2012届高三数学一轮复习基础导航 8.3空间向量的概念及运算

8 38 3 空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算 考纲要求 1 空间直角坐标系 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 会推导空间两点间的距离公式 2 空间向量的概念及运算 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 基础知识 1 共线向量定理 如果向量为非零的向量 那么向量与向量共线的充要条件是有且只有一个实数 a b a 使得 ba 2 共面向量定理 如果两个向量不共线 与向量共面的充要条件是存在实数使 a b p a b x y pxayb 3 空间向量基本定理 如果三个向量不共面 那么对于空间任意一个向量 存在一个唯一的有序实数 a b c p 组使 我们把叫做空间的一个基底 其中叫基向量 x y zpxaybzc x y z a b c 4 空间直角坐标 若为有公共起点的三个两两垂直的单位向量 分别以的方向为轴 i j k O i j k x 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系 有序实数组使得yzOxyz x y z 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标 记作pxiy jzk x y z i j k px y z 5 空间直角坐标运算 1 设 则 a 111 x y zb 222 xyzab 121212 xxyyzz 2 设 则 a 111 x y zb 222 xyzab 121212 xxyyzz 3 设 则a 111 x y zb 222 xyz 12121 2 a bx xy yz z A 4 设 则 A 111 x y zB 222 xyz 212121 ABOBOAxx yy zz 5 设 则a 111 x y zb 222 xyz 121212 a bxxyyzzR A 6 设 则a 111 x y zb 222 xyz 12121 2 0abx xy yz z 7 设 则a x y z 222 axyz 8 设 为向量与的夹角 则a 111 x y zb 222 xyz a b 12121 2 222222 111222 cos x xy yz z xyzxyz 6 结论 1 A B COAxOByOC xy 三点共线 四点共面 A B C D 1 OAxOByOCzOD xyz 例题精讲 例 1 如图所示 直三棱柱ABC A1B1C1中 C1C CB CA 2 AC CB D E分 别是棱AB B1C1的中点 F是AC的中点 求DE EF的长度 解 以点C为坐标原点 CA CB CC1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的 空间直角坐标系 C1C CB CA 2 C 0 0 0 A 2 0 0 B 0 2 0 C1 0 0 2 B1 0 2 2 由中点坐标公式可得 D 1 1 0 E 0 1 2 F 1 0 0 DE 1 0 2 1 1 2 0 2 25 EF 0 1 2 1 0 2 2 0 26 例 2 已知A 1 2 1 B 2 0 2 1 在x轴上求一点P 使 PA PB 2 在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离 求M点的轨迹 解 1 设P a 0 0 则由已知 得 a 1 2 2 2 12 a 2 2 22 即a2 2a 6 a2 4a 8 解得a 1 所以P点坐标为 1 0 0 2 设M x 0 z 则有 x 1 2 2 2 z 1 2 x 2 2 z 2 2 整理得 2x 6z 2 0 即x 3z 1 0 故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线 方法总结 8 3 空间向量的概念及运算强化训练 基础精练 1 以棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB AD AA1所在的直线为坐标轴 建立 空间直角坐标系 则平面AA1B1B对角线交点的坐标为 A B 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 C D 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2 设点B是点A 2 3 5 关于xOy面的对称点 则A B两点距离为 A 10 B C D 38 1038 3 一束光线自点P 1 1 1 发出 遇到xOy平面被反射 到达点Q 3 3 6 被吸收 那 么光所走的路程是 A B C D 37473357 4 点P x y z 满足 2 则点P在 x 1 2 y 1 2 z 1 2 A 以点 1 1 1 为圆心 以 2 为半径的圆上 B 以点 1 1 1 为中心 以 2 为棱长的正方体上 C 以点 1 1 1 为球心 以 2 为半径的球面上 D 无法确定 5 若A B两点的坐标是A 3cos 3sin 1 B 2cos 2sin 1 则 AB 的取 值范围是 A 0 5 B 1 5 C 1 5 D 1 25 6 ABC的顶点分别为A 1 1 2 B 5 6 2 C 1 3 1 则AC边上的高BD 等于 A 5 B C 4 D 2 415 7 点P 1 2 3 关于y轴的对称点为P1 P关于坐标平面xOz的对称点为P2 则 P1P2 8 已知三角形的三个顶点为A 2 1 4 B 3 2 6 C 5 0 2 则BC边上的中 线长为 9 已知x y z满足 x 3 2 y 4 2 z2 2 那么x2 y2 z2的最小值是 10 15 分 如图所示 过正方形ABCD的中心O作OP 平面ABCD 已知正方形的边长 为 2 OP 2 连接AP BP CP DP M N分别是AB BC的中点 以O为原点 射线 OM ON OP分别为Ox轴 Oy轴 Oz轴的正方向建立空间直角坐标系 若E F分别为 PA PB的中点 求A B C D E F的坐标 11 15 分 在空间直角坐标系中 解答下列各题 1 在x轴上求一点P 使它与点P0 4 1 2 的距离为 30 2 在xOy平面内的直线x y 1 上确定一点M 使它到点N 6 5 1 的距离最小 12 16 分 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 以D为原点 正方体的三 条棱所在的直线分别为坐标轴 建立空间直角坐标系D xyz 有一动点P在正方体的各个 面上运动 1 当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时 探究动点P的坐标特征 2 当点P分别在各个面的对角线上运动时 探究动点P的坐标特征 拓展提高 1 在正四棱锥S ABCD中 底面边长为a 侧棱长也为a 以底面中心O为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 P点在侧棱SC上 Q点在底面ABCD的对角线BD上 试 求P Q两点间的最小距离 基础精练参考答案 1 B 解析 可以直接求解 可以借助中点坐标公式求解 2 A 解析 由于A B关于xOy对称 则A B的横 纵坐标相等 z坐标互为相反 数 故B点坐标为 2 3 5 AB 10 选 A 2 2 2 3 3 2 5 5 2 3 D 解析 设Q点关于平面xOy的对称点为Q 则所求路程为PQ 的长 由题意 知Q 3 3 6 PQ 1 3 2 1 3 2 1 6 257 4 C 解析 式子 2 的几何意义是动点 x 1 2 y 1 2 z 1 2 P x y z 到定点 1 1 1 的距离为 2 的点的集合 故选 C 5 B 解析 AB 3cos 2cos 2 3sin 2sin 2 1 1 2 9 4 12 cos cos sin sin 1 5 13 12cos AB 1 5 6 B 解析 B 7 2 解析 P1 1 2 3 P2 1 2 3 14 P1P2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 14 8 2 解析 设BC的中点为D 则D 11 3 5 2 2 0 2 6 2 2 即D 4 1 2 BC边上的中线 AD 2 4 2 2 1 1 2 2 4 211 9 27 10 2 解析 由已知得点P x y z 在以M 3 4 0 为球心 为半径的球面上 2 x2 y2 z2表示原点O与点P的距离的平方 显然当O P M共线且P在O与M之间时 OP 最小 此时 OP OM 5 OP 2 27 10 232 42222 10 解析 如上图所示 B点坐标为B 1 1 0 A点与B点关于x轴对称 得A 1 1 0 C点与B点关于y轴对称 得 C 1 1 0 D与C点关于x轴对称 得D 1 1 0 又P 0 0 2 由中点公式可得E F 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 11 解析 1 设点P x 0 0 由题意得 P0P x 4 2 1 430 解得x 9 或x 1 所以点P的坐标为 9 0 0 或 1 0 0 2 由已知 可设M x 1 x 0 则 MN x 6 2 1 x 5 2 0 1 22 x 1 2 51 所以 当x 1 时 MN min 51 此时点M的坐标为 1 0 0 12 解析 1 当点P x y z 分别在平行于x轴的棱A1D1 B1C1 BC上运动时 动点P的纵坐标y 竖坐标z不变 横坐标x在 0 1 内取值 当点P x y z 分别在平行于y轴的棱A1B1 C1D1 AB上运动时 动点P的横坐标 x 竖坐标z不变 纵坐标y在 0 1 内取值 当点P x y z 分别在平行于z轴的棱AA1 BB1 CC1上运动时 动点P的横坐标x 纵坐标y不变 竖坐标z在 0 1 内取值 2 当点P x y z 分别在面对角线BC1 B1C上运动时 动点P的纵坐标y不变 横 坐标x 竖坐标z分别在 0 1 内取值 当点P x y z 分别在面对角线A1B AB1上运动时 动点P的横坐标x不变 纵坐标 y 竖坐标z分别在 0 1 内取值 当点P x y z 分别在面对角线A1C1 B1D1上运动时 动点P的竖坐标z不变 横坐 标x 纵坐标y分别在 0 1 内取 拓展提高参考答案 解 由于S ABCD是正四棱锥 所以P点在底面上的射影R在OC上 又底面边长为 a 所以OC