应用列联表 的基本思想 方法及其简单应用 的基础上按部就班地计算和解释的基础上按部就班地计算和解释 立体几何 典型的结构是 用若干条件确定几何体或其主体部分的框架 讨论这个几何体的数量关系 位置关系以及数量与位置之间的相互关系 例 13 如图 在长方体 1111 DCBAABCD 中 点E在棱 1 CC的 延长线上 且1 2 1 11 ABBCECCC 求证 1E D平面 1 ACB 求证 平面 EBD 11 平面 1 DCB 求四面体ACBD 11 的体积 证明与解 连接 1 DC 因为 1111 DCBAABCD 是长方体 且ECCC 11 所 以ECDD 11 且ECDD 11 11EC DD是平行四边形 EDDC 11 又因为 11 CBAD且 11C BAD 11B ADC是平行四边形 11 AB DC 所以 11 ABED 因为 1 AB平面 1 ACB ED1平面 1 ACB 所以 1E D平面 1 ACB 连接 1 AD 1 DA 则平面 1 DCB 即平面CDBA 11 由 11 ABED 知平面 EBD 11 即平面 11EB AD 因为 1111 DCBAABCD 是长方体 CD平面 11A ADD 所 以 1 ADCD 矩形 11A ADD中 1 DDAD 所以 11 ADDA 又DCDDA 1 所以 1 AD平面CDBA 11 1 AD平面 11EB AD 所以平面 11EB AD平面CDBA 11 四面体ACBD 11 可以看作将长方体 1111 DCBAABCD 沿它的四个面ACB1 用心 爱心 专心 F E E D D C C BBAA 图a图b ACD1 CBD 11 ABD 11 将四面体ACBD 11 以外的部分割去后得到 所以 其体积 3 2 211 2 1 3 1 4211 V 评析 这是深圳一模文数第评析 这是深圳一模文数第 1818 题 从中可以体会以下几点 一是依据判定定理整体思题 从中可以体会以下几点 一是依据判定定理整体思 考 形成思路 二是通过图形变换 包括割 补 视图和射影等 建立试题各要素之间 三考 形成思路 二是通过图形变换 包括割 补 视图和射影等 建立试题各要素之间 三 是是将不规则图形向自己熟悉的规则图形 特别是长方形 转化 将不规则图形向自己熟悉的规则图形 特别是长方形 转化 将基本空间图形原有的性质将基本空间图形原有的性质 与试题条件有机结合 将试题要素与试题条件有机结合 将试题要素 直接 直观 直接 直观 地联系起来或凸显出来 使问题求解自地联系起来或凸显出来 使问题求解自 然而然然而然 例 14 如图a 直角梯形ABCD中 o 90 BA 1 2 1 ADBCAB E是底边AD的中点 沿CE将CDE 折起 使DCEA 是直二面角 如图b 在图b中过D作 DF平面BCD EF平面BCD 求证 DF平面CDE 求点F到平面ACD的距离 求面ACE与面ACF所成二 面角的余弦值 证明与解 依题意BCDE BCCE 因为ECEDE 所以 BC平面CDE 过E作CDEG 垂足为G 则 EG平面BCD 又因为 DF平面BCD 所以EGDF DF EG共面 都在平面DEG中 所以 DF平面CDE 在四面体ACDF中 AE平面CDF 设点F到平面ACD的距离为h 则 hSAESV ACDCDFACDF 3 1 3 1 直接计算知 2 2 DF 2 CDAD 1 AE 2 AC 2 3 4 3 2 ACS ACD 从而AEDFCD 2 1 3 1 h 2 3 3 1 12 2 2 2 1 3 1 3 3 h 以E为原点 EA EC ED所在直线分别为x轴 y轴 z 轴建立空间 直角坐标系 则 0 0 1 A 0 1 0 C 2 1 2 1 0 F 0 1 1 AC 用心 爱心 专心 2 1 2 1 1 AF 设平面ACF的一个法向量为 rqpn 则 0 0 AFn ACn 即 0 22 00 rq p qp 所以取 3 1 1 n 面ACE的一个法向量为 1 0 0 n 所以面ACE与面ACF所成二面角的余弦值 11 3 cos nn nn 评析 本题有折叠 建立四面体 建立空间直角坐标系等方式评析 本题有折叠 建立四面体 建立空间直角坐标系等方式 构造空间图形构造空间图形 当然 当然 构造的方式还有视图等 求解的问题有线面关系 角度 距离等 其中构造的方式还有视图等 求解的问题有线面关系 角度 距离等 其中 仅适合理科学生 仅适合理科学生 对理科学生而言 对理科学生而言 也可用向量法 在上述空间直角坐标系下 面也可用向量法 在上述空间直角坐标系下 面ACD的一个单位法向量的一个单位法向量 1 1 1 3 1 1 n 根据数量积的几何意义 根据数量积的几何意义 3 1 1 nFDh 解析几何 典型的结构是 根据若干具体条件运用待定系数法或轨迹法得 到曲线方程 进一步讨论曲线或多曲线相联系的位置关系 几何性质 例 15 平面直角坐标系xOy中 动点P从点 0 4 0 P出发 运动过程中 到 定点 0 2 F的距离与到定直线l 8 x的距离之比为常数 求点P的轨迹方程 在轨迹上是否存在点 tsM 使得以M为圆心且经过定点 0 2 F的圆 与直线8 x相交于两点A B 若存在 求s的取值范围 若不存在 说明理 由 解 设 yxP是轨迹上任意一点 根据两点距离公式和点到直线距离公 式 依题意有 2 1 84 24 8 2 22 x yx 化简得1 1216 22 yx 圆与直线8 x相交于两点 当且仅当圆心M到直线8 x的距离小于圆 的半径 MF 8 MFs 由 知 8 2 1 sMF 所以 8 2 1 8 ss 又由 知44 s 所以 8 2 1 8 ss 解得4 3 8 s 评析 本题是椭圆与圆评析 本题是椭圆与圆的综合 解题要求先用轨迹法求轨迹方程 再讨论动点的几何性的综合 解题要求先用轨迹法求轨迹方程 再讨论动点的几何性 质 关键是数形结合 将方程中数量的几何意义应用于曲线几何属性的量化 将质 关键是数形结合 将方程中数量的几何意义应用于曲线几何属性的量化 将 的结果自的结果自 然地应用于然地应用于 的求解 的求解 用心 爱心 专心 例 16 已知椭圆 1 C 1 1216 22 yx 双曲线 2 C 与 1 C具有相同的焦点 且离心 率互为倒数 求双曲线 2 C 的方程 圆C 222 ryx 0 r 与两曲线 1 C 2 C 交点一共有且仅有四个 求 r 的取值范围 是否存在r 使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形 解 依题意 设双曲线 2 C 的方程为1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 椭圆 1 C的离心率为 2 1 4 2 焦点为 0 2 F 所以 2 2 a c c 解得1 a 2 c 3 22 acb 椭圆 1 C的顶点为 0 4 A 32 0 B 双曲线 2 C 的顶点为 0 1 M 椭圆 1 C与双曲线 2 C 的交点为 3 2 N 13 ON 所以圆C与两曲线 1 C 2 C 有且仅有四个交点 当且仅当321 r或13 r或4 r 直线xy 与椭圆 1 C的交点为 7 34 7 34 P 7 64 OP 因为 4 7 64 32 且13 7 64 所以 以O为圆心 OP为半径的圆与两曲线 1 C 2 C 的交点不只四个 不合要求 直线xy 与双曲线 2 C 的交点为 2 3 2 3 Q 3 OQ 3231 符合要求 即3 r时 交点有且仅有四个 顺次连接这四个交 点所得到的四边形是正方形 评析 本题是椭圆 双曲线与圆评析 本题是椭圆 双曲线与圆的综合 解题要求先用待定系数法求轨迹方程 再数形的综合 解题要求先用待定系数法求轨迹方程 再数形 结合讨论曲线的几何性质 第结合讨论曲线的几何性质 第 问关键是运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算 另外 问关键是运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算 另外 圆锥曲线的一些数量关系常用向量表示 设椭圆圆锥曲线的一些数量关系常用向量表示 设椭圆 1 C的两个焦点为的两个焦点为 1 F 2 F 动点 动点P满足满足 7 4 1 2 2121 OPFFPFPF 则动点轨迹也是曲线 则动点轨迹也是曲线 2 C 例 17 设动点 0 xyxP到定点 0 2 1 F的距离比它到y轴的距离大 2 1 记点P的轨迹为曲线C 用心 爱心 专心 求点P的轨迹方程 设圆M过 0 1 A 且圆心M在曲线C上 EF是圆M在y轴上截得的弦 当M运动时弦长 EF是否为定值 请说明理由 解 依题意 2 1 2 1 2 1 22 xxyx 化简得xy2 2 CyxM 00 M到y轴的距离为 00 xxd 圆的半径 2 0 2 0 1 yxMAr 则1222 0 2 0 22 xydrEF CyxM 00 由 知 0 2 0 2xy 所以2122 0 2 0 xyEF 是定值 评析 这是解析几何中的定值问题 解题步骤通常是 一般条件下求解 化简 说明所评析 这是解析几何中的定值问题 解题步骤通常是 一般条件下求解 化简 说明所 求解的结果是否为定值 定值问题还有定点 定直线等 求解的结果是否为定值 定值问题还有定点 定直线等 数列 典型的结构是 用递推 对应等条件间接给定一个或多个数列 要 求明确数列的通项 并进一步求解 例 18 已知数列 n a的首项0 1 a 1 Nnaa nn 是首项为 1 公差为 3 的等差数列 求 n a的通项公式 求数列 n n a 2的前n项和 n S 解 依题意 根据等差数列通项公式 23 1 naa nn 当1 n时 53 1 naa nn 3 11 nn aa 即 12 Nna n 和 2 Nna n 都是公差为 3 的等差数列 因为0 1 a 1 2 a 所以 1 3 12 na n 23 2 na n 即 knk knk an 2 23 12 1 3 Nk n n n n n aaaaaS 22222 1 1 3 3 2 2 1 1 n n n n n aaaaaS 1 1 2 3 2 2 1 1 22222 两式相加得 n n nn n nn n n aaaaaaaaaS 2 2 2 2 23 1 1 21 2 23 2 12 1 n n nn n nn n n aaaaaaaaaS 1 1 2 21 3 23 1 12 2 2 2 2 6 两式相减得 n nnn n anS 2 53 232323213 1221 26 242 53 2 21 313 12 n n n nnn n ananS 用心 爱心 专心 3 26 24 n n n an S 所以 kn k kn k S k k n 2 3 49 24 12 3 19 24 2 12 Nk 评析 数列最基础的知识是等差等比数列的通项公式 前评析 数列最基础的知识是等差等比数列的通项公式 前n项和公式 以及推导公式过项和公式 以及推导公式过 程中体现的思想方法 数列问题大多数需要向这些最基础的知识转化 综合试题具体条件运程中体现的思想方法 数列问题大多数需要向这些最基础的知识转化 综合试题具体条件运 用这些最基础的知识用这些最基础的知识 例 19 设数列 n a n b n c的前n项和分别为 n S n T n R 对 Nn 15 nn Sa n n n a a b 1 4 122 nnn bbc 求 n a的通项公式 求证 2 3 n R 若nTn 对 Nn 恒成立 求 的取值范围 解 由15 nn Sa得1515 111 aSa 4 1 1 a 1 n时 15 11 nn Sa 两式相减得 nnnnn aSSaa5 5 11 1 4 1 nn aa 所以 n n a 4 1 1 4 5 4 1 4 1 4 4 1 4 nn n n n n a a b 416 20 116 5 122 nn nnn bbc 3 4 1 c nnn n nn n n c 16 25 416316 1625 416 116 1625 2 从而 nn ccR 2 3 4 2 3 15 16 16 25 3 4 16 1 1 16 1 1 16 25 3 4 16 25 16 25 16 25 3 4 2 1 232 n n 由nTn 得 n Tn 1 4 1 14 1 14 1 14 1 54 32 n n nT 若12 kn Nk 是奇数 则14 nTn n Tn 当且仅当4 若 kn2 Nk 是偶数 8 44 14 415 8 1 4 5 1 4 5 8 22 2 212 212 mm m mm mm bb nTn4 即当 4 时有nTn 综上所述 的取值范围是 4 用心 爱心 专心 评析 多个数列通常意味着多种形式的数列 多层次问题 解题通常需要有开阔的视野评析 多个数列通常意味着多种形式的数列 多层次问题 解题通常需要有开阔的视野 和思路 能适当选择 适时转换 关键是用等差等比数列性质处理好和思路 能适当选择 适时转换 关键是用等差等比数列性质处理好 起始起始 数列 不等式数列 不等式 的处理则要求适度的处理则要求适度 放大放大 或或 缩小缩小 处理好端点 处理好端点 函数 作为压轴题之一 函数题既有知识广度 也有解题深度 包括函数 基本性质 导数 参数 构造函数 不等式等 例 20 已知函数xaxxf 1ln Ra 是常数 讨论 xf的单调性 求 2 1 a时 xf零点的个数 求证 e n 2 1 1 2 1 1 2 1 1 242 Nn e为自然对数的底数 证明与解 1 2 2 21 1 xx axax x a x xf 若0 a 则0 xf xf在定义域内单调递增 若1 a 则0 xf xf在定义域内单调递减 若01 a 由0 xf解得 2 22 1 122 a aa x 2 22 2 122 a aa x 直接讨论 xf知 xf在 122 0 2 22 a aa 和 122 2 22 a aa 单调递减 在 122 122 2 22 2 22 a aa a aa 单调递增 观察得0 0 f 2 1 a时 由 得 xf在 347 0 单调递减 所以 xf在 347 0 上有且只有一个零点 0 0 347 1 ffxf 计算得 02ln 32 2 1 348ln 347 2 2 efxf 0 21 xfxf且 xf在区间 347 347 单调递增 所以 xf在 347 347 上有且 只有一个零点 根据对数函数与幂函数单调性比较知 存在充分大的RM 使 0 Mf 0 2 Mfxf且 xf在区间 347 单调递减 所以 xf在 7 347 M 上从而在 347 上有且只有一个零点 综上所述 2 1 a时 xf有 3 个零点 取1 a xxxf 1ln 由 得 xf单调递减 所以0 x 0 0 fxf xx 1ln 从而 用心 爱心 专心 2242242 2 1 2 1 2 1 1ln 2 1 1ln 2 1 1ln 2 1 1 2 1 1 2 1 1ln nn 1 2 1 1 2 1 nn 由xln单调递增得e n 2 1 1 2 1 1 2 1 1 242 评析 单调性刻画函数两个变量变化趋的一致性 是认识函数的重要角度 运用单调性评析 单调性刻画函数两个变量变化趋的一致性 是认识函数的重要角度 运用单调性 可以确定函数零点的个数 导数使单调性可以定量 精确研究 是重要工具 参数是可变的可以确定函数零点的个数 导数使单调性可以定量 精确研究 是重要工具 参数是可变的 常数 处理参数是比较高端的数学素养 常数 处理参数是比较高端的数学素养 例 21 在R上定义运算 bcbqcpqp4 3 1 b Rc 是常数 已知cxxf2 2 1 bxxf2 2 21 xfxfxf 如果函数 xf在1 x处有极值 3 4 试确定b c的值 求曲线 xfy 上斜率为c的切线与该曲线的公共点 记 xfxg 11 x 的最大值为M 若kM 对任意的b c恒 成立 试求k的取值范围 参考公式 2323 2 43bxbxbbxx 解 依题意bccxbxxxf 23 3 1 解 0 1 3 4 1 f f 得 1 1 c b 或 3 1 c b 若 1 1 c b 1 3 1 23 xxxxf 0 1 12 22 xxxxf xf在R上单调递减 在1 x处无极值 若 3 1 c b 33 3 1 23 xxxxf 3 1 32 2 xxxxxf 直接讨论知 xf在1 x处有极大值 所以 3 1 c b 为所求 解ctf 得0 t或bt2 切点分别为 0 bc 3 4 3 2 3 bbcb 相应 的切线为bccxy 或 3 3 4 bbccxy 解bccxbxxbccx 23 3 1 得 0 x或bx3 解bccxbxxbbccx 233 3 1 3 4 即043 323 bbxx得 bx 或bx2 综合可知 0 b时 斜率为c的切线只有一条 与曲线的公共 点只有 0 0 0 b时 斜率为c的切线有两条 与曲线的公共点分别为 0 bc 用心 爱心 专心 4 3 bcb和 3 3 4 2 3 bcbb 3 4 3 bb 22 cbbxxg 若1 b 则 xf在 1 1 是单调函数 21 21 1 1 max cbcbffM 因为 1 f与 1 f之 差的绝对值4 4 1 1 bff 所以2 M 若1 b xf在 1 1 bx取极值 则 1 1 max bfffM 2 1 1 bfbf 若01 b 1 1 bfff 2 1 2 1 1 2 1 1 max bbffbffM 2 1 若10 b 1 1 bfff 1 max bffM 2 1 1 2 1 1 2 1 2 bbff 当0 b 2 1 c时 2 1 2 xxfxg在 1 1 上的最大值 2 1 M 所以 k的取值范围是 2 1 评析 这是函数综合的另一种类型 包括新定义函数 极值 切线 绝对值 参数与不评析 这是函数综合的另一种类型 包括新定义函数 极值 切线 绝对值 参数与不 等式等 要求从多方面比较深入地探讨函数性质 解题关键是把握主要变量和主要的数量关等式等 要求从多方面比较深入地探讨函数性质 解题关键是把握主要变量和主要的数量关 系 系 数学综合复习参考 数学综合复习参考 1 1 已知 0 4 1 m m xf x 当 1 x Rx 2 且1 21 xx时 总 有 2 1 21 xfxf 求m的值 设数列 n a满足 2 1 0 n n f n f n f n fan 求 n a的通项公式 对 Nn 1 1 n n n n a k a k 恒成立 求k的取值范围 其中0 k且1 k 解 依题意 取 2 1 21 xx得 4 1 2 1 f 即 4 1 4 1 m 所以2 m 用心