2011高考数学一轮复习 矩阵与变换素材 苏教版选修4-2

选考选考 4 24 2 知识体系知识体系 最新考纲最新考纲 1 二阶矩阵与平面向量 了解矩阵的有关概念 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法 2 几种常见的平面变换 理解矩阵对应的变换 把平面上的直线变成直线 即 A 1 2 1A 2A 理解 几种常见的平面变换 恒等变换 伸压变换 反射变换 旋转变换 投影变换 切变变换 了解单位矩阵 3 矩阵的复合与矩阵的乘法 掌握二阶矩阵的乘法 理解矩阵乘法的简单性质 不满足交换律 满足结合律 不满足消去 律 4 逆变换与逆矩阵 理解逆矩阵的意义 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件 理解逆矩阵的唯一性和 1 11 AB B A 等简单性质 并了解其在变换中的意义 会从几何变换的角度求出 AB 的逆矩阵 了解二阶行列式的定义 会用二阶行列式求逆矩阵 了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义 会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组 理解二元线性方程组解的存在性 唯一性 5 特征值与特征向量 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义 会求二阶矩阵的特征值与特征向量 只要求特征值是两个不同实数的情形 会用二阶矩阵的特征值 特征向量解决简单的问题 了解三阶或高阶矩阵 了解矩阵的简单应用 基础热身基础热身 二阶矩阵与平面向量 矩阵与变换 几种常见的平面变换 变换的复合与矩阵的乘法 逆变换与逆矩阵 特征值与特征向量 矩阵的简单运用 1 矩阵的相关概念 1 矩阵定义 在数学中 我们把形如 2809023 38688324 m 这样的 阵列称为矩阵 同一横排中按原来次序排列的一行数 或字母 叫做矩阵的 同一 竖排中按原来次序排列的一列数 或字母 叫做矩阵的 而组成矩阵的每一个数 或字母 称为矩阵的 2 上述三个矩阵分别是 2 1 矩阵 2 2 矩阵 二阶矩阵 2 3 矩阵 注意行的个数在 前 3 矩阵相等 行数 列数分别 对应的元素也分别 的两个矩阵 此时记作 A B 4 行矩阵 a11 a12 仅有一行 列矩阵 11 21 a a 仅有一列 5 向量 a x y 平面上的点 P x y 都可以看成行矩阵 x y 或列矩阵 x y 规定所有 的平面向量均写成向量 x y 的形式 6 重点在于对矩阵概念的理解 二阶矩阵与平面列向量的乘法运算 明确一个二阶矩阵和一 个平面向量的乘法对应着一个变换 它把平面上的一个向量变成另一个向量 2 二阶矩阵与平面向量的乘法 1 定义 规定行矩阵 1112 aa与列矩阵 11 21 b b 的乘法规则为 11 1112 21 b aa b 二阶矩阵 1112 2122 aa aa 与列向量 0 0 x y 的乘法规则为 01112 02122 xaa yaa 2 由矩阵 M 确定的变换 T 通常记作 MT 要求能够熟练地进行矩阵的乘法形式与坐标形 式之间的转换 并能从几何的角度理解这种变换 3 二阶矩阵与线性变换 1 一些常见的基本的变换矩阵 如 10 1020101010 1 01010101010 2 cossin01010110011001111110 sinsin10101010011001000111 等 理解这些变换的几何意义 2 二阶矩阵对于平面向量所实施的变换 都是 即有 M 1 2 1M 2M 这样 我们在研究多边形以及直线在矩阵的变换作用下所形成的图形时 只须考虑端 顶 点的变化结果即可 这也是后面运用特征值与特征向量求解问题的依据 3 伸压 反射 切变变换这三种几何变换称为 对应的变换矩阵称为 4 变换的复合 矩阵的乘法以及矩阵乘法的简单性质 1 数乘平面向量 由矩阵的乘法可以看出 矩阵的乘法对应于变换的复合 一一对应的 平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或的 复合 2 矩阵的乘法 一般地 对于矩阵 11121112 21222122 aabb aabb 规定乘法法则为 111211121111212111121222 212221222111222121122222 aabbabababab aabbabababab 3 性质 设 A A B B C C 为三个不相等的非零矩阵 则 AB BAAB BA 即矩阵不满足交换律 A A BCBC ABAB C C 即矩阵满足结合律 若 AB ACAB AC 但 B CB C 即矩阵不满足消去律 5 二阶行列式与逆矩阵 逆矩阵与二元一次方程组 1 逆矩阵的定义 对于二阶矩阵 A A B B 若有 AB BA AB BA 则称 A 是可逆的 B B 称为 A A 的 逆 矩阵是唯一的 2 性质 若二阶矩阵 A A B B 均存在逆矩阵 则 ABAB 也存在逆矩阵 且 1 AB 已知 A A B B C C 为二阶矩阵 且 AB ACAB AC 若矩阵 A A 存在逆矩阵 则 3 行列式定义 我们把 ab cd 称为 它的运算结果是一个 记为 det A ab adbc cd 6 特征值与特征向量 1 定义 设 A 是一个二阶矩阵 如果对于实数 存在一个 向量 a 使 Aa aAa a 那么 称为 A 的一个特征值 而 a 称为 A 的属于特征值 的一个 2 特征多项式 设 A ab cd 是一个二阶矩阵 R 我们把行列式 f ab cd 称为 A 的特征多项式 基础达标基础达标 1 1 13 3 31 2 点 M 1 3 在矩阵 10 01 作用下变换得到点 M1 点 M1在矩阵 10 01 作用下变换 得到点 M2 则 M2的坐标是 3 曲线 y 2 logx在 M 01 10 作用下变换的结果是曲线方程 4 已知方程 AX BAX B 其中 A 12 23 B 2 1 则 X 5 已知向量 1 1 3 2 1 1 2 4 若 m 1 n 2 则 m n 的值分别为 互动学案互动学案 典例分析典例分析 例 1 1 已知变换 11 10 xxx yyy 试将它写成坐标变换的形式 2 已知变换 xxx yyy 试将它写成矩阵乘法的形式 分析分析 对矩阵变换的基础知识 首先要理解二阶矩阵与平面向量的乘法对应着平面向量之间 的变换 并掌握这种变换的坐标形式与矩阵乘法的形式 解解 1 T xxxy yyx 2 T 10 01 xxxx yyyy 举一反三举一反三 1 向量 3 4 在矩阵 12 21 作用下变换得到的向量是 例 2 计算下列各式 并从变换角度说明其几何意义 1 105 012 2 015 102 3 115 012 分析分析 运用二阶矩阵与平面向量的乘法法则进行计算 通过比较变换前后的点的坐标说明其 几何意义 解解 1 1055 0122 显然变换前后点的横坐标不变 纵坐标相反 这是关于 x 轴对称的反射变换 2 0152 1025 变换前后点的横 纵坐标交换 这是关于直线 y x 对称的反射变 换 3 11531 512 01220 5 1 2 此变换保持点的纵坐标不变 横坐标按纵坐 标的一倍减少 这是沿 x 轴负方向的切变变换 举一反三举一反三 2 直线 y 3x 在矩阵 M M 01 10 作用下变换得到的图形是 例 3 按要求解方程组 35 23 xy xy 1 用行列式求解 2 用逆矩阵求解 分析分析 用行列式求解二元一次方程组 就是求相应的 D Dx Dy 而运用矩阵解方程组 首先 要把方程组改写为 AX BAX B 的形式 再由 X X 1B A 求解 解解 1 因为 D 31 12 3 2 1 1 7 Dx 51 32 5 2 1 3 7 Dy 35 13 3 3 5 1 14 所以 7 1 7 14 2 7 x y D x D D y D 即 1 2 x y 即原方程组的解为 1 2 x y 2 设 A A 31 12 X X x y B B 5 3 则方程组可以表示为 AX BAX B 的形式 因为 1 A 21 77 13 77 所以 X X 1 A B B 21 5 77 133 77 21 53 177 132 53 77 则原方程组的解为 1 2 x y 举一反三举一反三 3 利用逆矩阵解下列方程组 1 23 43 xy xy 2 38 233 xy xy 例 4 求下列矩阵的特征值和特征向量 1 01 10 2 12 14 分析分析 常规方法应是根据矩阵写出特征多项式 f 由 f 0 求出特征值 代入方程 A A 求出相应的特征向量 但若矩阵变换有明显的几何意义 则可根据变换特点写出 特征值与特征向量 解解 1 从变换的几何意义来看 矩阵 01 10 的作用是关于直线 y x 的反射变换 因 此 与直线 y x 平行的向量保持变换前后的大小与方向都不变 有特征值 1 1 及相应的 特征向量 1 1 又与直线 y x 垂直的向量保持变换前后大小不变而方向相反 故有特 征值 2 1 及相应的特征向量 1 1 2 特征多项式 f 12 14 2 5 6 由 f 0 解得 1 2 2 3 当 1 2 时 2 1202 2401 xyx xyy 2 3 时 3 1201 3401 xyx xyy 综上所述 矩阵 12 14 有特征值 1 2 及相应的特征向量 2 1 特征值 2 3 及相应 的特征向量 1 1 举一反三举一反三 4 设矩阵 A A 1 22 x x 的一个特征值为 1 则 x 的值是 例 5 为了保证信息安全传输 设计一种密码系统 其加密 解密原理如下图 现在加密方式为 把发送的数字信息 X 写为 a11a21a12a22 的形式 先左乘矩阵 A A 14 22 再左乘矩阵 B B 62 55 148 55 得到密文 Y 现在已知接收方得到的密文是 4 12 32 64 试破解该密码 分析分析 加密的过程经过了两次矩阵变换 可以先运用矩阵的乘法求出其变换的复合 再求其 逆矩阵破解密码 解由题意 BABA 62 1424 55 1482268 55 明文 X密文 Y密文 Y明文 X 加密 发送 解密 1 BA 1 1 2 31 44 BABA X X 432 1264 X 1 1 1 43213220 2 126431126408 44 BA 即发送的数据信息是 2008 举一反三举一反三 5 当兔子和狐狸处于同一栖息地时 若忽略其他因素 只考虑兔子数量和狐狸数量的相互 影响 两个种群的变化有如下规律 由于自然繁殖 兔子数每年增长 10 狐狸数每年减少 15 由于狐狸吃兔子 兔子数每年减少狐狸数的 0 15 倍 狐狸数每年增加兔子数的 0 1 倍 第 n 年时 兔子数量用 Rn表示 狐狸数量用 Fn表示 初始时刻 即第 0 年 兔子数量有 R0 100 只 狐狸数量有 F0 30 只 请用所学知识解决如下问题 1 列出兔子与狐狸的生态模型 2 求出 Rn Fn关于 n 的关系式 3 讨论 当 n 越来越大时 兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态 说明你 的理由 易错警示易错警示 例 1 求 AB 的逆矩阵 其中 A A 20 01 B B 10 04 错解错解 1 11 1 1100 0 2 21 10 010 4 4 B A B A 错解分析错解分析 运用公式 1 11 B B A A 求出 AB 的逆矩阵 而 错解 中错将公式记忆成 1 11 B A B A 正解正解 1 1 0 2 01 A 1 10 1 0 4 B 1 11 1 1010 0 2 21 10 010 4 4 B B A A 例 2 求矩阵 52 42 的特征值和特征向量 错解错解 特征多项式 f 52 42 2 3 2 由 f 0 解得 1 1 2 2 错解分析错解分析 行列式的运算公式运用错误导致特征值求错 常规方法应是根据矩阵写出特征多 项式 f 由 f 0 求出特征值 代入方程 A A 求出相应的特征向量 正解正解 特征多项式 f 52 42 2 3 18 由 f 0 解得 1 6 2 3 当 1 6 时 65202 46201 xyx xyy 当 2 3 时 35201 43204 xyx xyy 综上所述 矩阵 52 42 有特征值 1 6 及相应的特征向量 2 1 特征值 2 3 及相应的 特征向量 1 4 考点演练考点演练 1 向量 2 4 在矩阵 12 21 作用下变换得到的向量是 2 如果矩阵 11 01 把点 A 变成点 B 3 1 则点 A 的坐标是 3 计算 103 025 11 3 22 115 22 4 已知点 P x y 在矩阵 M 的作用下变换为点 P y x 则矩阵 M M 5 若 2 3 x x x 则 x 6 若曲线 2 x 4xy 2 2 y 1 在矩阵 1 1 a b 的作用下变换成曲线 2 x 2 2 y 1 则 a b 7 已知矩阵 M M 01 10 N N 10 01 则 1 MN 8 若 N N 4232 3121 则 N N 9 已知二阶矩阵 A A 有特征值 1 3 及对应特征向量 1 1 1 特征值 2 1 及对应特征向 量 2 1 1 则矩阵 A A 10 已知 A A 03 24 B B 12 03 若 AX BAX B 则 X X 11 研究函数 y 2sinx 在矩阵 M M 10 1 0 3 对应的变换作用下的结果 12 已知矩阵 M M 32 12 9 3 3 9 求 5 M 5 M 参参 考考 答答 案案 选考选考 4 24 2 基础梳理基础梳理 1 1 矩形数字 或字母 行 列 元素 3 相等 相等 2 1 a11 b11 a12 b21 1112 0 0 2122 0 0 aa aa y x y x 3 2 线性变换 3 初等变换 初等变换 矩阵 4 1 多次 5 1 E E 逆矩阵 2 11 B A B CB C 3 二阶行列式数值 6 1 非零 特征向量 2 2 a d ad bc 基础达标基础达标 1 2 2 3 解析解析 1 13312 13 32 3 31 3 1 13 2 1 3 解析解析 10111011 01330133 3 y 2x解析 由 T TM M 01 10 xx yy 即 T TM M xxy yyx 显然 T TM M实施的是 关于直线 y x 的对称变换 曲线 y 2 logx关于直线 y x 对称的方程是 y 2 x 4 4 3 解析解析 由 AX BAX B 得 X X 1 A B B 因为 A A 12 23 所以 1 A 32 21 即 X X 1 A B B 3224 2113 5 1 2 5 2 解析解析 由 m 1 n 2得 1 2 2 345 2 m mn mn n 解得 举一反三举一反三 1 11 2 解析解析 1 32412311 2 3 142142 2 y 1 3 x 解析解析 由 01 10 xy yx 知 TM xxy yyx 即有 xyxy yxyx 所以 x 3y 即 y 1 3 x 3 1 设 A A 12 41 X X x y B B 3 3 则方程组可表示为 AX BAX B 又 1 12 99 41 99 A 则 X X 1 12 31 99 4131 99 A B 即原方程组的解为 1 1 x y 2 设 A A 31 23 X X y x B B 8 3 则方程组可表示为 AX BAX B 又 1 31 1111 23 1111 A 则 X X 1 3127 8 111111 2337 111111 A B 即原方程组的解为 27 11 7 11 x y 4 1 6 解析解析 矩阵 A 的特征多项式为 f 2 x 2 x x 2 x 2 0 所以 f 1 1 2 x 2 x 2 0 整理得 2 x 2x 5 0 解得 x 1 6 5 1 11 11 1 10 15 0 10 85 nnn nnn RRF FRF n 1 2 设 n n n R F M M 1 10 15 0 10 85 n M M n 1 M M M M n 2 n M 0 又矩阵 M M 的特征多项式 f 1 10 15 0 10 85 2 1 95 0 95 1 0 95 令 f 0 得 1 1 2 0 95 特征值 1 1 对应的一个特征向量 1 3 2 特征值 2 0 95 对应的一个特征向量为 2 1 1 且 0 10031 70110 3021 70 1 110 2 n n M 0 70 1 n 1 110 2 n 2 31 70110 21 0 95 n 210 110 140 110 0 95 0 95 n n 210 110 140 110 0 95 0 95 n n n n R F 3 当 n 越来越大时 0 95 n 越来越接近于 0 Rn Fn分别趋向于常量 210 140 即随着时间 的增加 兔子与狐狸的数量逐渐增加 当时间充分长后 兔子与狐狸的数量将达到一个稳定 的平衡状态 考点演练考点演练 1 6 0 解析解析 1 2241226 2 2 142140 2 2 1 解析解析 设 A x y 则有 113 011 xxy yy 所以 32 11 xyx yy 3 3 10 1 1 解析解析 130 51033 032 502510 1111 35 31 2222 115111 35 2222 4 01 10 解析解析 设 M M 1112 2122 aa aa 由题意得 M M xy yx 即 1112 2122 aaxy aayx 即 11 111212 212221 22 0 1 1 0 a a xa yya a xa yxa a M M 01 10 5 2 或 3 解析解析 2 3 x x 2 x 6 由 2 x 6 x 得 2 x x 6 0 解得 x 2 或 x 3 6 2 解析解析 由 1 1 axxay bybxy 知 xxay ybxy 22 21 xy 22 21x aybx y 即 2 222 1 22221ab xy y