广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立体几何4 理

用心 爱心 专心 1 20122012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编 理 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编 理 立体几何 立体几何 4 4 广东省肇庆市 2012 届高三第二次模拟理 6 已知某几何体的三视图如图 1 所示 则该几 何体的体积为 A B C D 4 16 3 1632 8 32 3 328 答案 A 解析 由三视图可知 几何体是底部是一底面对角线长为的正方形 高为 4 的长方体 2 2 上部为一球 球的直径等于正方形的边长 设正方形的边长为 则 即 a 22 2 2 2 a 2a 所以 长方体的体积为 球的体积为 1 2 2 416V 3 2 44 1 33 V 故几何体的体积为 12 4 16 3 VVV 广东省湛江市 2012 届高三普通高考模拟测试 二 理 4 个几何体的三视图及其尺寸 如下 则该几何体的表面积为 A B C D 答案 C 广东省镇江一中 2012 高三 10 月模拟理 4 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图 用心 爱心 专心 2 如右图所示 则相应的侧 左 视图可以为 A B C D 答案 D 广东省云浮中学 2012 届高三第一次模拟理 6 若某空间几何体的三视图如图所示 则该 几何体的体积是 主 主 主 主 主 主 主 主 主 2 2 2 A B C D 4 22 2 4 2 3 2 2 3 答案 B 广东省云浮中学 2012 届高三第一次模拟理 7 已知平面 直线 点 A 有下面四个命题 m l A 若 则 与必为异面直线 l mA lm B 若则 llm AAm A C 若则 lmlm AA A D 若 则 ml lm l 其中正确的命题是 用心 爱心 专心 3 答案 D 广东省云浮中学 2012 届高三第一次模拟理 8 某种游戏中 黑 黄两个 电子狗 从棱和为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1的顶点 A 出发沿棱 向前爬行 每爬完一条棱称为 爬完一段 黑 电子狗 爬行的路线是AA1 A1D1 黄 电子狗 爬行的路线是AB BB1 它们都遵循如下规则 所爬行的第i 2 段与第i 段所在直线必须异面直线 其中i是正整数 设黑 电子狗 爬完 2012 段 黄 电子狗 爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处 这时黑 黄 电子狗 间的距离是 A 0B 1C D 23 答案 D 广东省粤西北九校 2012 届高三联考理 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 8 2 D 2 3 答案 A 广东省英德市一中 2012 届高三模拟考试理 1010 一个棱锥的三视图如图所示 则这个棱锥 的体积为 答案 12 广东省镇江一中 2012 高三 10 月模拟理 18 本题满分14分 如图 四棱锥 SABCD 中 M是SB的中点 ABCD BCCD 且2ABBC 1CDSD 又SD 面SAB 1 证明 CDSD 2 证明 CM面SAD 3 求四棱锥SABCD 的体积 用心 爱心 专心 4 S A B CD M 答案 解 S A B CD MN 1 证明 由SD 面SAB ABSAB 面 所以SDAB 2f 又 ABCD 3f 所以CDSD 4f 2 取SA中点N 连结 ND NM 6f 则 NMAB 且 1 2 MNABDC ABCD 所以NMCD是平行四边形 7f NDMC 8f 且 NDSAD MCSAD 面面 所以 CM面SAD 9f 3 3 2 SABCDSABDABCDABD VVSS 10f 过D作DHAB 交于H 由题得 22 125BDAD 11f 在 Rt DSA Rt DSB 中 2 2 512SASB 12f 所以 13 33 SABDD SABABS VVDS S 13f 所以 333 232 SABCD V 14f 广东省肇庆市 2012 届高三第一次模拟理 19 本小题满分 14 分 用心 爱心 专心 5 如图 4 已知斜三棱柱 侧棱不垂直于底面 的侧面与底面ABC垂 111 ABCABC 11 A ACC 直 2 2 3 2 2BCACAB 11 6AAAC 求侧棱在平面上的正投影的长度 1 B B 11 A ACC 设 AC 的中点为 D 证明底面 1 AD ABC 求侧面与底面ABC所成二面角的余弦值 11 A ABB 答案 方法一 是斜三棱柱 平面 111 ABCABC 1 BB 11 A ACC 故侧棱B1B在平面上的正投影的长度等于侧棱的长度 2 分 11 A ACC 1 B B 又 故侧棱在平面的正投影的长度等于 3 分 11 6BBAA 1 B B 11 A ACC6 证明 2 3 AC 11 6AAAC 222 11 ACAAAC 三角形是等腰直角三角形 5 分 1 AAC 又 D 是斜边 AC 的中点 6 分 1 ADAC 平面 平面 A1D 底面 7 分 11 A ACCABCABC 作DE AB 垂足为E 连A1E A1D 面ABC 得A1D AB 平面 8 分 AB 1 AED 从而有 A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角 9 分 1 AEAB 2 2 3 2 2BCACAB 222 ACBCAB 三角形是直角三角形 ABCABBC ED BC 又D是AC的中点 2 2 3BCAC 1 1 3DEADAD 22 11 2AEADDE 用心 爱心 专心 6 1 1 1 cos 2 DE AED AE 即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为 14 分 1 2 方法二 同方法一 同方法一 2 2 3 2 2BCACAB 222 ACABBC 三角形是直角三角形 过 B 作 AC 的垂线 BE 垂足为 E ABC 则 2 2 22 6 32 3 AB BC BE AC 22 82 3 4 33 ECBCBE 8 分 2 33 3 33 DECDEC 以 D 为原点 所在的直线为轴 DC 所在的直线为轴 平行于 BE 的直线为轴 建 1 ADzyx 立空间直角坐标系 如图所示 则 1 2 63 0 3 0 0 0 3 0 33 AAB 11 2 63 0 3 3 3 33 A AAB 设平面的法向量为 11 A ABB nx y z 则 即化简得 1 1 0 0 n A A n AB A A 330 2 63 30 33 yz xyz 2 230 zy xyz 令 得 所以是平面的一个法向量 11 分 2x 1 1yz 2 1 1 p 11 A ABB 由 I 得A1D 面ABC 所以设平面 ABC 的一个法向量为 12 分 0 0 1 q 用心 爱心 专心 7 设向量和所成角为 则 13 分 p q 2 11 cos 2 21 1 1 p q p q A 即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为 14 分 1 2 广东省肇庆市 2012 届高三上学期期末理 18 本题满分 14 分 如图 4 已知平面是圆柱的轴截面 经过圆柱的轴的截面 BC是圆柱底面的 11 BCC B 直径 O为底面圆心 E为母线的中点 已知 1 CC 1 4ABACAA I 求证 平面 1 BOAEO II 求二面角的余弦值 1 BAEO 求三棱锥的体积 1 ABOE 答案 解 依题意可知 平面ABC 90 1 AA BAC 方法 1 空间向量法 如图建立空间直角坐标系 因为 4 oxyz 1 ABACAA 则 1 0 0 0 4 0 0 0 4 2 2 2 0 4 0 4 ABEOB I 1 2 24 222 BOEO 2 2 0 AO 1 2 22 2 4 2 0BO EO A 1 BOEO 1 BOEO 1 2 22 2 4 00BO AO A 1 BOAO 1 BOAO 平面 平面 5 分 AOEOO AO EO AEO 1 BOAEO II 平面 AEO 的法向量为 设平面 B1AE 的法向量为 1 2 24 BO 即 1 0 0 n AE nxyz n B A 0 02 zx zy 用心 爱心 专心 8 令 x 2 则21 212 zyz 1 1 1 66 cos 6 924 n BO n BO nBO 二面角 B1 AE F 的余弦值为 10 分 6 6 因为 2 22 200AO EO AAOEO AOEO 22 2202 2AOAO 2 3EOEO 14 分 11 1 111 2 22 32 68 332 A B OEBAOEAOE VVSBO 方法 2 依题意可知 平面 ABC 90 1 AA BAC 22 4 2BCABAC 2 2AO I O 为底面圆心 BC AO 又 B1B 平面ABC 可证B1O AO ABAC 因为 则 AB 1 4AA 22 11 24 12 36BOEOB E 222 11 BOEOB E B1O EO 平面 5 分 1 BOAEO II 过O做OM AE于点M 连接B1M B1O 平面AEO 可证B1M AE B1MO为二面角B1 AE O的平面角 C1C 平面ABC AO OC 可证EO AO 在Rt AEO中 可求 10 5 OM 在Rt B1OM中 B1OM 90 1 6 cos 6 B MO 二面角B1 AE O的余弦值为 10 分 6 6 因为AB AC O为BC的中点 所以AOBC 又平面平面 且平面平面 ABC 11 BCC BABC 11 BCC BBC 所以平面 故是三棱锥的高AO 11 BCC BAO 1 ABOE 14 分 11 1 111 2 22 32 68 332 A B OEBAOEAOE VVSBO 广东省肇庆市 2012 届高三第二次模拟理 18 本小题满分 14 分 如图 5 AB是圆柱ABFG的母线 C是点A关于点B对称的点 O是圆柱上底面的圆心 BF过O点 DE是过O点的动直径 且AB 2 BF 2AB 1 求证 BE 平面ACD 2 当三棱锥D BCE的体积最大时 求二面角C DE A的平面角的余弦值 用心 爱心 专心 9 答案 1 证明 是圆柱的母线 是点关于点对称的ABABFGCAB 点 垂直圆柱的底面 即平面 1 分 ACAC BDF 平面 2 分 BE BDFBEAC 是圆柱上底面的直径 3 分 DEBEBD 平面 平面 且 4 分 AC ACDBD ACDACBDB BE 平面 5 分 ACD 2 解 是圆O的直径 是直角 DEDBE 24DEBFAB 设 在直角三角形中 6 分 04 BDxx BDE 222 160BEDEBDx 8 分 2 22 2 1116 164 224 DBE xx SBD BExx 当且仅当 即时 成立 9 分 2 16xx 2 2x 三棱锥的体积等于三棱锥的体积 而三棱锥的高 DBCE CDBE CDBE 2BC 三角形的面积最大时 三棱锥的体积也最大 BDE 此时 即三角形是等腰直角三角形 10 分 2 2BDBE BDE BODE 平面 11 分 ACDE DE AOC 连结CO AO 从而有 是二面角的平面角 12 分 CODE AODE AOC CDEA 在三角形中 AOCAOCBOCAOB 又 2 tan1 2 BC BOC BO 0 2 BOC 4 BOC 同理可得 13 分 4 AOB 2 AOC 即二面角的平面角的余弦值为 14 分 coscos0 2 AOC CDEA 0 广东省英德市一中 2012 届高三模拟考试理 19 19 1414 分 分 如图 ABCD是边长为3的正 方形 DE 平面ABCD DEAF AFDE3 BE与平面ABCD所成角为 0 60 求证 AC 平面BDE 求二面角DBEF 的余弦值 设点M是线段BD上一个动点 试确定点M的位置 使得 AM平面BEF 并 用心 爱心 专心 10 证明你的结论 AB CD F E 答案 证明 因为DE 平面ABCD 所以 ACDE 2 分 因为ABCD是正方形 所以 BDAC 从而AC 平面BDE 4 分 解 因为 DEDCDA 两两垂直 所以建立空间直角坐标系xyzD 如图所示 因为BE与平面ABCD所成角为 0 60 即60DBE 5 分 所以3 DB ED 由3 AD可知3 6DE 6AF 6 分 则 3 0 0 A 3 0 6 F 0 0 3 6 E 3 3 0 B 0 3 0 C 所以 0 3 6 BF 3 0 2 6 EF 7 分 设平面BEF的法向量为 n x y z 则 0 0 BF EF n n 即 360 32 60 yz xz 令6z 则 n 4 2 6 8 分因为AC 平面BDE 所以CA 为平面 用心 爱心 专心 11 BDE的法向量 3 3 0 CA 所以 613 cos 133 226 CA CA CA n n n 9 分 因为二面角为锐角 所以二面角DBEF 的余弦值为 13 13 10 分 解 点M是线段BD上一个动点 设 0 M t t 则 3 0 AMtt 因为 AM平面BEF 所以AM n0 11 分即4 3 20tt 解得2 t 12 分 此时 点M坐标为 2 2 0 1 3 BMBD 符合题意 13 分 广东省云浮中学 2012 届高三第一次模拟理 18 本小题满分 14 分 如图 四边形中 图 1 是的中点 ABCDEBC2DB 1 DC 5BC 将 图 1 沿直线折起 使二面角为 如图 2 2 ABAD BDABDC 0 60 1 求证 平面 AE BDC 2 求异面直线与所成角的余弦值 ABCD 3 求点到平面的距离 BACD A B D C E 主 1 主 2 E B C A D 1 答案 如图取 BD 中点 M 连接 AM ME 因 1 分2 ABAD BDAM 因 满足 2DB 1 DC 5BC 222 BCDCDB 所以是 BC 为斜边的直角三角形 BCD DCBD 因是的中点 所以 ME 为的中位线 EBCBCD CDME 2 1 2 分BDME 2 1 ME 是二面角的平面角 3 分 AME ABDC AME 0 60 且 AM ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线BDAM BDME 平面 AEM 4 分AEMBD平面 AE AEBD 因 为等腰直角三角形 2 ABAD 2DB ABD 1 2 1 BDAM 用心 爱心 专心 12 2 3 4 3 60cos 2 1 12 4 1 1cos2 222 AEAMEMEAMMEAMAE 6 分MEAEAMMEAE 222 1 7 分BDCMEBDCBDMEBD面面 BDCAE平面 2 如图 以 M 为原点 MB 为 x 轴 ME 为 y 轴 建立空间直角坐标系 8 分 则由 1 及已知条件可知 B 1 0 0 0 2 1 0 E D C 2 3 2 1 0 A 0 0 1 0 1 1 9 分 0 1 0 2 3 2 1 1 CDAB 设异面直线与所成角为 ABCD 则 10 分 CDAB CDAB cos 11 分 2 2 12 2 1 由可知满足 0 1 0 2 3 2 1 1 CDAD 2 0 3 n 是平面 ACD 的一个法向量 12 分 0 0 CDnADn n 记点到平面的距离 d 则在法向量方向上的投影绝对值为 d BACDAB n 则 13 分 所以 d 14 分 n nAB d 7 212 203 303 2 2 2 3 解法二 取 AD 中点 N 连接 MN 则 MN 是的中位线 MN AB 又 ME CDABD 所以直线与所成角为等于 MN 与 ME 所成的角 ABCD 即或其补角中较小之一 8 分EMN N 为在斜边中点DEAEBCDDEBCDAE 面面 AEDRt 所以有 NE MN ME 2 2 2 1 AD 2 2 2 1 AB 2 1 9 分 MEMN NEMEMN EMN 2 coscos 222 10 分 4 2 2 1 2 2 2 4 2 4 1 4 2 3 记点到平面的距离 d 则三棱锥 B ACD 的体积 11BACD ACDACDB SdV 3 1 分 用心 爱心 专心 13 又由 1 知 AE 是 A BCD 的高 12 分CDBD BCDBCDAACDB SAEVV 3 1 6 3 12 2 1 2 3 3 1 E 为 BC 中点 AEBC 又 2 ABAC1 DC 2 AD 为等腰ACD 13 分 4 7 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 CDADCDS ACD 到平面的距离 14 分 BACD 7 212 4 7 6 3 3 3 ACD ACDB S V d 解法三 1 因 满足 2DB 1 DC 5BC 222 BCDCDB DCBD 1 分 如图 以 D 为原点 DB 为 x 轴 DC 为 y 轴 建立空间直角坐标系 2 分 则条件可知 D 0 0 0 B 2 0 0 C 0 1 0 A a b c 由图知 a 0 b 0 c 0 1 1 0 2 E 3 分 得 4 分2 ABAD 2 22222222 2 21 1abcabcabc 平面 BCD 的法向量可取 1 0 0 1 n u r 所以平面 ABD 的一个法向量为 5 分 1 2 0 0 DAb c DB uu u ruuu r 1 0 ncb u r 则锐二面角的余弦值 6 分ABDC 12 12 22 12 cos cos60 n nb n n bcnn u r u u r u r u u r u ru u r 从而有 7 分 13 22 bc 133 1 0 0 0 1 0 222 AEADC uu ruuu r 所以平面 9 分0 0 EA DCEA DBEADC EADB uu r uuu ruu r uuu r AE BDC 2 由 1 D 0 0 0 B 2 0 0 C 0 1 0 13 1 22 A 0 1 0 2 3 2 1 1 CDAB 设异面直线与所成角为 则 10 分 ABCD CDAB CDAB cos 11 分 1 2 2 421 3 由可知满足 0 1 0 2 3 2 1 1 CDAD 2 0 3 n 是平面 ACD 的一个法向量 12 分 0 0 CDnADn n 用心 爱心 专心 14 记点到平面的距离 d 则在法向量方向上的投影绝对值为 d BACDAB n 则 13 分 所以 d 14 分 n nAB d 7 212 203 303 2 2 广东省镇江二中 2012 高三第三次月考理 18 18 本小题满分 14 分 已知斜三棱柱 111 ABCA B C 的底面是直角三角形 90ACB 侧棱与底面所成角为 点 1 B在底面上的射影D落在BC上 1 求证 AC 平面 11 BBC C 2 若 1 cos 3 且当 1 3ACBCAA 时 求二面角 1 CABC 的大小 答案 解 1 点 1 B在底面上的射影D落在BC上 1 B D 平面ABC AC 平面ABC 1 B DAC 又 90ACB BCAC 1 B DBCD I AC 平面 11 BBC C 4 分 2 以C为原点 CA为 x 轴 CB为y轴 过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴 建 立空间直角坐标系 则