2012届高三数学一轮复习 第八章《平面解析几何》8-5精品练习

用心 爱心 专心 1 第第 8 8 章章 第第 5 5 节节 一 选择题 1 文 2010 山东潍坊 已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y 4x 则该双 曲线的离心率是 A B 1715 C D 17 4 15 4 答案 C 解析 设双曲线方程为 1 则由题意得 4 16 e y2 a2 x2 b2 a b a2 c2 a2 17 4 理 2010 河北唐山 过双曲线 1 的一个焦点F作一条渐近线的垂线 若垂足 x2 a2 y2 b2 恰在线段OF O为原点 的垂直平分线上 则双曲线的离心率为 A 2 B 5 C D 23 答案 C 解析 如图 FM l 垂足为M M在OF的中垂线上 OFM为等腰直角三角形 MOF 45 即 1 e b a2 2 2010 全国 文 已知F1 F2为双曲线C x2 y2 1 的左 右焦点 点P在C上 F1PF2 60 则 PF1 PF2 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解析 在 F1PF2中 由余弦定理 用心 爱心 专心 2 cos60 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 PF1 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 1 1 4a2 4c2 2 PF1 PF2 2b2 PF1 PF2 b 1 PF1 PF2 4 3 文 2010 合肥市 中心在原点 对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆 x 2 2 y2 1 都相切 则双曲线C的离心率是 A 或 2 B 2 或 2 3 33 C 或 D 或 3 6 2 2 3 3 6 2 答案 A 解析 焦点在x轴上时 由条件知 e 同理 焦点 b a 1 3 c2 a2 a2 1 3 c a 2 3 3 在y轴上时 此时e 2 b a3 理 已知F1 F2是双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 以线段F1F2为边作正 x2 a2 y2 b2 MF1F2 若边MF1的中点在双曲线上 则双曲线的离心率为 A 4 2 B 1 33 C D 1 3 1 23 答案 D 解析 设线段MF1的中点为P 由已知 F1PF2为有一锐角为 60 的直角三角形 PF1 PF2 的长度分别为c和c 3 由双曲线的定义知 1 c 2a 3 e 1 2 3 13 4 已知椭圆 1 和双曲线 1 有公共的焦点 那么双曲线的渐近线方 x2 3m2 y2 5n2 x2 2m2 y2 3n2 程为 A x y B y x 15 2 15 2 C x y D y x 3 4 3 4 答案 D 用心 爱心 专心 3 解析 由题意c2 3m2 5n2 2m2 3n2 m2 8n2 双曲线渐近线的斜率k 3 n 2 m 3 4 方程为y x 3 4 5 文 2010 湖南师大附中模拟 已知双曲线 1 直线l过其左焦点F1 交双 x2 m y2 7 曲线左支于A B两点 且 AB 4 F2为双曲线的右焦点 ABF2的周长为 20 则m的值为 A 8 B 9 C 16 D 20 答案 B 解析 由已知 AB AF2 BF2 20 又 AB 4 则 AF2 BF2 16 据双曲线定义 2a AF2 AF1 BF2 BF1 所以 4a AF2 BF2 AF1 BF1 16 4 12 即a 3 所以m a2 9 故选 B 理 2010 辽宁锦州 ABC中 A为动点 B C为定点 B C 其中 m 2 0 m 2 0 m 0 且m为常数 且满足条件 sinC sinB sinA 则动点A的轨迹方程为 1 2 A 1 B 1 16y2 m2 16x2 3m2 x2 16 y2 16 3 C 1 x D 1 16x2 m2 16y2 3m2 m 4 16x2 m2 16y2 3m2 答案 C 解析 依据正弦定理得 AB AC BC 16x2 m2 16y2 3m2 m 4 6 设双曲线 1 a 0 b 0 的两焦点为F1 F2 点Q为双曲线左支上除顶点外的 x2 a2 y2 b2 任一点 过F1作 F1QF2的平分线的垂线 垂足为P 则点P的轨迹是 A 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 抛物线的一部分 D 圆的一部分 答案 D 用心 爱心 专心 4 解析 延长F1P交QF2于R 则 QF1 QR QF2 QF1 2a QF2 QR 2a RF2 又 OP RF2 OP a 1 2 7 文 2010 温州市十校 已知点F是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点E是 x2 a2 y2 b2 该双曲线的右顶点 过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点 若 ABE是锐角三角 形 则该双曲线的离心率e的取值范围是 A 1 B 1 2 C 1 1 D 2 1 22 答案 B 解析 由题意易知点F的坐标为 c 0 A B E a 0 因为 c b2 a c b2 a ABE是锐角三角形 所以 0 即 0 整理得 EA EB EA EB c a b2 a c a b2 a 3e2 2e e4 e e3 3e 3 1 0 e e 1 2 e 2 1 e 1 2 故选 B 理 2010 浙江杭州质检 过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点F引它的渐近线 x2 a2 y2 b2 的垂线 垂足为M 延长FM交y轴于E 若FM ME 则该双曲线的离心率为 A 3 B 2 C D 32 答案 D 解析 由条件知l y x是线段FE的垂直平分线 OE OF c 又 FM b a b bc a2 b2 在 Rt OEF中 2c2 4b2 4 c2 a2 e 1 e c a2 8 若直线y kx 2 与双曲线x2 y2 6 的右支交于不同的两点 则k的取值范围是 用心 爱心 专心 5 A B 15 3 15 3 0 15 3 C D 15 3 0 15 3 1 答案 D 解析 直线与双曲线右支相切时 k 直线y kx 2 过定点 0 2 当 15 3 k 1 时 直线与双曲线渐近线平行 顺时针旋转直线y x 2 时 直线与双曲线右支有 两个交点 k0 的中心和左 x2 a2 焦点 点P为双曲线右支上的任意一点 则 的取值范围为 OP FP A 3 2 B 3 2 33 C D 7 4 7 4 答案 B 解析 由条件知a2 1 22 4 a2 3 双曲线方程为 y2 1 x2 3 设P点坐标为 x y 则 x y x 2 y OP FP y2 1 x2 2x y2 x2 3 OP FP x2 2x 1 x2 2x 1 x2 3 4 3 x 2 4 3 3 4 7 4 又 x P为右支上任意一点 3 3 2 故选 B OP FP 3 理 2010 新课标全国理 已知双曲线E的中心为原点 F 3 0 是E的焦点 过F的直 线l与E相交于A B两点 且AB的中点为N 12 15 则E的方程为 A 1 B 1 x2 3 y2 6 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 6 y2 3 x2 5 y2 4 用心 爱心 专心 6 答案 B 解析 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 由题意知c 3 a2 b2 9 设 x2 a2 y2 b2 A x1 y1 B x2 y2 则有 Error 两式作差得 kAB y1 y2 x1 x2 b2 x1 x2 a2 y1 y2 4b2 5a2 且kAB 1 所以 4b2 5a2代入a2 b2 9 得a2 4 b2 5 所以双曲线标 y1 y2 x1 x2 15 0 12 3 准方程是 1 故选 B x2 4 y2 5 10 文 过椭圆 1 a b 0 的焦点垂直于x轴的弦长为a 则双曲线 1 x2 a2 y2 b2 1 2 x2 a2 y2 b2 的离心率e的值是 A B 5 4 5 2 C D 3 2 5 4 答案 B 解析 将x c代入椭圆方程得 1 c2 a2 y2 b2 y2 b2 b2 b2 y 1 c2 a2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 a a b2 a2 e2 b2 a 1 4 1 4 c2 a2 a2 1 4a2 a2 5 4 e 故选 B 5 2 理 2010 福建宁德一中 已知抛物线x2 2py p 0 的焦点F恰好是双曲线 1 y2 a2 x2 b2 的一个焦点 且两条曲线交点的连线过点F 则该双曲线的离心率为 A B 1 22 C 1 D 无法确定 2 答案 C 解析 由题意知 c 根据圆锥曲线图象的对称性 两条曲线交点的连线垂直于y轴 p 2 对双曲线来说 这两个交点连线的长度是 对抛物线来说 这两个交点连线的长度是 2b2 a 2p p 2c 4c b2 2ac 2b2 a c2 a2 2ac e2 2e 1 0 解得e 1 2 用心 爱心 专心 7 e 1 e 1 2 二 填空题 11 文 2010 广东实验中学 已知P是双曲线 1 右支上的一点 双曲线的一 x2 a2 y2 9 条渐近线的方程为 3x y 0 设F1 F2分别为双曲线的左 右焦点 若 PF2 3 则 PF1 答案 5 解析 由双曲线的一条渐近线的方程为 3x y 0 且b 3 可得 a 1 由双曲线的定 义知 PF1 PF2 2a PF1 3 2 PF1 5 理 2010 东营质检 已知双曲线 1 的右焦点为 0 则该双曲线的渐近 x2 9 y2 a13 线方程为 答案 y x 2 3 解析 由题意知 9 a 13 a 4 故双曲线的实半轴长为a 3 虚半轴长b 2 从而渐近线方程为y x 2 3 12 2010 惠州市模考 已知双曲线 y2 1 a 0 的右焦点与抛物线y2 8x焦点重合 x2 a2 则此双曲线的渐近线方程是 答案 y x 3 3 解析 y2 8x焦点是 2 0 双曲线 y2 1 的半焦距c 2 x2 a2 又虚半轴b 1 又a 0 a 22 123 双曲线渐近线的方程是y x 3 3 13 2010 北京东城区 若双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点为F1 F2 P为双曲 x2 a2 y2 b2 线上一点 且 PF1 3 PF2 则该双曲线离心率的取值范围是 答案 1 e 2 解析 由题意Error 用心 爱心 专心 8 Error PF1 AF1 3a a c e 2 10 b 0 的一条渐近线方程为y x 且其一个焦点与抛物线 x2 a2 y2 b23 y2 8x的焦点重合 则双曲线的离心率为 2 将函数y cos2x的图象向右平移个单位 可以得到函数y sin的图象 6 2x 6 在 Rt ABC中 AC BC AC a BC b 则 ABC的外接圆半径r 类比到 a2 b2 2 空间 若三棱锥S ABC的三条侧棱SA SB SC两两互相垂直 且长度分别为a b c 则 三棱锥S ABC的外接球的半径R a2 b2 c2 2 其中真命题的序号为 把你认为是真命题的序号都填上 答案 解析 设双曲线方程为m2x2 y2 1 a2 b2 1 c2 a2 b2 1 m2 m2 1 m2 e 4 m0 b 0 的一条渐近线方程为y x 可得 因此离心 x2 a2 y2 b23 b a3 率e 2 正确 c a a2 b2 a a2 3a 2 a 用心 爱心 专心 9 函数y cos2x的图象向右平移个单位得y cos2 x cos 2x 6 6 3 sin 2x sin 2x 的图象 错误 2 3 6 将三棱锥S ABC补成如图的长方体 可知三棱锥S ABC外接球的直径就等于该长方 体的体对角线的长 则R 正确 a2 b2 c2 2 三 解答题 15 文 已知双曲线的中心在原点 离心率为 2 一个焦点F 2 0 1 求双曲线方程 2 设Q是双曲线上一点 且过点F Q的直线l与y轴交于点M 若 2 求直 MQ QF 线l的方程 解析 1 由题意可设所求的双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 则有e 2 c 2 a 1 则b c a3 所求的双曲线方程为x2 1 y2 3 2 直线l与y轴相交于M且过焦点F 2 0 l的斜率k一定存在 设为k 则l y k x 2 令x 0 得M 0 2k 2 且M Q F共线于l MQ QF 2或 2 MQ QF MQ QF 当 2时 xQ yQ k MQ QF 4 3 2 3 Q 4 3 2 3k Q在双曲线x2 1 上 y2 3 1 k 16 9 4k2 27 21 2 用心 爱心 专心 10 当 2时 MQ QF 同理求得Q 4 2k 代入双曲线方程得 16 1 k 4k2 3 3 2 5 则所求的直线l的方程为 y x 2 或y x 2 21 2 3 5 2 理 2010 湖南湘潭市 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 2 0 右顶点为 0 3 1 求双曲线C的方程 2 若直线l y kx 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B 且 2 其中O为 2 OA OB 原点 求k的取值范围 解析 1 设双曲线 1 x2 a2 y2 b2 由已知得a c 2 再由a2 b2 22得 b2 1 3 故双曲线C的方程为 y2 1 x2 3 2 将y kx 代入 y2 1 中得 2 x2 3 1 3k2 x2 6kx 9 0 2 由直线l与双曲线交于不同的两点得 Error k2 且k22 得 xAxB yAyB 2 OA OB xAxB yAyB xAxB kxA kxB 22 k2 1 xAxB k xA xB 2 2 k2 1 k 2 9 1 3k22 6 2k 1 3k2 3k2 7 3k2 1 于是 2 即 0 3k2 7 3k2 1 3k2 9 3k2 1 解此不等式得 k2 3 1 3 用心 爱心 专心 11 由 得 k2 1 k 1 或 1 k 1 3 3 3 3 3 故k的取值范围为 1 3 3 3 3 1 16 2010 江苏苏州模拟 已知二次曲线Ck的方程 1 x2 9 k y2 4 k 1 分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件 2 若双曲线Ck与直线y x 1 有公共点且实轴最长 求双曲线方程 3 m n为正整数 且m n 是否存在两条曲线Cm Cn 其交点P与点F1 0 F2 5 0 满足 0 若存在 求m n的值 若不存在 说明理由 5 PF1 PF2 解析 1 当且仅当Error 即k 4 时 方程表示椭圆 当且仅当 9 k 4 k 0 即 4 k0 b 0 相 x2 a2 y2 b2 交于B D两点 且BD的中点为M 1 3 1 求C的离心率 2 设C的右顶点为A 右焦点为F DF BF 17 证明 过A B D三点的圆与x 轴相切 解析 1 由题意知 l的方程为 y x 2 代入C的方程并化简得 b2 a2 x2 4a2x 4a2 a2b2 0 设B x1 y1 D x2 y2 则x1 x2 x1 x2 4a2 b2 a2 4a2 a2b2 b2 a2 由M 1 3 为BD的中点知 1 故 1 x1 x2 2 1 2 4a2 b2 a2 即b2 3a2 故c 2a a2 b2 C的离心率e 2 c a 2 由 知 C的方程为 3x2 y2 3a2 A a 0 F 2a 0 x1 x2 2 x1 x2 1 的两条直线l