2011年高考数学二轮考点专题突破 空间向量与立体几何

专题五专题五 立体几何第三讲立体几何第三讲 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 一 选择题 1 以下命题中 不正确的命题个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 由向量的和运算知 正确 a b c 为空间一个基底 则 a b c 为两两不共线的非零向量 不妨假设 a b x b c y c a 即 1 y a 1 x b x y c 0 a b c 两两不共线 Error Error 不存在实数 x y 使假设成立 故 正确 中若加入 x y z 1 则结论正确 故 错误 答案 B 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 给出以下向量表达式 答案 A DBC 是锐角 同理可证 DCB BDC 都是锐角 BCD 是锐角三角形 答案 B 4 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中E F 分别在 A1D AC 上 且 A1E A1D 2 3 AF AC 则 1 3 A EF 至多与 A1D AC 之一垂直 B EF 是 A1D AC 的公垂线 C EF 与 BD1相交 D EF 与 BD1异面 解析 设 AB 1 以 D 为原点 DA 所在直线为 x 轴 DC 所在直 线为 y 轴 DD1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 A1 1 0 1 D 0 0 0 A 1 0 0 C 0 1 0 E 1 3 0 1 3 答案 D 5 2010 山东烟台 二面角的棱上有 A B 两点 直线 AC BD 分别在这个二面角的两个 半 平面内 且都垂直于 AB 已知 AB 4 AC 6 BD 8 CD 2 则该二面角的大 17 小为 A 150 B 45 C 60 D 120 答案 C 二 填空题 答案 3a 3b 5c 7 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 AA1 2 AC BC 1 则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 解析 以 C 为坐标原点 CA CB CC1所在 直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 A1 1 0 2 B 0 1 0 A 1 0 0 C 0 0 0 8 设 M N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点 DE AB 于E 如图 现将 ADE 沿 DE 折起 使二面角 A DE B 为 45 此时点 A 在平面 BC DE 内的射影恰为点 B 则 M N 的连线与 AE 所在角的大小等于 答案 90 9 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 棱长为 a M N 分别为 A1B 和 AC 上的点 A1M AN 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 解析 分别以 2a 3 C1B1 C1D1 C1C 所在直线为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 A1M AN a M 2 3 a 2 3a a 3 N 2 3a 2 3a a 答案 平行 三 解答题 10 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 2 DC 2 AA1 AD 33 DC AC BD E 为垂足 1 求证 BD A1C 2 求二面角 A1 BD C1的大小 3 求异面直线 AD 与 BC1所成角的余弦 解 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 A1A 底面 ABCD AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影 BD AC BD A1C 2 如图所示 以 D 为坐标原点 DA DC DD1所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 连结 A1E C1E A1C1 与 1 同理可证 BD A1E BD C1E A1EC1为二面角 A1 BD C1的平面角 由 A1 2 0 C1 0 2 E 333 3 2 3 2 0 11 2010 山东 19 如图 在五棱锥 P ABCDE 中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 2 BC 2AE 4 三角形 PAB 是等腰三角形 2 1 求证 平面 PCD 平面 PAC 2 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小 3 求四棱锥 P ACDE 的体积 解 1 证明 在 ABC 中 因为 ABC 45 BC 4 AB 2 所以 AC2 AB2 2 BC2 2AB BC cos45 8 因此 AC 2 故 BC2 AC2 AB2 所以 BAC 90 2 又 PA 平面 ABCDE AB CD 所以 CD PA CD AC 又 PA AC 平面 PAC 且 PA AC A 所以 CD 平面 PAC 又 CD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 PAC 2 解法一 因为 PAB 是等腰三角形 所以 PA AB 2 因此 2 PB PA2 AB2 4 又 AB CD 所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离 由于 CD 平面 PAC 在 Rt PAC 中 PA 2 AC 2 所以 PC 4 22 故 PC 边上的高为 2 此即为点 A 到平面 PCD 的距离 所以 B 到平面PCD 的距离为 h 2 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 则 sin 又 所以 h PB 2 4 1 2 0 2 6 解法二 由 1 知 AB AC AP 两两相互垂直 分别以 AB AC AP为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由于 PAB 是等腰三角形 所以 PA AB 2 2 又 AC 2 因此 A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 2 0 P 0 0 2 2222 因为 AC ED CD AC 所以四边形 ACDE 是直角梯形 因为 AE 2 ABC 45 AE BC 所以 BAE 135 因此 CAE 45 故 CD AE sin 45 2 2 22 所以 D 2 0 22 因为 0 2 2 0 0 CP 22 CD 2 设 m x y z 是平面 PCD 的一个法向量 则 m 0 m 0 解得 x 0 CP CD y z 取 y 1 得 m 0 1 1 又 2 0 2 BP 22 设 表示向量与平面 PCD 的法向量 m 所成的角 BP 因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 6 3 因为 AC ED CD AC 所以四边形 ACDE 是直角梯形 因为AE 2 ABC 45 AE BC 所以 BAE 135 因此 CAE 45 故 CD AE sin 45 2 2 22 ED AC AE cos 45 2 2 2 2 22 所以 S四边形 ACDE 3 2 2 2 22 PA 平面 ABCDE VP ACDE 3 2 2 1 322 12 2010 福建 如图圆柱 OO1内有一个三棱柱 ABC A1B1C1 棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形 且 AB 是圆 O 的 直径 1 证明 平面 A1ACC1 平面 B1BCC1 2 设 AB AA1 在圆柱 OO1内随机选取一点 记该点取自 于三棱柱 ABC A1B1C1内的概率为 p 当点 C 在圆周上运动时 求 p 的最大值 记平面 A1ACC1与平面 B1OC 所成的角为 0 90 当 p 取最大值时 求 cos 的值 解 解法一 1 证明 A1A 平面 ABC BC 平面 ABC A1A BC AB 是圆 O 的直径 BC AC 又 AC A1A A BC 平面 A1ACC1 而 BC 平面 B1BCC1 所以平面 A1ACC1 平面 B1BCC1 2 设圆柱的底面半径为 r 则 AB AA1 2r 故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V1 AC BC 2r AC BC r 1 2 又 AC2 BC2 AB2 4r2 AC BC 2r2 AC2 BC2 2 当且仅当 AC BC r 时等号成立 2 从而 V1 2r3 而圆柱的体积 V r2 2r 2 r3 故 p 当且仅当 AC BC r 即 V1 V 2r3 2 r3 1 2 OC AB 时等号成立 所以 p 的最大值等于 1 由 可知 p 取最大值时 OC AB 于是 以 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系 O xyz 如图 则 C r 0 0 B 0 r 0 B1 0 r 2r BC 平面 A1ACC1 r r 0 是平面 A1ACC1的一个法向量 BC 设平面 B1OC 的法向量 n x y z 取 z 1 得平面 B1OC 的一个法向量为 n 0 2 1 解法二 1 同解法一 2 设圆柱的底面半径为 r 则 AB AA1 2r 故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V1 AC BC 2r AC BC r 1 2 设 BAC 0 90 则 AC ABcos 2rcos BC ABsin 2rsin 由于 AC BC 4r2sin cos 2r2sin 2 2r2 当且仅当 sin 2 1 即 45 时等号成 立 故 V1 2r3 而圆柱的体积 V r2 2r 2 r3 故 p 当且仅当 sin 2 1 即 V1 V 2r3 2 r3 1 45 时等号成立 所以 p 的最大